株洲市级教学质量统一检测(一)数学试题(文科)

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株洲市 2009 年高三年级教学质量统一检测（一）
数学试题（文科）
本试卷分第 Ⅰ 卷（选择题）和第 Ⅱ 卷（非选择题）两部分．满分 150 分，考试时间 120 分
钟．
参考公式：
如果事件 A 、B 互斥，那么
正棱锥、圆锥的侧面积公式
P( A B) P( A) P(B)
S 锥侧
1
cl
2
如果事件 A 、B 相互独立，那么 其中， c 表示底面周长、 l 表示斜高或 P( A B) P( A) P(B)
母线长 如果事件 A 在 1 次实验中发生的概率是 球的体积公式
P ，那么 n 次独立重复实验中恰好发生k
V 球
4 R 3
3
次的概率 P n (k) C n k P k (1 P)n k
其中 R 表示球的半径
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题。

本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合要求的．答案要写在答题卷上。

1. 已知集合 A x | x
1 , B
x | 2 x 0 , 则 A B
A. x | x 0
B.
x | x 2
C.
x | 1 x 0
D. x | 1 x 0
2.
已知 a 、 b 、 c
ac
2
bc
2
”是 “a
b ”的
都是实数，则 “
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C.充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
x 0
3.已知实数 x 、 y 满足条件
y 0
，那么 x 3y 的最大值是
2x y
2
A. 1
B.3
C. 6
D. 8
第1页共4页
4. 函数 y
x 2
1
的值域是
x 2 1
A.
1,1 B.
1,1
C.
1,1
D.
1,1
5.在正方体 ABCD A 1BC 11D 1 中，下列结论正确的是
A ． A 1B//DC
B ． A 1B C
C 1
C ． 平面 A 1 BC
D 1 // 平面 ABB 1 A 1 D ． 平面 A 1BCD 1
平面 ABB 1 A 1
6. 函数 f
x
lg x
1 的图像大致是
y
y
y
y
O x O
x O x O
A ．
B ．
C ． D
7. 在△ ABC 中，内角 A 、B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，且 2c 2 2a 2 2b 2 ab ，则
△ ABC 是
A ．钝角三角形
B ．直角三角形
C ．锐角三角形
D ．等边三角形
8. 某电视台连续播放
6 个广告，其中 4 个不同的商业广告和 2 个不同的奥运宣传广告，要
后播放的必须是奥运宣传广告，且 2 个奥运宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有
A.720 种
B.48 种
C.96 种
D. 192 种
9. 已知三棱锥 P － ABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形， AB ＝ PA ＝ PB ＝ PC ＝
该三棱锥的外接球的球心到平面
ABC 的距离为
10 3
5 3 3 D.
5 3
A.
B.
C.
3
3
10.若 x Z, n N ，定义 M x n
x x 1 x 2
x n 1 , 则函数 f x
M x 11 5 的奇
A. f x 为偶函数，不是奇函数
B. f x 为奇函数，不是偶函数
C. f
x 既是偶函数，又是奇函数
D.
f x 既不是偶函数，又不是奇函数
第2页共4页
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题。

本大题共
5 小题，每小题 5 分，共 25 分，把答案填在答题卡中对应题号后的横
线上 .
11. 已知等差数列 a n 中， a 2 a 4 a 6 6 ，则 log 2 a 3 a 5 的值为 _________.
12.已知函数
f x 是函数 y
x 的反函数，则函数
f x 图像上点 x
1 处切线的方程为
______________.
n
13.二项式
x
1 的展开式的各项系数和大于
32
小于 128，则展开式中系数最大的项 3
x
是 .
14.直线 y x 1按向量 a
1, k
x 2
y 2
2相切，则实数 k 的值为
平移后与圆 1
2
_____.
15.设 F 1、F 2 分别是椭圆
x 2 y 2 1 a
b 0 的左、右焦点，若在其左准线上存在点
M ，使
a
2
b
2
线段 MF 2 的中垂线过点 F 1，则椭圆的离心率的取值范围是 _______________.
三．解答题：本大题共
6 小题，共 75 分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（本题满分 12 分） 在锐角 △ ABC 中，内角 A 、 、 的对边分别为 a 、b 、 c ，且 b
16 . B C
sin B.
2a
（Ⅰ）求 A 的值；
（Ⅱ）求 sin B
cos C 的取值范围。

17（本题满分 12 分）.设进入健身中心的每一位健身者选择甲种健身项目的概率是
0.6 ，选择乙
种健身项目的概率是身项目是相互独立的。

（Ⅰ）求进入该健身中心的 1 位健身者选择甲、乙两种项目中的一项的概率；
（Ⅱ）求进入该健身中心的 4 位健身者中，至少有 2 位既未选择甲种又未选择乙种健身项目的概率。

18 （本题满分 分） . 四棱锥 P ABCD 中， AB // DC ， DA AB, PA 平面
ABCD ， PA 12 ＝ AD ＝ AB ＝2， CD ＝4。

