高二数学高中数学新课标人教A版试题答案及解析

高二数学高中数学新课标人教A版试题答案及解析
1.做变速直线运动的物体的速度满足，该物体在内经过的路程为9，则的值为( ) A．1B．2
C．3D．4
【答案】C
【解析】将区间均分成个小区间，记第个区间为，此区间长为，用小矩形面积近似代替相应的小曲边梯形的面积，则
近似地等于速度曲线与直线t＝0，t＝a，t轴围成的
曲边梯形的面积．依题意得，∴解得a＝3.
【考点】定积分的概念.
2.执行如图1所示的程序框图，如果输入的，则输出的属于（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】当时,运行程序如下,,当时,
,则,故选D.
【考点】程序框图二次函数
3.已知圆的方程：，
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）当圆与圆：相外切时，求直线:被圆，所截得的弦的长.
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.
【解析】试题分析；(Ⅰ)根据圆的一般方程表示圆的条件即可求的取值范围;
(Ⅱ)根据圆与圆相切的等价条件求出的值,结合直线的弦长公式进行求解即可.
试题解析：
（Ⅰ）圆的方程可化为
令,所以
（Ⅱ）圆,圆心,半径
圆圆心,半径
因为圆与圆相外切
所以
解得
圆心到直线的距离为
所以
4.过点引直线分别交轴正半轴于两点，当面积最小时，直线的方程是
__________．
【答案】
【解析】设直线方程为
(当且仅当即时取等号 ) .
【点晴】本题主要考查直线方程和重要不等式，属于中档题型.但是本题比较容易犯错，使用该公
式时一定要牢牢抓住一正、二定、三相等这三个条件，如果不符合条件则：非正化正、非定构定、不等作图（单调性）.平时应熟练掌握双钩函数的图像，还应加强非定构定、不等作图这方面的训练，并注重表达的规范性，才能灵活应对这类题型.
5.用0，1，2， 3，4，5这六个数字：
（1）能组成多少个无重复数字的四位偶数？
（2）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？
（3）能组成多少个无重复数字且比1325大的四位数？
【答案】（1）156（2）216（3）270
【解析】（1）由题意符合要求的四位偶数可分为三类：0在个位，2在个位，4在个位，对每一
类分别计数再求它们的和即可得到无重复数字的四位偶数的个数；（2）符合要求的数可分为两类：个位数上的数字是0的五位数与个位数字是5的五位数，分类计数再求它们的和；（3）由
题意，符合要求的比1325大的四位数可分为三类，第一类，首位比1大的数，第二类首位是1，第二位比三大的数，第三类是前两位是13，第三位比2大的数，分类计数再求和
试题解析：（1）符合要求的四位偶数可分为三类：
第一类：0在个位时有个；
第二类：2在个位时，首位从1，3，4，5中选定1个（有种）,十位和百位从余下的数字中选（有种），于是有个；
第三类：4在个位时，与第二类同理，也有个．
由分类加法计数原理知，共有四位偶数：个．
（2）符合要求的五位数中5的倍数的数可分为两类：个位数上的数字是0的五位数有个；个
位数上的数字是5的五位数有个．故满足条件的五位数的个数共有个．
（3）符合要求的比1325大的四位数可分为三类：
第一类：形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共个；
第二类：形如14□□，15□□，共有个；
第三类：形如134□，135□，共有个；
由分类加法计数原理知，无重复数字且比1325大的四位数共有：
个．
【考点】排列、组合及简单计数问题
6.由直线及曲线所围成的封闭的图形的面积为（）
A．B．3C．D．
【答案】B
【解析】由题意，直线及曲线所围成的封闭的图形如图，直线与曲线
的交点为，所以阴影部分的面积为：，故选B.
【考点】利用定积分求曲边形的面积.
7.设函数为奇函数，其图象在点处的切线与直线垂直，导函数的最小值为．
（1）求的值；
（2）求函数的单调递增区间，并求函数在上的最大值和最小值．
【答案】(1) (2) 最大值是，最小值是．
【解析】(1)利用函数为奇函数,建立恒等式⋯①,切线与已知直线垂直得
⋯②导函数的最小值得⋯③.解得的值;
(2)通过导函数求单调区间及最大值,最小值.
试题解析：(1)因为为奇函数，
所以即，所以， 2分
因为的最小值为，所以， 4分
又直线的斜率为，
因此，，
∴． 6分
(2)单调递增区间是和． 9分
在上的最大值是，最小值是． 12分
【考点】奇函数的性质,求函数的导数,及通过导数研究函数的单调区间及最值.
