高二数学 3.4生活中的优化问题举例学案 新人教A版选修1-1

高中数学 3.4生活中的优化问题举例学案
►基础梳理
1. 优化问题．
生活中经常遇到的利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题． 2．利用导数解决优化问题的基本思路．
3．利用导数解决优化问题的一般步骤．
(1)审题：认真阅读，分析实际问题中各个量之间的关系．
(2)建模：实质就是数学化的过程，即把实际问题用数学符号、式子、图形等表示出来，写出实际问题中变量之间的函数关系y ＝f (x )．
(3)求解：求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0，并比较区间端点和使f ′(x )＝0的点的函数值的大小，得出函数的最值．
(4)检验：对结果进行验证评估，定性、定量分析，作出判断，确定问题的答案． ►自测自评
电动自行车的耗电量y 与速度x 有如下关系：y ＝13x 3－392
x 2
－40x (x >0)，为使耗电量最小，
则速度应定为40．
1. 为了保证容积一定的圆柱形金属饮料罐所用的材料最省，则它的高与其底面半径之比是(D )
A ．1∶2
B ．1∶1
C ．3∶1
D ．2∶1
解析：设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则V ＝πr 2
h (V 是定值)，即h ＝
V
πr
2，因此，所使用材料总面积为S ＝2πr 2
＋2πrh ＝2⎝
⎛⎭⎫πr 2
＋V r ，则S ′＝2⎝
⎛⎭
⎫2πr －
V r 2，由S ′＝0，得2πr 3
＝V ，可以证明此时的r 能使S 最小．进而得到h ＝2r .
点评：本题是含字母的运算，对计算能力要求较高，注意运用整体思想和设而不求． 2．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R 与年产量x (0≤x ≤390)的关系是R (x )＝－x 3
900
＋400x ，(0≤x ≤390)当x ＞390时，R (x )
＝90 090，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是(D)
A ．150
B ．200
C ．250
D ．300 解析：∵总利润P (x )＝
⎩⎪⎨
⎪⎧－x 3
900＋300x －20 000，0≤x ≤390，
90 090－100x －20 000，x ＞390，
由P ′(x )＝0，得x ＝300，故选D.
3．某养鸡场是一面靠墙，三面用铁丝网围成的矩形场地．如果铁丝网长40 m ，那么围成的场地面积最大为________．
解析：设靠墙的一面长x m ，围成的场地面积为y m 2
，此时矩形的宽为40－x
2
＞0. ∴y ＝x ·
40－x 2＝－12
x 2
＋20x .(0＜x ＜40) y ′＝－x ＋20，令y ′＝0得x ＝20， 当0＜x ＜20时，y ′＞0. 当20＜x ＜40时，y ′＜0.
∴x ＝20时，y 最大＝20×10＝200.
答案：200 m 2
4．某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x 、y (单位：m)的矩形，上部
是等腰直角三角形．要求框架围成的总面积为8 m 2
.问x 、y 分别为多少时用料最省(精确到0.001 m)?
解析：由题意，得xy ＋14
x 2
＝8，
∴y ＝8－14x 2x ＝8x －x
4
(0＜x ＜42)．
于是，框架用料总长度为
l ＝2x ＋2y ＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫22x ＝⎝⎛⎭⎫3
2
＋2x ＋16x .
求导得，l ′＝⎝⎛⎭⎫32＋2－16
x 2，由l ′＝0.
得x ＝8－4 2.
可以证明，当x ＝8－42时，用料最省．此时，x ＝8－42≈2.344，y ＝22≈2.828.
故当x 为2.344 m ，y 为2.828 m 时，用料最省．
点评：本题也可以用基本不等式求解，但计算量较大．
1．用边长为48 cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，焊成一个正四棱形柱容器，则当所做的容器的体积最大时，被截去的小正方形的边长是(B )
A ．6 cm
B ．8 cm
C ．10 cm
D ．12 cm
解析：设小正方形的边长为x (0＜x ＜24)，则容器的容积为V ＝x (48－2x )2
. 根据导数，不难得出，当x ＝8时，V 最大．故选B.
2．曲线C ：y ＝4－x 2
(x ＞0)上的点与点P (0，2)的最短距离是(C )
A.
