河北省石家庄市第一中学2013-2014学年高二上学期开学考试 数学理试题 含答案

石家庄一中2012级高二级部第一学期开学考试数学试卷
试卷Ⅰ（共 60 分)
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题选出答案后，请填涂在答题卡上．
1．已知集合{}{}1,0,1,0,1,2M N =-=,则如图所示韦恩图中的阴
影部分所表示的集合为（ C ）
A ．{}0,1
B ．{}1,0,1-
C ．{}1,2-
D ．{}1,0,1,2-
2．在下列命题中，不是公理．．的是（ A ）
A ．平行于同一个平面的两个平面相互平行
B ．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
C ．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内
D ．如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线
3．下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是（ D )
A ．||
2x y = B ．2lg(1)y x x =+
+ C ．2
2x
x y -=+ D ．1
lg
1
y x =+ 4．过点(1,0)且与直线220x y --=平行的直线方程是（ D ）
A ．210x y +-=
B ．210x y -+=
C ．220x y +-=
D ．210x y --=
5．设l ,m 是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是（ B )
A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥
B ．若l α⊥，l m //,则m α⊥
C ．若l α//，m α⊂，则l m //
D ．若l α//，m α//,则l m //
6．为了得到函数sin(2)3
y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6
y x π=+的图像
（ B ）
A ．向左平移4
π个长度单位 B ．向右平移4
π个长度单位
C ．向左平移2
π个长度单位 D ．向右平移2
π个长度单位
7．等比数列x ,33x +，66x +，的第四项等于（ A )
A ．24-
B ．0
C ．99x +
D ．24
8．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,若cos cos sin b C c B a A +=，则ABC ∆的形状为（ B ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．不确定
9．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图中半圆的直径为2，则该几何体的体积为
（ C ）
A ．243π-
B ．242π-
C ．3242
π- D ．24π- 10．已知点()1,1A -、()1,2B 、()2,1C --、()3,4D ,则向量AB 在CD 方向上的投影为( A ） A ．322
B ．3
152
C ．322-
D ．3
152
- 11．设)(x f 是定义在实数集R 上的函数，满足条件)1(+=x f y 是偶函数，
且当1≥x 时，1)2
1()(-=x
x f ，则)32(f 、)23(f 、)3
1
(f 的大小关系是（
D ）
A ．)3
2()23()31(f f >>
B ．)23
()31()32(f f f >> C ．)3
1()32()23(f f f >>
D ．
)31()23()32(f f f >>
12．设函数()2x
f x e
x a =+-（a ∈R ,e 为自然对数的底数）
．若存在[0,1]b ∈使(())f f b b =成立，则a 的取值范围是（
B ）
A ．[1,]e
B ．[1,1]e +
C ．[,1]e e +
D ．[0,1]
试卷II （90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．答案填在答题纸相
应的空内． 13．已知函数
3log ,0
()2,0
x
x x f x x >⎧=⎨≤⎩,则1(())9f f = **＊ ．14
14．设变量x 、y 满足52180
20 30 x y x y x y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪+-≥⎩
，若直线20kx y -+=经过该可行域，则
k 的最大值为
．1
15．已知三棱柱
111
ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若
34AB AC ==，，AB AC ⊥,112AA =，则球O 的体积为3132197
66
ππ
=．
16．已知1
()1f x x
=
+,各项均为正数的数列{}n a 满足11a =，2()n n a f a +=，若20102012a a =，则2011a a +的值是 ．
【解析】由题意得,21
3
=
a ,325=a ，…，13
811=a , ∵20122010
a a
=，
且.n a ＞0，∴2
5
12010+-=a ，易得2010a =2008a =…=24a =22a =24a =.20a ,
∴.
20a +11
a =2
5
1+
-+13
8=26
5133+．
三、解答题:本大题共6小题，共70分．请将解答过程书写在答题纸上，
并写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分）
已知直线l 被两直线1
:460l x y ++=和2
:3560l
x y --=截得线段的中点为
(0,0)
P ,求直线l 的方程．
17解：设所求直线l 与两直线1
2
,l l 分别交于1
1
2
2
(,),(,)A x y B x y ，则
11220,0x y x y +=+=且，
……………4分
又因为点1
1
2
2
(,),(,)A x y B x y 分别在直线1
2
,l l 上，则
得11224603560x y x y ++=⎧⎨--=⎩，即11114603560x y x y ++=⎧⎨-+-=⎩解得113623
6
23x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
,
所求直线l 即为直线AP ,所以16
y x =-为所求．……………10分
18．（本小题满分12分）
已知函数()12f x x π⎛
⎫=
- ⎪⎝⎭
,x ∈R ．
（Ⅰ)求6f π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
的值;
（Ⅱ）若3cos 5
θ=，3,22
πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭
．
18
解：(Ⅰ)1661244f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-=
--=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
．
……………4分
(Ⅱ)
222cos 2sin 233124f ππππθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+=+-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭
(6)
分
因为
3
cos 5
