2019年高三数学下期末一模试卷(带答案)(1)

2019年高三数学下期末一模试卷(带答案)(1)
一、选择题
1．设1i 2i 1i z -=
++，则||z =
A ．0
B ．12
C ．1
D 2．若复数21i z =
-，其中i 为虚数单位，则z = A ．1+i B ．1−i C ．−1+i D ．−1−i
3．命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为（ ）
A ．对任意x ∈R ，都有x 2＜0
B ．不存在x ∈R ，都有x 2＜0
C ．存在x 0∈R ，使得x 02≥0
D ．存在x 0∈R ，使得x 02＜0
4．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =u u u v
A ．3144
AB AC -u u u v u u u v B ．1344AB AC -u u u v u u u v C ．3144
+AB AC u u u v u u u v D ．1344+AB AC u u u v u u u v 5．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有
A ．4种
B ．10种
C ．18种
D ．20种
6．设i 为虚数单位，复数z 满足
21i i z =-，则复数z 的共轭复数等于（ ） A ．1-i B ．-1-i C ．1+i D ．-1+i
7．某单位有职工100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，剩下的为50岁以上（包括50岁）的人，用分层抽样的方法从中抽取20人，各年龄段分别抽取的人数为（ ）
A ．7，5，8
B ．9，5，6
C ．7，5，9
D ．8，5，7 8．已知a r 与b r 均为单位向量，它们的夹角为60︒，那么3a b -r r 等于（ ）
A B C D ．4
9．已知函数()(3)(2ln 1)x f x x e a x x =-+-+在(1,)+∞上有两个极值点，且()f x 在
(1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．(,)e +∞
B ．2(,2)e e
C ．2(2,)e +∞
D ．22(,2)(2,)e e e +∞U
10．南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为12,V V ，被平行于这两
个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为12,S S ，则“12,S S 总相等”是“12,V V 相等”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
11．已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A ．108cm 3
B ．100cm 3
C ．92cm 3
D ．84cm 3
12．设双曲线22221x y a b
-=（0a >，0b >）的渐近线与抛物线21y x =+相切，则该双曲线的离心率等于（ ）
A ．3
B ．2
C ．6
D ．5
二、填空题
13．设n S 是等差数列{}*()n a n N ∈的前n 项和，且141,7a a ==，则5______S =
14．已知函数21,1
()()1a x x f x x a x ⎧-+≤=⎨->⎩，函数()2()g x f x =-，若函数()()
y f x g x =-恰有4个不同的零点，则实数a 的取值范围为______．
15．函数log (1)1(01)a y x a a =-+>≠且的图象恒过定点A ，若点A 在一次函数y mx n =+的图象上，其中,0,m n >则12m n
+的最小值为 16．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，3c =，2C B =，则ABC V 的面积为______．
17．已知圆C 经过(5,1),(1,3)A B 两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为__________．
18．已知直线：
与圆交于两点，过分别作的垂线与
轴交于两点.则_________. 19．有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了
乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．
20．能说明“若f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，则f （x ）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________．
三、解答题
21．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ=2,ρ2-2
ρcos(θ-)=2.
(1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程.
(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.
22．十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康.经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民收入也逐年增加.为了更好的制定2019年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2018年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：
附：参考数据与公式 6.92 2.63≈，若 ()2
~,X N μσ，则① ()0.6827P X μσμσ-<+=„；② (22)0.9545P X μσμσ-<+=„；③
(33)0.9973P X μσμσ-<+=„.
（1）根据频率分布直方图估计50位农民的年平均收入x （单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；
（2）由频率分布直方图可以认为该贫困地区农民年收入 X 服从正态分布 ()2,N μσ，其中μ近似为年平均收入2,x σ 近似为样本方差2s ，经计算得：2 6.92s =，利用该正态分布，求：
（i ）在2019年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元?
（ii ）为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民.若每个农民的年收入相互独立，问：这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少?
