上海奉贤区2010届高三摸底测试文科

上海市奉贤区2010届高三摸底测试数学试题（文科）一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．设全集U ={a 、b 、c 、d 、e}， 集合A={a 、b}，B={b 、c 、d}，则A∩C U B=________. 2．已知f （x ）112+-=x x ，则)3(1-f ＝____________.3．等差数列{a n }中，a 5+a 8+ a 11+ a 14+ a 17=50，则S 21= .4．向量a 、b 满足|a |=2，|b |=3，且|a +b |=7，则a.b = .5．现有形状特征一样的若干个小球，每个小球上写着一个两位数，一个口袋里放有标着所有不同的两位数的小球，现任意取一个小球，取出小球上两位数的十位数字比个位数字大的概率是 .6．方程2cos2x = 1的解是 .7．某项工程由下列工序组成：则工程总时数为 _.工序 a b c d e f 紧前工序 —— —— a 、b c c d 、e 工时（天） 2 4 5 7 4 38．设方程x 2–2x+m=0的两个根为α、β，且|α–β|=2，则实数m 的值是 . 9．圆（x+2）2+（y –1）2= 5关于原点对称的圆的方程为 .10．给出下列命题：（1）常数列既是等差数列，又是等比数列；（2）实数等差数列中，若公差d<0，则数列必是递减数列；（3）实数等比数列中，若公比q>1，则数列必是递增数列；（4）1)4142(lim =-+∞→nn n n ；（5）首项为a 1，公比为q 的等比数列的前n 项和为S n =q q a n --1)1(1. 其中正确命题的序号是 .11．若点),(y x P 满足不等式组：,0,0625⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+y x y x y x 则目标函数K=6x+8y 的最大值是 .12．若在由正整数构成的无穷数列{a n }中，对任意的正整数n ，都有a n ≤ a n+1，且对任意的正整数k ，该数列中恰有k 个k ，则a 2008= .二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必本大题满分16分）须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分. 13．下列函数图象中，正确的是 （ ）A B C D14．顶点在原点，焦点在y 轴上的抛物线上的一点P （m ，－2）到焦点距离为4，则m 的值为（ ） A ．－2 B ．2或－2 C ．4 D ．4或－415．若12)21(lim +∞→+n n rr 存在，则r 的取值范围是 （ ）A ．r≥–31或r≤－1B ．r>－31或r<－1C ．r>－31或r≤－1D ．－1≤ r≤－3116．异面直线a ，b 成80°角，点P 是a ，b 外的一个定点，若过P 点有且仅有n 条直线与a ，b 所成的角相等且等于45°，则n 的值为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 17．（本小题满分12分） 解不等式：)22(log )2(log 222->--x x x .18．（本小题满分12分） 已知απαααααsin ),2,0(,12cos cos 2sin 2sin 2求=-+、αtan 的值.19．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2、3小题满分各5分）已知边长为6的正方形ABCD 所在平面外一点P ，PD ⊥ 平面ABCD ，PD=8，（1）连接PB 、AC ，证明：PB ⊥ AC ； （2）求PB 与平面ABCD 所成的角的大小；（3） 求点D 到平面PAC 的距离.20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在美国广为流传的一道数学题目是：老板给你两种加工资的方案。

第一种方案是每年年末（12月底）加薪一次，每次所加的工资数是在上次所加工资数的基础上再增加1000元；第二种方案是每半年（6月底和12月底）各加薪一次，每次所加的工资数是在上次所加工资数的基础上再增加300元，请选择一种. 根据上述条件，试问：（1）如果你将在该公司干十年，你将选择哪一种加工资的方案？（说明理由）（2）如果第二种方案中的每半年加300元改成每半年加a 元，那么a 在什么范围内取值时，选择第二种方案总是比选择第一种方案多加薪？ 21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）设有抛物线C ：y= –x 2+29x –4，通过原点O 作C 的切线y=mx ，使切点P 在第一象限． （1）求m 的值，以及P 的坐标；（2）过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q ；（3）设C 上有一点R ，其横坐标为t ，为使∆OPQ 的面积小于∆PQR 的面积，试求t 的取值范围．22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分）由函数y=f （x ）确定数列{a n }，a n =f （n ），函数y=f （x ）的反函数y=f –1（x ）能确定数列{b n }，b n = f –1（n ），若对于任意n ∈N *，都有b n =a n ，则称数列{b n }是数列{a n }的“自反数列”.（1）若函数f （x ）=11++x px 确定数列{a n }的自反数列为{b n }，求a n ； （2）在（1）条件下，记nx x x n11121Λ++为正数数列{x n }的调和平均数，若d n =112-+n a ，S n 为数列{d n }的前n 项之和，H n 为数列{S n }的调和平均数，求nH nn ∞→lim；（3）已知正数数列{c n }的前n 项之和).(21nn n c nc T += 求T n 表达式.参考答案一、填空题1．{a} 2．－4 3．210 4．－3 5．0.5 6．x=k π6π±k ∈Z 7．198．2 9．（x －2）2+ （y+1）2= 5 10．（2）、（4） 11．40 12．63二、选择题13．C 14．D 15．A 16．