32 B.52 C.72 D.32
解析：设Q (x ，4－x 2
)(x ＞0)是曲线C 上任意一点，则PQ 的距离为 |PQ |＝（x －0）2
＋（4－x 2
－2）2
＝x 4
－3x 2
＋4，
令f (x )＝x 4
－3x 2
＋4(x ＞0)，根据导数可求得，当x ＝
32时，f (x )min ＝74，从而|PQ |min ＝72
. 3．某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利
润y (万元)与营运年数x (x ∈N *)满足y ＝－x 2
＋12x －25，则每辆客车营运多少年使其营运年平均利润最大(C )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
解析：∵总利润y (万元)与营运年数x 之间的关系为y ＝－x 2
＋12x －25，
∵平均利润y x ＝－x －25
x
＋12＝－⎝⎛⎭
⎫x ＋25x ＋12，
⎝⎛⎭
⎫y x ′＝25
x 2－1，令25x 2－1＝0，解得x ＝5. 故选C.
4．要做一个母线长为20 cm 的圆锥形漏斗，使其体积最大，则它的高等于(D ) A.
33 cm B.1033 cm C.1633 cm D.2033
cm 解析：设圆锥的高为h (0＜h ＜20)，则底面半径为202－h 2，它的体积为V ＝13
πh (202－h 2
)，
于是
V ′＝13π(202－3h 2)，令V ′＝13π(202－3h 2)＝0，得h ＝
203
3
. 可以证明，当圆锥的高为
203
3
cm 时，其体积最大． 5．如右图，在半径为r 的圆O 的一侧作一内接梯形ABCD ，使其下底为圆的直径，其他三边为圆的弦．当梯形的面积 最大时，梯形的上底长为(D )
A.12
r B.32
r C.33r D ．r
解析：如题图，设∠AOD ＝x ⎝
⎛⎭⎫0＜x ＜π
2，
则∠BOC ＝x ，∠COD ＝π－2x ，于是梯形的面积为
S ＝2·12r 2sin x ＋1
2
r 2sin (π－2x )＝r 2(sin x ＋sin x cos x )，那么，S ′＝r 2(cos x ＋cos 2x )
＝r 2(2cos 2
x ＋cos x －1)．
令S ′＝0，解得，cos x ＝12或cos x ＝－1(不合题意，舍去)，即x ＝π
3
.
易知，当x ＝π
3
时，梯形面积最大．相应地，△OCD 为正三角形，所以梯形的上底长是r .
6．某工厂生产某种商品x 单位的利润是C (x )＝500＋x －0.001x 2
，则生产该商品________单位时，所获得的最大利润是________．
解析：由于C (x )是二次函数，所以可以求导或者配方或者直接用公式即可得到，生产该商品500单位时，所获得的最大利润是750.
答案：500 750
7．做一个容积为256升的方底无盖水箱，它的高为________分米时，用料最省．
解析：设水箱高为x 分米．则底面正方形的边长是16
x
分米，那么总用料面积是
S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫16x 2
＋4·x ·16x ＝64⎝⎛⎭⎫x ＋4x ，求导后，得到，当 x ＝4分米时，用料最省． 答案：4
8．把长为12厘米的细铁丝截成两段，各自围成 一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是________．
解析：设一段细铁丝为x cm(0＜x ＜12)，则另一段为(12－x )cm ，那么这两根细铁丝各自围
成的两个正三角形面积的和是S ＝f (x )＝34⎝⎛⎭⎫x 32＋34⎝⎛⎭⎫12－x 32＝336(2x 2
－24x ＋144)＝318[(x －
6)2
＋36]．于是，当x ＝6 cm 时，这两个正三角形面积之和的最小值是2 3 cm 2
.
答案：2 3 cm 2
9．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位该产品，成本增加100元，已知每月总收益R 与月产量x 的关系是R (x )＝
⎩⎪⎨
⎪⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，
80 000，x ＞400，
若要使公司每月的总利润最大，该产品的月产量是多少？ 解析：依题意，可以求得，总利润为
L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫400x －12x 2－（100x ＋20 000），0≤x ≤400，80 000－（100x ＋20 000），x ＞400，
即L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x 2＋300x －20 000，0≤x ≤400，
－100x ＋60 000，x ＞400.
(1)若0≤x ≤400，可求得当x ＝300时，
L (x )max ＝25 000；
(2)若x ＞400，显然L (x )＜20 000.