P
（Ⅰ）求证：平面 PAD 平面
ABCD ;
D
C
（Ⅱ）求点 A 到平面 PBC 的距离；
（Ⅲ）求二面角 B
PC D 的大小。

A
B
19（本题满分
13 分） . 数列 a n 的前 n 项和为 S n ，点 n, S n 在曲线 y x 2
11x 上。

（Ⅰ）求数列 a n 的通项公式；
（Ⅱ）设 b n
a n 12
，数列 b n
的前
n 项和为 T n ，若 2T n
m 2 对 n
N 恒成立，求
2
n 1
正整数 m 的值。

20 （本题满分 13.
4 0 ），直线 l : x 1，和动点 P 。

作 PQ l
，垂足为
分）已知点 F （ ， 向量 PF 2PQ
PF 2PQ ，设点 P 的轨迹曲线为 C 。

（Ⅰ）求曲线 C 的方程；
（Ⅱ）定义：直线被曲线所截得的线段叫做这条曲线的弦。

求曲线
C 的以 N （ -3， 1）
的弦的直线方程。

21（本题满分 13 分） . 设函数 f x
x 3 ax 2
a 2 x 1, 二次函数 g x ax 2 x 1。

（Ⅰ）若 a
0 ，求 f x 的单调区间；
（Ⅱ）当函数 y f x 与 y g x 的图象只有一个公共点且 g x 存在最大值时， 记 g
最大值为 h a ，求函数 h a 的解析式；
（Ⅲ）若函数
f x 与
g x 在区间 a 2, a 内均为增函数，求实数 a 的取值范围。

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株洲市 2009 年高三年级教学质量统一第4检页测共4（页一）
0.5，且选择甲种与选择乙种健身项目相互独立，各位健身者之间选择健
数学试题（文科）参考答案
命题人：阳志长（株洲县五中）方厚良（株洲县五中）邓秋和（株洲市二中）
审题人：邓秋和（株洲市二中）阳志长（株洲县五中）方厚良（株洲县五中）
一、选择题：（本大题共10 小题，每小题 5 分，共 50 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。

）
题号1２３４５６７８９１０答案B A C A D A A D B B 二、填空题：（本大题共５小题，每小题５分，共２５分。

把答案填写在相应的横线上。

）
1
3
11. 2 12. 2x y 1 0 13.20 x2 14.－ 3或－ 7 15. ,1
3
三、解答题：（本大题共 6 小题，满分75 分，解答要写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16.解：（Ⅰ）根据正弦定理，由
b
sin B, 得 sin A
1
2a
，----2 分
2
∴锐角 A
6。

―――4分
（Ⅱ）∵ A B C ， A C
5
6 B，―――5分
6
sin B cosC ＝ sin B cos 5 B 3 3
sin B
1
cos B
6 2 2 ＝ 3 sin B 。

―――9 分
6
0 C 5 B ， B -----10 分
6 3 2
2
6 B
6
， 1 sin B
6
3 ，
3 2 2
故 sin B cosC 的取值范围是 3 , 3 。

-----12 分
2 2
17.解：（Ⅰ）记 A 表示事件：进入该健身中心的 1 位健身者选择的是甲种项目， B 表示事件：进入该健身中心的 1 位健身者选择的是乙种项目，则事件 A 与事件 B 相互独立， P（ A）＝0.6 ，
P（ B）＝0.5 。

――― －1分
第1页共6页故进入该健身中心的1位健身者选择甲、乙两种项目中的一项的概率为：P A B A PAB PAB
＝（）
P B
＋
PAPB
＝ 0.6 0.5 0.4 0.5 0.5 。

―
P A - （Ⅱ）记 C表示事件：进入该健身中心的1位健身者既未选择甲种又未选择乙种健身项目，
示事件：进入该健身中心的
4位健身者中，至少
有2位既未选择甲种又未选择乙种健身项目，表示事件：进入该健身中心的4位健身者中恰有2位既未选择甲种又未选择乙种健身项目，
示事件：进入该健身中心的
4位健身者中恰
有3位既未选择甲种又未选择乙种健身项目，
事件：进入该健身中心的4位健身者中恰有4位既未选择甲种又未选择乙种健身项目，
分
则P（C）＝P A B P A P(B ) 0.4 0.5 0.2 ，―――7分
P A2 C42 0.22 0.82 0.1536，―――8分P A3 C43 0.23 0.8 0.0256 ，―――9分
P A4 0.24 0.0016―――10分
P D PA2 A3 A4 P A2 P A3 P A4 0.1808。

―――12分
18.解：（Ⅰ）
PA 平面 ABCD, PA 平面 PAD ，
平面 PAD 平面 ABCD 。

―――3分
z （Ⅱ）如图，以 A 为原点， DA 、 AB 、AP 所在直线为x、y、z轴，
A xyz ，则
B 0,2,0
P
建立空间直角坐标系，C（－ 2,4，0），P（ 0,0，
D 2）。