B三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 17．解：原不等式变形为⎪⎩⎪⎨⎧-<-->->--222010222x x x x x x ……………………………………4分 ⎪⎩⎪⎨⎧<->->+-03,01,0)1)(2(2x x x x x …………………………………………8分 ⎩⎨⎧<<>30,2x x ，所以x >3………………………………………12分 18．解：由,12cos cos 2sin 2sin 2=-+αααα得 0cos 2cos sin 2cos sin 42222=-+ααααα…………………………3分 0)1sin sin 2(cos 222=-+ααα.0)1)(sin 1sin 2(cos 22=+-ααα………………………………………6分因为,0cos ,01sin ),2,0(≠≠+∈ααπα且所以所以2sin α－1=0，即sin α=21……………………………………………9分所以33tan ,6==απα即…………………………………………………12分 19．（1）证明：连接BD ，交AC 于O ，在正方形ABCD 中，AC ⊥ BD ，又PD ⊥平面ABCD ，所以，PD ⊥AC ，……………………………………2分 所以AC ⊥平面PBD ，故PB ⊥ AC.……………………………………4分（2）解：因为PD ⊥平面ABCD ，则∠PBD 就是PB 与平面ABCD 所成的角，………6分 在∆PBD 中，PD=8，BD=62 所以 tan ∠PBD = 322 ∠APO=arctan322…………………………8分PB 与平面ABCD 所成的角的大小为arctan 322……………………………………9分（3）解：连接PC ，设点D 到平面PAC 的距离为h ，……………………………10分 则有V D –PAC =V P –ACD ，即：31⨯ S ∆PAC ⨯ h =61⨯PD ⨯AD ⨯DC………………………12分 在∆PAC 中，连结PO ，显然PO ⊥AC ，PO=82h =414124所以点D 到平面PAC 的距离为414124……………………………………14分 20．解：（1）第10年末，依第一方案得1000+2000+…+10000=55000（元）……………………………………2分依第二方案得300+300×2+300×3+…+300×20=63000（元）………………4分 ∵63000－55000=8000（元）∴在该公司干10年，选择第二方案比选择第一方案多加薪8000元.…………6分 （2）第n 年末，依第一方案，得：1000（1+2+3+…+n ）=500n （n+1）（元）……8分依第二方案，得：a （1+2+3+…+2n ）=an （2n+1）……………………………………10分 由题意an （2n+1）>500n （n+1）对所有正整数恒成立…………………………12分即a>3100032502501225025012)1(500=+≥++=++n n n . ∴当a>31000时，总是第二方案加薪多.……………………………………14分21．解：设点P 的坐标为（x 1， y 1），则y 1=kx 1……①，y 1= –21x +29x 1 – 4……②， ①代入②，得：21x +（k –29）x 1+4=0……………………………………2分因为点P 为切点，所以 （k –29）2–16=0，得：k=217或k=21……………………4分当k=217时x 1= –2，y 1=－17；当k=21时，x 1= 2，y 1= 1；因为点P 在第一象限，故所求的斜率k=21，P 的坐标为 （2，1），……………6分（2）过 P 点作切线的垂线，其方程为：y=－2x+5……③，代入抛物线方程，得：x 2－213x+9=0，设Q 点的坐标为 （x 2， y 2），则2x 2=9，所以x 2=29，y 2= －4， 所以Q 点的坐标为 （29，－4），……………………………………10分（3）设C 上有一点R （t ，－t 2+29t －4），它到直线PQ 的距离为： d=5|5)429(2|2--+-+t t t =5|9213|2+-t t ……………………………………12分 点O 到直线PQ 的距离PO =5，S ∆OPQ =21⨯PQ ⨯OP ，S ∆PQR =21⨯PQ ⨯d ，因为∆OPQ 的面积小于∆PQR 的面积，S ∆OPQ < S ∆PQR ， 即：OP < d ，即：|9213|2+-t t >5，……………………………………14分t t 2132-+4>0或t t 2132-+14<0 解之得：t<410513-或t>410513+所以t 的取值范围为t<410513-或t>410513+.……………………………16分22．解：（1）由题意的：f –1（x ）=p x x --1= f （x ）=11++x px ，所以p =－1，…………2分所以a n =11++-n n ………………………………………………………………………3分（2）a n =11++-n n ，n a d n n =-+=112，…………………………………………4分 n S 为数列{d n }的前n 项和，2)1(+=n n S n ，……………………………………5分又H n 为数列{S n }的调和平均数，所以2)1()1(232221211121+=+++⨯+⨯=++=n n n nS S S n H nn ΛΛ………8分2121lim lim0=+=∞→→n n n H n n n ………………………………………………………10分（3）因为正数数列{c n }的前n 项之和).(21nn n c nc T +=所以),(21111c nc c +=解之得：c 1=1，T 1=1……………………………………11分当,2,,2111----+-=-=≥n n n n n n n n T T nT T T T T c n 所以时n T T T T nT T n n n n n n =--=+---21211,即……………………………………14分 所以，,2,,2,1212223222221=--=--=-----T T n T T n T T n n n n Λ累加得：,432212n T T n ++++=-Λ………………………………………………16分2)1(,2)1(43212+=+=+++++=n n T n n n T n n Λ…………………18分。