23．设函数22()ln (0)f x a x x ax a =-+>（Ⅰ）求()f x 单调区间（Ⅱ）求所有实数a ，使2
1()e f x e -≤≤对[1,e]x ∈恒成立
注：e 为自然对数的底数
24．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，H 是正方形11AA B B 的中心，122AA =，1C H ⊥平面11AA B B ，且1 5.C H =
（Ⅰ）求异面直线AC 与11A B 所成角的余弦值；
（Ⅱ）求二面角111A AC B --的正弦值；
（Ⅲ）设N 为棱11B C 的中点，点M 在平面11AA B B 内，且MN ⊥平面111A B C ，求线段BM 的长．
25．已知数列｛n a ｝的前n 项和Sn ＝n 2－5n (n∈N +）．
（1）求数列｛n a ｝的通项公式；
（2）求数列｛1
2n n a +｝的前n 项和Tn . 26．如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A AC C ⊥平面ABC ,90ABC ∠=︒，11
30,,,BAC A A AC AC E F ∠=︒==分别是11,AC A B 的中点.
（1）证明：EF BC ⊥；
（2）求直线EF 与平面1A BC 所成角的余弦值.
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一、选择题
1．C
解析：C
【解析】
分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，然后求解复数的模. 详解：()()()()
1i 1i 1i 2i 2i 1i 1i 1i z ---=+=++-+ i 2i i =-+=， 则1z =，故选c.
点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
2．B
解析：B
【解析】 试题分析：22(1i)1i,1i 1i (1i)(1i)
z z +===+∴=---+，选B. 【考点】复数的运算，复数的概念
【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，一般考查复数运算与概念或复数的几何意义，也是考生必定得分的题目之一.
3．D
解析：D
【解析】
因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为．存在x 0∈R ，使得x 02＜0．
故选D ．
4．A
解析：A
【解析】 分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得1122BE BA BC =+u u u v u u u v u u u v ，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到BC BA AC =+u u u v u u u v u u u v ，之后将其合并，得到
3144BE BA AC =+u u u v u u u v u u u v ，下一步应用相反向量，求得3144
EB AB AC =-u u u v u u u v u u u v ，从而求得结果. 详解：根据向量的运算法则，可得
()
111111222424
BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 1113124444
BA BA AC BA AC u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v =++=+， 所以3144EB AB AC =-u u u v u u u v u u u v ，故选A. 点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.
5．B
解析：B
【解析】
【分析】
【详解】
分两种情况：①选2本画册，2本集邮册送给4位朋友，有C 42＝6种方法；②选1本画册，3本集邮册送给4位朋友，有C 41＝4种方法．所以不同的赠送方法共有6＋4＝10(种)．
6．B
解析：B
【解析】
【分析】
利用复数的运算法则解得1i z =-+，结合共轭复数的概念即可得结果.
【详解】
∵复数z 满足21i i z
=-，∴()()()2121111i i i z i i i i +===---+， ∴复数z 的共轭复数等于1i --，故选B.
【点睛】
本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础
题．
7．B
解析：B
【解析】
【分析】
分层抽样按比例分配,即可求出各年龄段分别抽取的人数.
【详解】 由于样本容量与总体中的个体数的比值为2011005
=，故各年龄段抽取的人数依次为14595⨯=，12555
⨯=，20956--=.故选：B 【点睛】
本题考查分层抽样方法,关键要理解分层抽样的原则,属于基础题.
8．A
解析：A
【解析】
本题主要考查的是向量的求模公式．由条件可知
==，所以应选A ．
9．C
解析：C
【解析】
【分析】
求得函数的导数()(2)()x xe a f x x x
-'=-⋅，根据函数()f x 在(1,)+∞上有两个极值点，转化为0x xe a -=在(1,)+∞上有不等于2的解，令()x
g x xe =，利用奥数求得函数的单调性，得到()1a g e >=且()222a g e ≠=，又由()f x 在(1,2)上单调递增，得到
()0f x '≥在(1,2)上恒成立，进而得到x a xe ≥在(1,2)上恒成立，借助函数()x g x xe =在(1,)+∞为单调递增函数，求得2(2)2a g e >=，即可得到答案.