8.设函数在上的导函数为,在上的导函数为,若在上,
恒成立,则称函数在上为“凸函数”．已知当时,在上是“凸函数”．则在上 ( )
A．既有极大值,也有极小值B．既有极大值,也有最小值
C．有极大值,没有极小值D．没有极大值,也没有极小值
【答案】C
【解析】由题设可知:在(-1,2)上恒成立,由于从而,所以有在(-1,2)上恒成立,故知，又因为，所以；从而，
得；且当时，当
时，所以在上在处取得极大值，没有极小值．
【考点】新定义,函数的极值．
9.定积分的值为 .
【答案】
【解析】由定积分的几何意义知表示半圆与所围图形的面积，
，所以．
【考点】定积分的几何意义．
10.对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式：
；
根据上述分解规律，若的分解中最小的正整数是21，则
___________.
【答案】11
【解析】由已知，，故，所以11
【考点】推理与证明
11.某单位为了了解用电量（千瓦时）与气温（℃）之间的关系，随机统计了某4天的用电量
与当天气温，并制作了对照表：
气温/℃181310-1
由表中数据得到线性回归方程中，预测当气温为-4℃时，用电量的度数约
为．
【答案】
【解析】因，将，代入，
可得，所以当代人可得.
【考点】线性回归方程及运用．
【易错点晴】线性回归方程是高中数学的统计中的内容之一，也是高中数学中的重要知识点，属
于统计学中工具的范畴.由于这个知识点在日常生活与实际运用中的价值性，因此这部分内容常常
涉及到的内容都是较为广泛.如本题的解答中要求先建立符合题设条件的线性回归方程，再运用这个线性回归方程求出当时用电量的度数，使得实际问题得以获解.
12.已知幂函数图像的一部分如下图，且过点，则图中阴影部分的面积等于（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意得，因为幂函数图像过点，所以，解得，所以幂函数
，则阴影部分的面积为，故选B.
【考点】幂函数的解析式；定积分的应用.
13.如图,正弦曲线和余弦曲线在矩形ABCD内交于点F,向矩形ABCD区域
内随机投掷一点,则该点落在阴影区域内的概率是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由图象，得矩形的面积为，阴影部分的面积为
，则由几何概型的概率公式，得该点落在阴影区域内的概率是；故选C．
【考点】1.几何概型；2.定积分的应用．
14.下列函数中，最小正周期是且在区间上是增函数的是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】B.的最小正周期是，C.的最小正周期为，A,D的最小正周期都是，当时，，是先减后增，是增函数，故选D.
【考点】三角函数的性质
15.我国南宋数学家秦九韶所著《数学九章》中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1512石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得216粒内夹谷27粒，则这批米内夹谷约（）A．164石B．178石C．189石D．196石
【答案】C
【解析】由已知，抽得样本中含谷27粒，占样本的比例为，则由此估计总体中谷的含量
约为石. 故选C.
【考点】抽样中的用样本去估计总体.
16.已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面
积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为
________．
【答案】
【解析】设球的半径为，则球的表面积为，两圆锥的底面积为，所
以圆锥的底面半径满足，解得；由几何体的特征值球心到圆锥底面的距离，
球的半径以及圆锥底面的半径三者构成一个直角三角形，由此求出球心到圆锥底面的距离
，所以圆锥体积较小者的高为，同理得圆锥体积较大者的高，所以则两个圆锥中体积较小者的高与体积较大者的比值为.
【考点】球的体积和表面积.
【方法点晴】本题主要考查了旋转体的表面积以及球内接圆锥的表面积的应用问题，也考查了计
算能力与空间能力，是基础题目，本题的解答中，根据题意，设出球的半径，求出球的面积及圆
锥的底面积，由此求出球心到圆锥底面的距离，所以圆锥体积较小者的高为
，同理得圆锥体积较大者的高，由此求出圆锥的底面半径和两圆锥的高
的比值.
17.已知是递增的等差数列，，是方程的根。

（I）求的通项公式；
（II）求数列的前项和．
【答案】（I）（II）
【解析】（I）由题意易求得，继而可求得公差，即可求得结果；
（II）由（I）易知所以即可利用错位相减法求得结果．
试题解析：（I）方程的两根为2,3，由题意得
设数列的公差为d，则故从而
所以的通项公式为
（II）设的前n项和为由（I）知则
两式相减得
所以
【考点】等差数列的性质；错位相减法的应用．
18.在中，，，的角平分线，则________.
