人教B版 选修2-1 高中数学 第三章 3.1.3两个向量的数量积 教学课件

这时候我们发现平面向量的数量积运算 已经无法解决三维空间中的长度和夹角问题 了,这时我们需要寻求空间向量的运算来求解 空间中的夹角和长度.
教学目标
知识目标
（1）掌握空间向量的数量积公式及 向量的夹角公式;
（2）运用公式解决立体几何中的有 关问题.
能力目标
（1） 比较平面、空间向量，培养学 生观察、分析、类比转化的能力;
g=xm+yn, l·g=xl·m+yl·n
继续
∵ l·m=0, l·n=0 ∴ l·g=0 ∴ l⊥g ∴ l⊥g
这就证明了直线l垂直于平面内 的任一条直线，所以l⊥ .
例题2
已知空间四边形ABCD的每条边和对
角线的长都等于a，点M、N分别是边AB、
CD的中点.
求证：MN⊥AB，MN⊥CD .
反向时,
r
a·b=-|a|·|b|;特别地，a
r a
=
r a
2
或
r a
=
rr a a
用于计算向量的r 模r ;
（3）cosθ =
a b
rr
用于计算向量的夹角.
a b
3.平面向量数量积满足的运算律
rr rr （1）交换律: a·b = b·a
（2）对数乘的结合律:
ur r (λa)·b
=
λ(
rr a·b
A
M
D B
N C
证明
因为
uuuur uuur uuur uuur MN = MA+ AD + DN
所以
uuur uuuur uuur uuur uuur uuur AB·MN = AB·( MA + AD + DN )
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
= AB·MA + AB·AD + AB·DN
= - 1 a2 + 1 a2 + 1 a2 = 0 244
MN AB
同理，MN CD
例题3
已知：在空间四边形OABC中， OA⊥BC，OB⊥AC，求证：OC⊥AB.
O 证明：由已知OA BC ，OB AC
所以 OA·BC 0 , OB·AC 0
C A
B
OA·( OC OB ) 0 OB·( OC OA ) 0
（1）证明两直线垂直; （2）求两点之间的距离或线段长度; （3）证明线面垂直; （4）求两直线所成角的余弦值等等.
课堂练习
1.填空
（1）已知向量a，b满足| a |=1，| b |=2，
|a - b|=3，则|a + b|=___1______.
方法一:发现|a + b|2+|a –b |2=2(| a |2+| b |2) 带入求得.
r r rr (1) (λa ) b λ( a b )
(2)
rr rr ab ba
(交换律)
r r r rr rr (3) a ( b+ c ) a b+ a c (分配律)
rr rr
rr
(1)由a b a c，能得到b c吗？
(2)对于向量
r a,
r b,
r c
r ，（a
rr b)c
r ,b
的数量积，记作
rr a·b,
即
rr rr
a b = a b cosθ
向量的夹角： 0 θ π
r b
rB
r
b
a
r
r
bO a
A
B
2.平面向量的数量积的主要性质
设a，b是两个非零向量
（1）a⊥b a×b=0数量积为零是判
定两非零向量垂直的充要条件;
（2）当a与b同向时, a·b=|a|·|b|;当a与b
继续
所以 OA·OC OA·OB OB·OC OB·OA
所 以 OA·OC OB·OC 0 ( OA OB )·OC 0 BA·OC 0
所以 OC AB
课堂小结
1.空间向量数量积的概念. 2.探究空间向量数量积运算的性质. 3.空间向量的运算律. 4.空间向量数量积的应用.
5. 通过学习,体会到我们可以利用向 量数量积解(λb
)
（3）分配律:
(
r a
+
r b
r )·c
=
r a
r ·c +
rr b·c
rr r r rr
数量积不满足结合律,即: ( a·b )·c a·( b·c )
问题: 如图,线段AB,BD在
平面α内，BD⊥AB，AC⊥ α ， AB=a，BD=b，AC=c,求C,D之
间的距离以及异面直线CD与 AB所成的角θ的余弦值.
a
A
a
b
Ob
B
范围:0≤〈a，b〉≤π在这个规定下，
两个向量的夹角就被唯一确定了，并且
〈a，b〉= 〈b，a〉.
如果〈a，b〉= π/2，则称a与b互 相垂直，并记作a⊥b .