【详解】
由题意，函数()(3)(2ln 1)x
f x x e a x x =-+-+， 可得2()(3)(1)(2)()(2)()x x x x a xe a f x e x e a x e x x x x -'=+-+-=--=-⋅， 又由函数()f x 在(1,)+∞上有两个极值点，
则()0f x '=，即(2)()0x xe a x x
--⋅=在(1,)+∞上有两解， 即0x xe a -=在在(1,)+∞上有不等于2的解，
令()x
g x xe =，则()(1)0,(1)x g x x e x '=+>>， 所以函数()x
g x xe =在(1,)+∞为单调递增函数， 所以()1a g e >=且()2
22a g e ≠=， 又由()f x 在(1,2)上单调递增，则()0f x '≥在(1,2)上恒成立， 即(2)()0x xe a x x
--⋅≥在(1,2)上恒成立，即0x xe a -≤在(1,2)上恒成立， 即x a xe ≥在(1,2)上恒成立，
又由函数()x g x xe =在(1,)+∞为单调递增函数，所以2
(2)2a g e >=， 综上所述，可得实数a 的取值范围是22a e >，即2
(2,)a e ∈+∞，故选C. 【点睛】
本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.
10．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据充分条件和必要条件的定义，结合祖暅原理进行判断即可.
【详解】
根据祖暅原理，当12,S S 总相等时，12,V V 相等，所以充分性成立；
当两个完全相同的四棱台，一正一反的放在两个平面之间时，此时体积固然相等但截得的面积未必相等，所以必要性不成立.
所以“12,S S 总相等”是“12,V V 相等”的充分不必要条件.
故选：A
【点睛】
本题考查充分条件与必要条件的判断，属于基础题.
11．B
解析：B
【解析】
试题分析：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．据此即可得出体积．
解：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．
∴该几何体的体积V=6×6×3﹣
=100．
故选B ．
考点：由三视图求面积、体积．
12．D
解析：D
【解析】 由题意可知双曲线的渐近线一条方程为b y x a =，与抛物线方程组成方程组2,1
b y x a y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩消y 得，2210,()40b b x x a a -
+=∆=-=，即2()4b a =，所以21()5b e a
=+= D. 【点睛】 双曲线22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的渐近线方程为b y x a =±． 直线与抛物线交点问题，直线与抛物线方程组方程组，
当直线与抛物线对称轴平行时，直线与抛物线相交，只有一个交点．
当直线与抛物线对称轴不平行时，当>0∆时，直线与抛物线相交，有两个交点． 当0∆=时，直线与抛物线相切，只有一个交点．
当∆<0时，直线与抛物线相离，没有交点．
二、填空题
13．25【解析】由可得所以
解析：25
【解析】
由141,7a a ==可得11,2,21n a d a n ===-，所以5(19)5252
S +⨯==． 14．【解析】【分析】由函数把函数恰有个不同的零点转化为恰有4个实数根列出相应的条件即可求解【详解】由题意函数且函数恰有个不同的零点即恰有4个实数根当时由即解得或所以解得；当时由解得或所以解得综上可得：实
解析：(]2,3
【解析】
【分析】
由函数()2()g x f x =-，把函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，转化为()1f x =恰有4个实数根，列出相应的条件，即可求解.
【详解】
由题意，函数()2()g x f x =-，且函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点， 即()1f x =恰有4个实数根，
当1x ≤时，由11a x -+=，即110x a +=-≥，
解得2=-x a 或x a =-，所以2112a a a a -≤⎧⎪-≤⎨⎪-≠-⎩
，解得13a <?；
当1x >时，由2()1x a -=，解得1x a =-或1x a =+，所以1111a a ->⎧⎨
+>⎩，解得2a >， 综上可得：实数a 的取值范围为(]
2,3.