【答案】
【解析】由正弦定理可得，所以．在中，所以，所以在中．又因为，所以
．所以，所以＝，
所以．
【考点】正余弦定理．
【技巧点睛】（1）在三角形中处理边角关系时，一般全部转化为角的关系，或全部转化为边的
关系．题中若出现边的一次式一般采用正弦定理，出现边的二次式一般采用余弦定理，应用正弦、余弦定理时，注意公式变形的应用，解决三角形问题时，注意角的限制范围．
19.已知x∈[－3，2]，求f(x)＝－＋1的最小值与最大值．
【答案】最小值，最大值57.
【解析】f(x)＝－＋1＝4－x－2－x＋1＝2－2x－2－x＋1＝2＋.∵x∈[－3，2],∴≤2－x≤8.则当2－x＝，即x＝1时，f(x)有最小值；当2－x＝8，即x＝－3时，f(x)有最大值57.
20.已知点是边长为2的正方形的内切圆内（含边界）一动点，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】建立坐标系如图所示，设，其中，，易知，而
，若设，则，由于，所以的取值范围是，故选C.
【考点】向量的数量积
21.设为三角形的三边，求证：
【答案】见解析
【解析】本题用直接法不易找到证明思路，用分析法，要证该不等式成立，因为，所以，只需证该不等式两边同乘以转化成的等价不等式a(1+b)(1+c)+ b(1+a)(1+c)> c(1+a)(1+b)成立，用不等式性质整理为a+2ab+b+abc>c成立，用不等式性质及三角不等式很容易证明此不等式成立.
试题解析：要证明：
需证明： a(1+b)(1+c)+ b(1+a)(1+c)> c(1+a)(1+b) 5分
需证明:a(1+b+c+bc)+ b(1+a+c+ac)> c(1+a+b+ab) 需证明a+2ab+b+abc>c 10分
∵a,b,c是的三边∴a>0,b>0,c>0且a+b>c,abc>0,2ab>0
∴a+2ab+b+abc>c
∴成立。

14分
【考点】分析法证明不等式；三角形两边之和大于第三边.
22.如图是“集合”的知识结构图，如果要加入“子集”，则应该放在（）
A．“集合的概念”的下位B．“集合的表示”的下位
C．“基本关系”的下位D．“基本运算”的下位
【答案】C
【解析】子集表示的是集合与集合之间的关系，所以应放在基本关系的下面．
【考点】集合的概念
23.函数的定义域为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】函数有意义等价于，所以定义域为，故选D.
【考点】函数的定义域.
24.某公司租地建仓库，每月土地占用费y
1
与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费
y 2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y
1
和y
2
分别为2万元
和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站千米处．
【答案】5
【解析】由题意先解出土地占用费与运费关于车站距离的函数，将费用之和关于车站距离的函数关系式建立起来，再用基本不等式求解．
解：设仓库建在离车站d千米处，
由已知y
1=2=，得k
1
=20，∴y
1
=，
y 2=8=k
2
•10，得k
2
=，
∴y
2
=d，
∴y
1+y
2
=+≥2=8．
当且仅当=，即d=5时，费用之和最小．
故应填5．
点评：本题考查选定系数法求解析式，此法的特点是相关函数的解析式的形式已知．求最值时用到了基本不等式求最值．
25.用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成（如图），问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？
【答案】当高为10，最大容积为19600．
【解析】首先分析题目求长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器当容器的高为多少时，容器的容积最大．故可设容器的高为x，体积为V，求出v关于x的方程，然后求出导函数，分析单调性即可求得最值．
解：根据题意可设容器的高为x，容器的体积为V，
则有V=（90﹣2x）（48﹣2x）x=4x3﹣276x2+4320x，（0＜x＜24）
求导可得到：V′=12x2﹣552x+4320
由V′=12x2﹣552x+4320=0得x
1=10，x
2
=36．
所以当x＜10时，V′＞0，
当10＜x＜36时，V′＜0，
当x＞36时，V′＞0，
所以，当x=10，V有极大值V（10）=19600，又V（0）=0，V（24）=0，
所以当x=10，V有最大值V（10）=19600
故答案为当高为10，最大容积为19600．
点评：此题主要考查函数求最值在实际问题中的应用，其中涉及到由导函数分类讨论单调性的思想，在高考中属于重点考点，同学们需要理解并记忆．
26.极坐标方程表示的图形是（）
A．两个圆B．两条直线
C．一个圆和一条射线D．一条直线和一条射线
【答案】C
【解析】方程或，
是半径为的圆，
是一条射线．
故选C．
【考点】1.简单曲线的极坐标方程;2.坐标系和参数方程．
27.四棱锥的底面为正方形，底面，，若该四棱锥的所有顶点都在体积为同一球面上，则（）
A．3B．C．D．
【答案】B
【解析】连结交于点，取的中点，连结，则，所以底面，则到四棱锥的所有顶点的距离相等，即为球心，半径为,所
以球的体积为，解得，故选B．
【考点】球的内接多面体；求的体积和表面积公式．
【方法点晴】本题主要考查了四面体的外接球的体积公式、球内接四棱锥的性质等知识的应用，同时考查了共定理的运用，解答值需要认真审题，注意空间思维能力的配用，解答中四棱锥的外
接球是以为球心，半径为，利用体积公式列出等式是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．
28.函数的定义域是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据题意，由于
那么使得原式有意义的变量的范围是，故可知答案为B.