θ=
，
3,22πθπ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
,所以4sin 5θ=-，…………8分
所
以24
sin 22sin cos 25θθθ==-
，227cos 2cos sin 25
θθθ=-=- …10分
所
以
23f πθ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭cos 2sin 2θθ=-72417252525⎛⎫=---= ⎪⎝⎭． (12)
分
19．（本小题满分12分）
已知向量a (cos ,sin )θθ=,b (cos ,sin )ββ=，且a 与b 满足||3||kb a b ka -=+，
其中实数0k >．
(Ⅰ）试用k 表示b a ⋅；
（Ⅱ)求b a ⋅的最小值,并求此时a 与b 的夹角α的值．
解：(I)因为||3||b k a b a k
-=+，所以22||3||b k a b a k -=+,
2222223632b k b a k a b b a k a k
+-=++⋅⋅, (3)
分
22)3(8a k b a k -=⋅22
)13(b k -+，
k k k b a 81)13(1)3(22⋅⋅⋅-+-= k
k k k 4182222+=
+=． …………6分
（Ⅱ）由（1)b a ⋅2
1
4142414412=≥+=+=⋅k k k k k k ，…………9分
当且仅当k
k 41
4=
,即1=k 时取等号． (10)
分
此时,b a ⋅21cos ||||==⋅⋅θb a
，21cos =θ，3
πθ=，
所以b a
⋅的最小值为21,此时a 与b 的夹角α为3
π
…………12分
20．（本小题满分12分）
已知函数()y f x =，若存在0
x ∈R ，使0
()f x x =,则称0
x 是函数()y f x =的一个不动点．设二次函数2
()(1)(1)f x ax b x b =+++-．
（Ⅰ)对任意实数b ,函数()f x 恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若()y f x =的图象上,A B 两点的横坐标是()f x 的不动点，且,A B 两点关于直线2121
y kx a =++对称，求b 的最小值．
解:（Ⅰ）∵函数()f x 恒有两个相异的不动点,
∴2
()(1)0f x x ax bx b -=++-=恒有两个不等的实根，2
24(1)440b a b b ab a ∆=--=-+>对b R ∈恒成立，
∴ 2
(4)160a a -<，得a 的取值范围为(0,1)．……………4分 （Ⅱ）由2
(1)0ax bx b ++-=得1
2
22x x b a
+=-，
由题知1k =-,2121
y x a =-++,……………6分
设,A B 中点为E ，则E 的横坐标为21
(,)2221
b b a a a -
++，……………10分
∴
212221
b b a a a -
=++， ∴
211212a b a a a
=-=-≥++
12(01)a a a =<<，即
2
a =
时等号成立，∴ b
的最小值为4-12分
21．（本小题满分12分）
如图,几何体111
ABCD B C D -中，四边形ABCD 为菱
形，
60
BAD ∠=,
AB a
=，面
111B C D ∥面ABCD ，1BB 、
D
1
B A
B
C
E
F
1
C 1
D
1CC 、1DD 都垂直于面ABCD ，
且1BB ，E 为1CC 的中点，F 为AB 的中点．
(Ⅰ）求证：1
DB E ∆为等腰直角三角形;
(Ⅱ）求二面角1
B DE F --的余弦值．
21解:（Ⅰ)连接BD ,交AC 于O ，因为四边形ABCD 为菱形，60BAD ∠=，所以BD a =，因为1
BB 、1
CC 都垂直于面ABCD ，
∴11//BB CC ，又面111B C D ∥面ABCD ,11//BC B C ∴．
所以四边形11
BCC B 为平行四边形，则11
B C
BC a ==．
因为1
BB 、1
CC 、1
DD 都垂直于面ABCD ，则
1DB ==
DE ===
1B E ===
所以22
2
2
22116634
a a DE B E a DB ++=
== 所以1
DB E ∆为等腰直角三角形． ……………6分
(Ⅱ）取1
DB 的中点H ，因为,O H 分别为1
,DB DB 的中点，所以OH ∥1
BB
以,,OA OB OH 分别为,,x y z 轴建立坐标系，则
1(0,,0),(,0,),(0,),,,0)2224
a a a D E a B F -
所以
1
13233(0,,2),(,,),(,,0)22244
a DB a a DE a a DF a a ==-
=
设面1
DB E 的法向量为
1
111(,,)n
x y z =，则
1
110,0n DB
n DE ⋅=⋅=，即 110ay =且
11102a y += 令1
1z
=,则1(0,)n =． (8)
分
设面DFE 的法向量为2
2
22(,,)n x y z =，
则2
20,
0n
DF n DE ⋅
=⋅=即
22304ay +=
且
222022
a y az ++= 令2
1x
=
，则
2(1,n =，则
(10)
分
12
cos ,2n n ==，
所以 二面角1
B DE F --的余弦值为
． ……………12分
22．（本小题满分12分） 已知数列{}n
a 的前n 项和为n
S ,且213
1(*)22
n
n S
a n n n +=--+∈N ，设n n
b a n =+．
（Ⅰ）证明:数列{}n
b 是等比数列；
（Ⅱ)求数列{}n
nb 的前n 项和n
T ；
（Ⅲ）设12n
n n c a ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭,221n n n n n
c c
d c c ++=+,若数列{}n d 的前2013项和为P ，求不
超过P 的最大的整数值．
22解:（Ⅰ)因为213
122
n n
a S n n +=--+，所以
①当1=n 时，1
21-=a ,则112a =-，……………………1分
②当2n ≥时，
21113
(1)(1)1
22
n n a S n n --+=----+，
所以1
21
n
n a a
n --=--,即1
2()1n
n a n a n -+=+-,
所以1
1(2)2
n n b b n -=≥,而11
1
12
b a =+=,……………………3分
所以数列{}n
b 是首项为12，公比为1
2
的等比数列．……………4分
（Ⅱ）由(Ⅰ）得所以12n
n b ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，2n n
n
nb =．……………6分
所以 ①234112*********
n n n n n T --=++++++，
②2321
23412122222n n n n n
T ---=++++++
， ②—①得：2111112222n n n
n
T -=++++-， n n n n n n T 22222
11211+-=--⎪
⎭⎫ ⎝⎛-=
．………………8分
（Ⅲ）由(1)知12n n a n ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
n c n =∴
22211111
111(1)1
n n n n n n c c c c c c n n n n ++∴=+=+=+-
++++,………10分 所以11111111(1)(1)(1)(1)12233420132014P =+-++-++-+++-
1
20142014
=-
故 不超过P 的最大整数为2013．…………………………12分。