【点睛】
本题主要考查了函数与方程的应用，其中解答中利用条件转化为()1f x =，绝对值的定义，以及二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于中档试题. 15．8【解析】∵函数（且）的图象恒过定点A ∴当时∴又点A 在一次函数的图象上其中∴又∴∴（当且仅当时取）故答案为8点睛：本题主要考查了基本不等式基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值其失误
解析：8
【解析】
∵函数log 1
1a y x =-+（）（0a ＞，且1a ≠）的图象恒过定点A ， ∴当2x =时，1y =，∴()21A ，，又点A 在一次函数y mx n =+的图象上，其中
0mn >，
∴21m n +=，又0mn >，
∴0m >，0n >，∴()12124 248n m m n m n m n m n
+=+⋅+=++≥（），（当且仅当122
n m ==时取“=”），故答案为8. 点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使
其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．
16．【解析】【分析】由已知利用正弦定理二倍角的正弦函数公式可求的值根据同角三角函数基本关系式可求的值利用二倍角公式可求的值根据两角和的正弦函数公式可求的值即可利用三角形的面积公式计算得解【详解】由正弦定
【解析】
【分析】
由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式可求cos B 的值，根据同角三角函数基本关系式可求sin B 的值，利用二倍角公式可求sin C ，cos C 的值，根据两角和的正弦函数公式可求sin A 的值，即可利用三角形的面积公式计算得解．
【详解】
2b =Q ，3c =，2C B =，
∴由正弦定理sin sin b c B C =，可得：23sin sin B C
=，可得：233sin sin22sin cos B B B B
==，
∴可得：3cos 4B =，可得：sin B ==，
∴可得：sin sin22sin cos 8
C B B B ===，21cos cos22cos 18C B B ==-=，
()13sin sin sin cos cos sin 84A B C B C B C ∴=+=+=
+=，
11sin 2322S bc A ∴==⨯⨯=．
． 【点睛】
本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.
17．【解析】【分析】由圆的几何性质得圆心在的垂直平分线上结合题意知求出的垂直平分线方程令可得圆心坐标从而可得圆的半径进而可得圆的方程【详解】由圆的几何性质得圆心在的垂直平分线上结合题意知的垂直平分线为令
解析：22(2)10x y -+=.
【解析】
【分析】
由圆的几何性质得，圆心在AB 的垂直平分线上,结合题意知，求出AB 的垂直平分线方程，令0y =，可得圆心坐标，从而可得圆的半径，进而可得圆的方程.
【详解】
由圆的几何性质得，圆心在AB 的垂直平分线上,结合题意知，AB 的垂直平分线为24y x =-，令0y =，得2x =，故圆心坐标为(2,0)，所以圆的半径22(52)(10)10-+-=，故圆的方程为22(2)10x y -+=.
【点睛】
本题主要考查圆的性质和圆的方程的求解,意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题. 18．4【解析】试题分析：由x-3y+6=0得x=3y-6代入圆的方程整理得y2-
33y+6=0解得y1=23y2=3所以x1=0x2=-3所以|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2=23又直线l 的 解析：4
【解析】
试题分析：由
，得，代入圆的方程，整理得，解得，所以
，所以．又直线的倾斜角为
，由平面几何知识知在梯
形中，． 【考点】直线与圆的位置关系
【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法（即几何问题代数化），把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系的非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．
19．1和3【解析】根据丙的说法知丙的卡片上写着和或和；（1）若丙的卡片上写着和根据乙的说法知乙的卡片上写着和；所以甲的说法知甲的卡片上写着和；（2）若丙的卡片上写着和根据乙的说法知乙的卡片上写着和；又加 解析：1和3.
【解析】
根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；
（1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；
所以甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；
（2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；
又加说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”；
所以甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾；
所以甲的卡片上的数字是1和3.
20．y=sinx （答案不唯一）【解析】分析：举的反例要否定增函数可以取一个分段函数使得f （x ）>f （0）且（02］上是减函数详解：令则f （x ）>f （0）对任意的x ∈（02］都成立但f （x ）在［02］上不
解析：y =sin x （答案不唯一）
【解析】
分析：举的反例要否定增函数，可以取一个分段函数，使得f （x ）>f （0）且（0，2］上是减函数.
详解：令0,0()4,(0,2]x f x x x =⎧=⎨-∈⎩
，则f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，但f （x ）在［0，2］上不是增函数.
又如，令f （x ）=sin x ，则f （0）=0，f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，但f （x ）在［0，2］上不是增函数.
点睛：要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M 中的一个特殊值0x ，使0()p x 不成立即可.通常举分段函数.
三、解答题
21．(1) x 2+y 2-2x-2y-2=0 (2) ρsin(θ+)=
【解析】
(1)∵ρ=2,∴ρ2=4,即x 2+y 2=4.
∵ρ2-2
ρcos(θ-)=2, ∴ρ2-2ρ (cosθcos +sinθsin )=2.
∴x 2+y 2-2x-2y-2=0.
(2)将两圆的直角坐标方程相减,得经过两圆交点的直线方程为x+y=1.化为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=1,即ρsin(θ+)=.