【考点】函数定义域
点评：主要是考查了函数定义域的求解，主要是对数函数以及分式函数的运用，属于基础题。

29.已知回归直线的斜率的估计值为1．23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为（）A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】设回归方程为,回归方程必过样本中心点，代入方程，求得,故选C．
【考点】求回归直线方程
30.已知水平放置的△ABC的直观图△A′B′C′(斜二测画法)是边长为a的正三角形，则原△ABC 的面积为()
A．a2B．a2C．a2D．a2
【答案】D
【解析】斜二测画法中原图面积与直观图面积之比为1∶，则易知S＝(a)2，∴S＝a2.
31.已知是正数组成的数列，，且点在函数的图象上.
(1)求数列的通项公式；
(2)若列数满足,，求证：
【答案】解法一：（Ⅰ）由已知得a
n+1=a
n
+1、即a
n+1
-a
n
=1，又a
1
=1,
所以数列｛a
n
｝是以1为首项，公差为1的等差数列.
故a
n
=1+(a-1)×1=n.
(Ⅱ)由（Ⅰ）知：a
n =n从而b
n+1
-b
n
=2n.
b n =(b
n
-b
n-1
)+(b
n-1
-b
n-2
)+···+（b
2
-b
1
）+b
1
=2n-1+2n-2+···+2+1＝=2n-1.
因为b
n ·b
n+2
-b=(2n-1)(2n+2-1)-(2n-1-1)2=(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n+2-2-2n+1-1)=-5·2n+4·2n=-2n＜0,
所以b
n ·b
n+2
＜b,
解法二：（Ⅰ）同解法一. （Ⅱ）因为b
2
=1,
b n ·b
n+2
-b=(b
n+1
-2n)(b
n+1
+2n+1)-b=2n+1·b
n-1
-2n·b
n+1
-2n·2n+1＝2n（b
n+1
-2n+1）=2n（b
n+2
n-2n+1）
=2n（b
n -2n）=…=2n（b
1
-2）=-2n〈0，所以b
n
-b
n+2
<b2
n+1
【解析】（1）由题设条件知，根据等差数列的定义即可求出数列的通项公式；（2）根据数列的递推关系，利用累加法求出数列的表达式，即可比较大小
试题解析：(1)由已知得
所以数列{}是以1为首项，公差为1的等差数列；
即=1+
（2）由（1）知
所以：
【考点】1.等差数列的通项公式；2.等比数列的性质
32.根据下列不等式：，
，
，
……
归纳猜想第个不等式为__________．
【答案】
【解析】观察不等式左边最后一项的分母3,7,15，…，通项为，不等式右边为首项为1，
公差为的等差数列，故猜想第n个不等式为.
【考点】归纳推理．
33.抛物线的准线方程为___________.
【答案】
【解析】将化成，所以准线方程为.
【考点】抛物线的标准方程.