因此，该产品的月产量为300单位时，总利润最大．
10．某地区预计从2011年初开始的第x 月，商品A 的价格f (x )＝12
(x 2
－12x ＋69)(x ∈N ，x
≤12，价格单位：元)，且第x 月该商品的销售量g (x )＝x ＋12(单位：万件)．
(1)2011年的最低价格是多少？
(2)2011年的哪一个月的销售收入最少？
解析：(1)f (x )＝12
[(x －6)2
＋33]，∴当x ＝6时，f (x )取得最小值，即第6个月的价格最低，
最低价格为16.5元．
(2)设第x 月的销售收入为y (万元)，依题意有y ＝12(x 2－12x ＋69)(x ＋12)＝12
(x 3
－75x ＋
828)，
y ′＝12(3x 2－75)＝3
2
(x ＋5)(x －5)，所以当1≤x ≤5时y ′≤0，y 递减；
当5≤x ≤12时y ′≥0，y 递增，所以当x ＝5时，y 最小，即第5个月销售收入最少． 答案：2011年在第5月的销售收入最低．
11．已知某工厂生产x 件产品的成本为c ＝25 000＋200x ＋140
x 2
(元)．
(1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？
(2)若产品每件以500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？ 解析：(1)设平均成本为y 元，则
y ＝25 000＋200x ＋140x
2
x ＝25 000x ＋200＋1
40x (x >0)，
y ′＝－25 000x 2＋1
40
(x >0)，
令y '＝0，得x 1＝1 000，x 2＝－1 000(舍去)． 因此，要使平均成本最低，应生产1 000件产品．
(2)利润函数L ＝500x －⎝
⎛⎭⎫25 000＋200x ＋140x 2＝300x －25 000－140x 2
.
L ′＝300－1
20
x .
当x ∈(0，6 000)时，L ′(x )＞0；当x ∈(6 000，＋∞)时，L ′(x )＜0.∴x ＝6 000时，L ′(x )取得极大值，即函数在该点取得最大值．
令L ′＝0，得x ＝6 000.
因此要使利润最大，应生产6 000件产品．
12. 如右图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r ，短半轴长为r ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上，设CD ＝2x ，梯形面积为S .
(1)求面积S 以x 为自变量的函数式，并写出其定义域； (2)求面积S 的最大值．
分析：先建立直角坐标系，设出椭圆的方程，表示出梯形面积的函数关系，利用导数的有关知识解决问题．
解析：(1)依题意，以AB 的中点O 为原点建立直角坐标系Oxy (如右图)，则点C 的横坐标
为x ，点C 的纵坐标y 满足方程x 2r 2＋y 2
4r
2＝1(y ≥0)，
解得y ＝2r 2
－x 2
(0<x <r )，
S ＝1
2
(2x ＋2r )·2r 2－x 2＝2(x ＋r )·r 2－x 2，其定义域为{x |0<x <r }．
(2)记f (x )＝4(x ＋r )2(r 2－x 2
)，0<x <r ，
则f ′(x )＝8(x ＋r )2
(r －2x )． 令f ′(x )＝0，得x ＝r
2
.
因为当0<x <r 2时，f ′(x )>0；当r 2<x <r 时，f ′(x )<0.所以f ⎝⎛⎭⎫r
2是f (x )的最大值．
因此，当x ＝r
2时，S 也取得最大值，最大值为f ⎝⎛⎭
⎫r 2＝332
r 2.
即梯形面积S 的最大值为
332
r 2
. 点评：本题主要考查解析几何知识、函数知识以及导数在实际问题中的应用．解题思路是将已知的几何关系数量化，再借助导数研究其性质．本题巧妙地将实际问题与解析几何、函数、导数结合起来，非常具有新意．
►体验高考
1．某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该块地上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？
(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用
建筑总面积
)
解析：设楼房每平方米的平均综合费用为f (x )元，
则f ()x ＝()560＋48x ＋2 160×10 0002000x ＝560＋48x ＋
10 800
x
()x ≥10，x ∈N *， f ′()x ＝48－10 800
x
2
，令 f ′()x ＝0，得x ＝15. 当x >15时，f ′()x >0 ； 当10<x <15时，f ′()x <0.
因此，当x ＝15时，f (x )取最小值f ()15＝2 000.