2. 空间向量数量积的定义
设OA=a，则有向线段OA的长度叫做
向量a的长度或模，记作: | a |
已知空间两个非零向量
rr a,b
（2）探究空间几何图形，将几何问 题代数化，提高分析问题、解决问题的 能力.
情感目标
（1）通过师生的合作与交流，体现教 师为主导、学生为主体的教学模式;
（2）通过空间向量在立体几何中的应 用，提高学生的空间想象力，培养学生探 索精神和创新意识，让学生感受数学，体 会数学美的魅力，激发学生学数学、用数 学的热情.
①
Q
uuur EG
=
uuuur ED'
+
uuuur D'G
=
1
uuur AD
+
1
uuur AB
22
uuur uuur uuur uuur
AC = AB + AD = 2EG
EG ∥ AC
继续
②
uuur uuuur uuuur
Q FG = FD' + D'G =
1
uuuur AA'
+
1
uuur AB
，
则
rr rr
rr
rr
a b cosa,b 叫做a ,b的数量积，记作 a·b,
即
rr a·b =
r a
r b
rr cosa , b（0
ar,br
π）
（1）两个向量的数量积是数量，而不 是向量.
（2）规定:零向量与任意向量的数量积 等于零.
r r rr （3） a 、b 仍是a 、b的模.
3.空间向量数量积的运算律
rr a(b
r c)
成立吗？
4.线面垂直的判定定理：
若m、n是平面α内的两条相交直线， 且l⊥m， l⊥n. 则l ⊥α.
l
n
g
m
例题1
已知m,n是平面内的两条相交直线， 直线l与的交点为B，且l⊥m，l⊥n，
求证：l⊥ .
l
lm
g m
gn
n
分析：由定义可知，只需证l与平面内
任意直线g垂直.
要证l与g垂直，只需证l·g＝0 而m，n不平行，由共面向量定理知，存
中，真命题是（ D ）
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④
3.解答题
如图，在平行六面体ABCD-A’B’C’D’
中，E,F,G分别是A’D’，D’D，D’C’的中点，
请选择恰当的基底向量证明：
D'
①EG//AC
E
A'
F
②平面EFG//平面AB’C D
G
C'
B'
C
A
B
证明
取基底：
uuuur uuur uuur AA' , AB, AD
导入新课
复习
如果一个物体在力F的作用下产生
位移s,那么力F所作的功W
=
uur F
ur S
=|
uur F
||
ur S
|
cosθ
,
为了在数学中体现“功”的这样一个标
量,我们引入了“数量积”的概念.
uur F
θ
ur S
1.平面向量数量积的定义
已知两个非零向量 ar
,
r b
,
则
r a
r b cosθ
叫做
r a
有其他方法 吗？
继续
方法二:由|a –b|2=| a |2 - 2a·b + | b |2 带入求得a·b=-2. ∴|a + b|2=| a |2+2a·b+| b |2 得 |a+b|=1
方法三:数形结合法，发现形的特殊性.
（2）已知 a 2 2 , b 2 , a b 2
2
则a，b所成的夹角为__1_3_5___.
分析:根据两向量夹角公式
rr a·b =
r a
r b
rr cosa , b
（0
ar,br
π）
可得到所求结果.
2.选择
设a，b，c是任意的非零空间向量，且
相互不共线，则： ①(a·b)c-(c·a)b=0 ②|a|-|b|<|a-b| ③(b·c)a-(c·a)b不与c垂直 ④(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2
教学重难点
重点
空间向量数量积公式及其应用.
难点
（1）如何将立体几何问题等价转化 为向量问题;
（2）在此基础上，通过向量运算解 决立体几何问题.
知识要点
1.两个向量的夹角的定义
如图，已知两个非零向量a，b.在空 间任取一点O，作OA=a，OB=b，则角 ∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作:〈a，
b〉
22
uuuur uuur uuuur uuur AB' = AB + AA' = 2FG
FG / /AB'
由①知 EG∥AC
∴平面EFG//平面AB’C.
在唯一的有序实数对(x,y)使得 g=xm+yn
要证l·g＝0,只需l·g= xl·m+yl·n=0 而l·m＝0 ，l·n＝0 故 l·g＝0
证明
在内作不与m、n重合的任一条直 线g,在l、m、n、g上取非零向量l、m、n、 g，因m与n相交，得向量m、n不平行.
由共面向量定理可知，存在唯一的
有序实数对（x，y），使