34.已知函数．设时取到最大值．
（1）求的最大值及的值；
（2）在中，角所对的边分别为，，且，求的值．【答案】（1） 3,（2）0
【解析】（1）根据三角函数的恒等变换公式，可得，又，则，可知当时，即可求出结果；（2）由（1）知，由正弦定理，可得，再根据余弦定理，可得由此可求出．
试题解析：解：（1）由题意，
．
又，则．
故当，即时，．
（2）由（1）知．
由，即．又．
则，即．故．
【考点】1．三角恒等变换；2．正弦定理；3．余弦定理．
35.如果质点A按运动，则在的瞬时速度为（）
A．6B．18C．54D．81
【答案】C
【解析】根据导数的物理意义，质点在某时刻的瞬时速度等于再该点的导数值，即为，选C．
【考点】导数的物理意义．
36.数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,…的第1000项的值是（）
A．42B．45C．48D．51
【答案】B
【解析】先寻找规律，将数列分段，第1段1个数，第2段2个数，…，第段个数，设，则在第个数段，由于第个数段共有个数，可先求出前组中的所有的项的个数，可求
将数列分段，第1段1个数，第2段2个数，…，第段个数，
设，则在第个数段，由于第个数段共有个数，
则由题意应满足，
解得．
答案：B．
【考点】等差数列求和的应用．
37.若方程表示双曲线，则的取值范围为______________
【答案】
【解析】由题意可知或，所以的范围是
【考点】双曲线方程及性质
38.某程序框图如图所示，若输出的结果是126，则判断框中可以是()
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据程序框图可知，该程序执行的是，所以判断框中应该填i>6?.
【考点】本小题主要考查程序框图的识别和应用，考查学生读图、识图的能力.
点评：要分清是当型循环还是直到型循环，要特别注意退出循环的条件的应用，避免多执行或少执行一步.
39.已知球与棱长均为2的三棱锥各条棱都相切，则该球的表面积为___________
【答案】
【解析】可采用补体的方法，先画一个正方体，正方体的棱长为，那么正方体的面对角线为3，取四点构成棱长为3的三棱锥，若与三棱锥的各棱均相切，即与正方体的各面相切，所以正方体的内切球就是所求的球，球的半径为棱长一半，即，这样球的表面积为
.
【考点】几何体的内切球
40.将两个数a＝8，b＝17交换，使a＝17，b＝8，下面语句正确一组是()
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】略
41.计算机执行下面的程序段后，输出的结果是()
A．1,3B．4,1C．0,0D．6,0
【答案】B
【解析】因为a=1+3=4,b=4-3=1.所以输出的a,b值分别为4,1.
42.已知椭圆C
1: ，椭圆C
2
以C
1
的长轴为短轴，且与C
1
有
相同的离心率.
(1)求椭圆Q的方程；
(2)设0为坐标原点，点A，B分别在椭圆C
1和C
2
上，，求直线AB的方程.
【答案】（1）；（2）或.
【解析】(1)由已知可设椭圆C
2
的方程为＝1(a>2)，
其离心率为，故＝，解得a＝4.故椭圆C
2
的方程为＝1.
(2)A，B两点的坐标分别记为(x
A ，y
A
)，(x
B
，y
B
)，
由＝2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx.
将y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，所以.
将y＝kx代入＝1中，得(4＋k2)x2＝16，所以.
又由＝2，得，
∴，解得k＝±1.
故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.
43.按下面的流程图进行计算．若输出的,则输入的正实数值的个数最多为（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】结束循环时，输出值为202,首先令202=3x+1．解得x=67,就是说输入67时，输出的为202，此为没有循环的情况；如果有一次循环，那么即令，解得；同理如果循环三次时，令，解得；循环四次时，；而循环五次时，x变成负值，所以有四种输入形式。

【考点】程序框图的作用
44.设为直线与双曲线左支的交点，是左焦点，垂直于轴，
则双曲线的离心率
【答案】：
【解析】设，则由题意，知．因为垂直于轴，则由双曲线的通径公式知，即，所以．又由，得，所以．
【考点】双曲线的性质．
【方法点睛】讨论椭圆的性质，离心率问题是重点，求椭圆的离心率的常用方法有两种：（1）
求得的值，直接代入求得；（2）列出关于的一个齐次方程（不等式），再结合消去，转化为关于的方程（或不等式）再求解．
45.直线绕原点逆时针旋转，再向右平移个单位，所得到的直线为__________．
【答案】
【解析】根据旋转矩阵为即为，直线y=3x绕原点逆时针旋转90°变为，在根据左加右减的法则，向右平移1个单位，即得y=﹣
解：∵直线y=3x绕原点逆时针旋转90°
∴直线斜率互为负倒数
∴直线y=3x变为，
∵向右平移1个单位
∴y=﹣
故答案为：
点评：本题考查了直线的旋转，平移的相关知识，属于基础题．
46.已知圆C经过点，且圆心在直线上，又直线与圆C交于P,Q
两点.