答：为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层．
2．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x )x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y 万元．
(1)试写出y 关于x 的函数关系式．
(2)当m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？ 解析：(1)设需要新建n 个桥墩，
(n ＋1)x ＝m ，即n ＝m x
－1，
所以y ＝f (x )＝256n ＋(n ＋1)(2＋x )x
＝256⎝⎛⎭⎫m x －1＋m x (2＋x )x
＝256m x
＋m x ＋2m －256.
(2)由(1)知，f ′(x ) ＝ －256m x 2 ＋ 12mx －1
2
＝ m
2x
2(x 32－512)．
令f ′(x )＝0，得x 3
2＝512，所以x ＝64.
当0<x <64时f ′(x )<0，f (x )在区间(0，64)内为减函数；
当64<x <640时，f ′(x )>0. f (x )在区间(64，640)内为增函数， 所以f (x )在x ＝64处取得最小值，此时，
n ＝m x －1＝640
64
－1＝9.
故需新建9个桥墩才能使y 最小．
3．围建一个面积为360 m 2
的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x (单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y (单位：元)． (1)将y 表示为x 的函数；
(2)试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．
解析：(1)如下图所示，设矩形的另一边长为a m ，
y ＝45x ＋180(x －2)＋180×2a ＝225x ＋360a －360，
由已知xa ＝360，得a ＝360
x
，
所以y ＝225x ＋
360
2
x
－360(x >0)．
(2)y ′＝－360
2
x
2＋225，令y ′＝0得x ＝24(x ＝－24舍去)．
即当x ＝24 m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元．
4．某企业拟建造如下图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左
右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为80π
3
立方米，且l ≥2r ，假设该容器的建造费用
仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c (c >3)千元，设该容器的建造费用为y 千元．
(1)写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域； (2)求该容器的建造费用最小时的r . 解析：(1)设容器的容积为V ，
由题意知V ＝πr 2l ＋43πr 3
，又V ＝80π3
，
故l ＝V －43πr 3
πr 2
＝803r 2－43r ＝43⎝⎛⎭
⎫20
r 2－r . 由于 l ≥2r ，因此 0<r ≤2，所以建造费用 y ＝2πrl ×3＋4πr 2
c ＝2πr ×43⎝⎛⎭
⎫
20r 2－r ×3＋4πr 2
c ，因此 y ＝4π(c －2)r 2
＋
160π
r
，0<r ≤2.
(2)由(1)得y ′＝8π(c －2)r －160πr 2＝8π（c －2）r 2·⎝⎛⎭
⎫
r 3－20c －2，0<r ≤2.
由于c >3，所以c －2>0.
当r 3
－20
c －2＝0时，r ＝ 320c －2
.
令
3
20
c －2
＝m ，则m >0， 所以 y ′＝8π（c －2）r
2(r －m )(r 2＋rm ＋m 2
)． ①当0<m <2即c >9
2
时，
当r ＝m 时，y ′＝0； 当r ∈(0，m )时，y ′<0； 当r ∈(m ，2)时，y ′>0.
所以 r ＝m 是函数y 的极小值点，也是最小值点．
②当m ≥2即3<c ≤9
2
时，
当r ∈(0，2)时，y ′<0，函数单调递减． 所以 r ＝2是函数y 的最小值点．
综上所述，当3<c ≤9
2
，建造费用最小时r ＝2；
当c >9
2，建造费用最小时r ＝ 320c －2
.
5．某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．
(1)将V 表示成r 的函数V (r )，并求该函数的定义域；
(2)讨论函数V (r )的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大．
解析：(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh ＝200πrh 元，底面的总本本为160πr
2
元，所以蓄水池的总成本(200πrh ＋160πr 2)元，又据题意200πrh ＋160πr 2
＝12 000π，所以
h ＝15r (300－4r 2)，从而V (r )＝πr 2h ＝π
5
(300r －4r 3)．
因为r ＞0，又由h ＞0可得r ＜53，故函数V (r )的定义域为(0，53)．
(2)因为V (r )＝π5(300r －4r 3)，故V ′(r )＝π5
(300－12r 2
)．令V ′(r )＝0，解得r 1＝5，r 2
＝－5(r 2＝－5不在定义域内，舍去)．
当r ∈(0，5)时，V ′(r )＞0，故V (r )在(0，5)上为增函数；当r ∈(5，53)时，V ′(r )＜0，故V (r )在(5，53)上为减函数．
由此可知，V (r )在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8，即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大．。