22．（1）17.4；（2）（i ）14.77千元（ii ）978位
【解析】
【分析】
（1）用每个小矩形的面积乘以该组中点值，再求和即可得到平均数；
（2）（i ）根据正态分布可得：0.6827()0.50.84142
P X μσ>-=+≈即可得解；（ii ）根据正态分布求出每个农民年收入不少于12.14千元的事件概率为0.9773，利用独立重复试验概率计算法则求得概率最大值的k 的取值即可得解.
【详解】
（1）由频率分布直方图可得：
120.04140.12160.28180.36200.1220.06240.0417.4x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；
（2）（i ）由题()~17.4,6.92X N ，0.6827()0.50.84142
P X μσ>-=+≈， 所以17.4 2.6314.77μσ-=-=满足题意，即最低年收入大约14.77千元；
（ii ）0.9545(12.14)(2)0.50.97732
P X P X μσ≥=≥-=+≈， 每个农民年收入不少于12.14千元的事件概率为0.9773，
记这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数为X ，()1000,0.9773X B : 恰有k 位农民中的年收入不少于12.14千元的概率
()()100010000.997310.9973k k k P X k C -==-
()()()()
10010.97731110.9773P X k k P X k k =-⨯=>=-⨯-得10010.9773978.2773k <⨯=， 所以当0978k ≤≤时，()()1P X k P X k =-<=，当9791000k ≤≤时，
()()1P X k P X k =->=，所以这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是978位.
【点睛】
此题考查频率分布直方图求平均数，利用正态分布估计概率，结合独立重复试验计算概率公式求解具体问题，综合性强.
23．（1）()f x 的增区间为(0,)a ，减区间为(,)a +∞（2）a e =
【解析】
【分析】
【详解】
：（Ⅰ）因为22()ln (0)f x a x x ax a =-+>所以
2()(2)()2a x a x a f x x a x x
-+'=-+=-由于0a > 所以()f x 的增区间为(0,)a ，减区间为(,)a +∞．
（Ⅱ）由题意得(1)11f a e =-≥-即a e ≥．由（Ⅰ）知()f x 在[1,]e 单调递增，要使21()e f x e -≤≤
对[1,e]x ∈恒成立，只要222
(1)11{()f a e f e a e ae e =-≥-=-+≤解得a e =
24．（Ⅰ）
3
；（Ⅱ）7；（Ⅲ）4 【解析】
【分析】 （Ⅰ）以B 为坐标原点，BA 所在直线为x 轴，1BB 所在直线为y 轴，建立坐标系，设异
面直线AC 与11A B 所成角为α，算出11,AC A B u u u r u u u u r ，再利用cos α=11|cos ,|AC A B 〈〉u u u r u u u u r 计算即
可；
（Ⅱ）分别求出平面11AA C 的法向量m u r 与平面111B AC 的法向量n r ，再利用向量的夹角公式算得cos ,m n 〈〉u r r
即可； （Ⅲ）设(,,0)M a b ，由MN ⊥平面111A B C ，得111100MN A B MN A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
u u u u v u u u u v u u u u v u u u u v ，进一步得到M 的坐标，再由模长公式计算BM 的长.
【详解】
如图所示，建立空间直角坐标系，其中点B 为坐标原点，BA 所在直线为x 轴，1BB 所在直线为y 轴，
由题意，
111(0,0,0),B A C A B C ， （Ⅰ
）11((AC A B ==-u u u r u u u u r ，
所以111111cos ,3||||AC A B AC A B AC A B ⋅〈〉===u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r ， 设异面直线AC 与11A B 所成角为α，
则cos α
=11|cos ,|3
AC A B 〈〉=u u u r u u u u r ， 所以异面直线AC 与11A B
所成角的余弦值为
3
. （Ⅱ
）易知111(AA AC ==u u u r u u u u r ，
设平面11AA C 的法向量(,,)m x y z =，
则11100m AC m AA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u v v u u u v v
，即00
⎧+=⎪⎨=⎪⎩，
令x =
z =
，所以m =u r ，
同理，设平面111B AC 的法向量(,,)n x y z =r ，
则111100n A C n A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u v v u u u u v v
，即00
⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩，
令y =
z =
n =r ，
所以2cos ,7
||||m n m n m n ⋅〈〉===⋅u r r u r r ， 设二面角111A AC B --的大小为θ，
则2235sin 1()77θ=-=， 所以二面角111A AC B --
的正弦值为357
. （Ⅲ）由N 为棱11B C 的中点，得2325,,222N ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 设(,,0)M a b ，则2325,,MN a b ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u u r ， 由MN ⊥平面111A B C ，得111100MN A B MN A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
u u u u v u u u u v u u u u v u u u u v ，即 2(22)02325(2)(2)50a a b ⎧⎛⎫-⋅-=⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛
⎫⎛⎫⎪-⋅-+-⋅-+⋅= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎩， 解得22
a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，故22,,0M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因此22,,0BM ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u u r ， 所以线段BM 的长为10||BM =u u u u r .