―――5分
A
设平面 PBC 的一个法向量n x, y, z ,
1 x
PB n1 0 0,2, 2 x, y, z 0 2 y 2z 0
由
2,2,0 x, y, z 0 2x 2y 0
BC n1 0
取 z 1 得，y x 1 ，n1 (1,1,1) ，―――7分
故点 A 到平面 PBC 的距离d
AB n1
2 2
3
.―――9分
| n1 | 3 3
（Ⅲ）设平面PDC 的一个法向量n m, n, s , 由
2
第2页共6页
DC n 2 0
0,4,0
m,n, s
4n
，
PC n 2 0
2,4, 2 m,n, s 0 2m 4n 2s 0
取 s 1得， m
1, n 0 ， n 2
( 1,0,1) ， ――― 10 分
故 cos n 1 , n 2 n 1 n 2
1 1
0，――― 11 分
n 1 n 2
3
2
二面角 B PC D 的大小为 90o。

――― 12 分
（其他解法酌情给分） 19（ 13分） . 解：（Ⅰ）
S n n 2 11n ，
∴当 n 1
时，
a 1 S 1 1 11
10 。

―――2分
当 n
2 时， a S S
n
2
11n
n 2
11 n 1
2n 12 ， ―――4分
1
1
n n n
当 n
1 时也满足上式，故
数列 a 的通项公式是 a n 2n
12 n N。

―――6分（未验算减 1分）
n
（Ⅱ）
b n
2n 12 12
n
， ―――7分
2 n 1
n
2
T n
1 2
3
n ①
2 2
2 23
2n
1
1 2 3
n
2
T
n
22
23 24 2n 1
②
1 1 1 1
1
n
1
1
n
① －②得 T n
2 2 2
3 n
2 n 1
2 n
2 n 1
，
2 2
2
T n 2
2
n
1分，后继过程不计分）
2n 。

―――9分（有错位相减思想，计算错误得
T
n 1
T
n
2 2 n 1
2
2 n n 1 0 n N ，
2n 1
2n
2n
1
数列 T n 单调递增， T 1 2
3 1
最小，最小值为： 2 . ――― 11分
2
2
1
m 2, m 3, ――― 12
分
2
故正整数 m 的最大值为 2。

――― 13 分
第 3 页共6页
20.解：（Ⅰ）∵ PF 2PQ PF
2PQ ，
∴ PF
2PQ
PF 2PQ
2
2
0 ，
0，即 PF
4PQ
∴ PF
2 PQ 。

----
3 分
设 P x, y ，则 Q 1, y ，
x 2
2
2 x 1 ，
4
y
平方整理得曲线 C 的方程：
x 2
y 2 1。

-----6 分
4 12
（Ⅱ）由曲线 C 的对称性知， 以 N 为中点的弦的斜率存在， 设弦的端点为 A x 1 , y 1 , B x 2
则
x 1 x 2 。

-----8 分
∵点 A 、B 都在曲线 C 上，
x 12 y 12
1, x 22
y 22 1， 4 12
4 12
两式相减得： x 1 x 2 x 1 x 2
y 1 y 2
y 1 y 2 0 ， ----10 分
4
12
x 1 x 2 3,
y
1
y 2 1， 2
2
y
y
2 3 x 1 x 2
∴弦 AB 的斜率 k
1
9，12分
x 1 x 2
y 1 y 2
∴弦 AB 的直线方程为 y 1 9 x 3 ，即 9x y
26 0。

―――13
分
21（ 13 分） . 解：（Ⅰ） f
x
3x 2 2ax a 2
3 x a x a ，―――1 分
3
a 0,
a
a ， ―――2 分
3
故函数 f
x 在区间,
a
、
a,
上单调递增，
3
第4页共6页
在 a
, a 上单调递减。

―――4 分
3
（Ⅱ）∵二次函数 g x
ax 2 x 1 有最大值，
a 0。

―――5 分
由 f
x
g x 得 x x 2 a 2 1 0 ， ―――6 分
∵函数 y
f x 与 y
g x 的图象只有一个公共点，
a 2 1 0,
1 a 1 。

又 a
0 ，
1 a 0 。

―――7 分
1 2
1
1
又 g
x
a x
1，
1, 1 a 0 。

―――8 分
2a
4a
h a
4a
（Ⅲ）当 a
0 时，函数 f x 在区间
, a
、 a,
上单调递增，
3
函数 g
x 在区间
, 1 上单调递增。

2a
a 0 a
a
，解得 a
2 。

――― 10分
3
2
a
1
2a
当 a
0 时，函数 f x 在区间, a
、 a
,
上单调递增，
3
函数 g
x 在区间
1 , 上单调递增。

2a
a 0
a 2
a
，解得 a
3。

――― 12 分
3
a
2
1
2a
综上所述，实数
a 的取值范围是
,
2 3,。

――― 1
3 分
2
第5页共6页 第6页 共6页。