【点睛】
本题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查学生的空间想象能力、运算能力和推理论证能力.
25．（1）26()n a n n N +=-∈；（2）112n n
n T -=--
【解析】
【分析】
（1）运用数列的递推式：11,1,1n n
n S n a S S n -=⎧=⎨->⎩，计算可得数列｛n a ｝的通项公式；（2）结合（1）求得
1322n n n a n +-=，运用错位相减法,结合等比数列的求和公式，即可得到数列｛12
n n a +｝的前n 项和n T . 【详解】
（1）因为11,1,1
n n n S n a S S n -=⎧=⎨->⎩，()25n S n n n N +=-∈ 所以114a S ==-, 1n >时,()()2
2 515126n a n n n n n =---+-=- 1n =也适合，所以()+26N n a n n =-∈
（2）因为
1322n n n a n +-=， 所以12121432222
n n n n n T -----=++⋅⋅⋅++ 2311214322222
n n n n n T +----=++⋅⋅⋅++ 两式作差得：1211211322222n n n n T +--=
++⋅⋅⋅+- 化简得1111222n n n T +-=-
-， 所以112n n n T -=--
. 【点睛】
本题考查数列的通项公式的求法，等比数列的求和公式，考查数列的错位相减法，属于中档题. “错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以1q -.
26．（1）证明见解析；（2）
35
. 【解析】
【分析】
(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义即可证得线线垂直；
(2)建立空间直角坐标系，分别求得直线的方向向量和平面的法向量，然后结合线面角的正弦值和同角三角函数基本关系可得线面角的余弦值.
【详解】
(1)如图所示，连结11,A E B E ，
等边1
AAC △中，AE EC =，则1A E AC ⊥， 平面ABC ⊥平面11A ACC ，且平面ABC ∩平面11A ACC AC =，
由面面垂直的性质定理可得：1A E ⊥平面ABC ，故1A E BC ⊥，
由三棱柱的性质可知11A B AB ∥，而AB BC ⊥，故11A B BC ⊥，且1111A B A E A =I ， 由线面垂直的判定定理可得：BC ⊥平面11A B E ，
结合EF ⊆平面11A B E ，故EF BC ⊥.
(2)在底面ABC 内作EH ⊥AC ，以点E 为坐标原点，EH ,EC ,1EA 方向分别为x ,y ,z 轴正方向建立空间直角坐标系E xyz -.
设1EH =，则3AE EC ==1123AA CA ==3,3BC AB ==， 据此可得：()()()
1330,3,0,,0,0,3,3,02A B A C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 由11AB A B =u u u r u u u u r 可得点1B 的坐标为1333,322B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 利用中点坐标公式可得：333,344F ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，由于()0,0,0E ，
故直线EF
的方向向量为：34EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r 设平面1A BC 的法向量为(),,m x y z =u r ，则：
(
)(
)133,,3302233,,022m A B x y z x y z m BC x y z x y u u u v v u u u v v ⎧⎛⎫⋅=⋅-=+-=⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⋅=⋅-=-= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩
， 据此可得平面1A BC
的一个法向量为()
m =u r
，34EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r
此时4cos ,5EF m EF m EF m ⋅===⨯u u u r u r u u u r u r u u u r u r ， 设直线EF 与平面1A BC 所成角为θ，则43sin cos ,,cos 55
EF m θθ===u u u r u r . 【点睛】 本题考查了立体几何中的线线垂直的判定和线面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.。