（1）求圆C的方程；
（2）若，求实数的值；
(3)过点作直线，且交圆C于M,N两点，求四边形的面积的最大值.
【答案】（1）x 2 +y 2 =4（2）k=0（3）7
【解析】（1）设圆心为，半径为．故，建立方程，从而可求圆的方程；（2）利用向量的数量积公式，求得，计算圆心到直线的距离，即可求解实数的值；（3）方法1、设圆到直线的距离分别为，求得，根据垂径定理和勾股定理，可得，在利用基本不等式，可求四边形面积的最大值；方
法2、利用弦长公式，，表示三角形的面
积，在利用基本不等式，可求四边形面积的最大值．
试题解析：（1）设圆心为，半径为．故，易得，
因此圆的方程为．
（2）因为，且与的夹角为，
故，，所以到直线的距离，又，所以．
又解：设P，，则，即，
由得，∴，
代入得，∴；
（3）设圆心到直线的距离分别为，四边形的面积为．
因为直线都经过点，且，根据勾股定理，有，
又，
故
当且仅当时，等号成立，所以．
（3）又解：由已知，由（2）的又解可得，
同理可得，
∴
，
当且仅当时等号成立，所以．
【考点】直线与圆的方程的应用；点到直线的距离公式的应用；圆的标准方程．
【方法点晴】本题主要考查了直线的方程与圆的方程的应用、点到直线的距离公式的应用，同时着重考查了向量的数量积的运算和圆的性质、四边形面积的计算和基本的运用，属于中档试题解答的关键是准确表达的长度，正确表示四边形的面积合理运用基本不等式求解四边形面积的最值，同时注意基本不等式等号成立的条件．
47.设满足约束条件，若目标函数的最大值为，则的
最小值为
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，
当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）
过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4，6）时，
目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大12，
即4a+6b=12，即2a+3b=6，而2 /a +3 /b ="(2" /a +3 /b )="2a+3b" /6 ="13" /6 +(b/ a +a/ b )≥13/ 6 +2="25" /6 ，
故2/ a +3/ b 的最小值为：25 /6 ．
48.已知二次函数
（Ⅰ）若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围；
（Ⅱ）问：是否存在常数，当时，的值域为区间，且的长度为．（说明：对于区间，称为区间长度）
【答案】（1）（2）存在常数，，满足题意.
【解析】(1) 先由函数对称轴为得函数在上单调减，要使函数在存在零点，则需满足，解得； (2)当时，的值域为，由，得合题意；当时，的值域为，由
，得不合题意；当时，的值域为，用上面的方法得或合题意.
试题解析：⑴∵二次函数的对称轴是
∴函数在区间上单调递减
∴要函数在区间上存在零点须满足
即
解得，所以.
⑵当时，即时，的值域为：，即
∴
∴∴
经检验不合题意，舍去。

当时，即时，的值域为：，即
∴, ∴
经检验不合题意，舍去。

当时，的值域为：，即
∴
∴∴或
经检验或或满足题意。

所以存在常数，当时，的值域为区间，且的长度为.
【考点】零点存在性定理、二次函数的单调性、二次函数值域、分类讨论思想.
49.若点，，三点共线，则的值等于______.
【答案】4
【解析】解：因为若三点
50.已知圆C经过点，且圆心在直线上，又直线与圆C交于P,Q
两点.
（1）求圆C的方程；
（2）若，求实数的值；
(3)过点作直线，且交圆C于M,N两点，求四边形的面积的最大值.
【答案】（1）x 2 +y 2 =4（2）k=0（3）7
【解析】（1）设圆心为，半径为．故，建立方程，从而可求圆的方程；（2）利用向量的数量积公式，求得，计算圆心到直线的距离，即可求解实数的值；（3）方法1、设圆到直线的距离分别为，求得，根据垂径定理和勾股定理，可得，在利用基本不等式，可求四边形面积的最大值；方
法2、利用弦长公式，，表示三角形的面
积，在利用基本不等式，可求四边形面积的最大值．
试题解析：（1）设圆心为，半径为．故，易得，
因此圆的方程为．
（2）因为，且与的夹角为，
故，，所以到直线的距离，又，所以．
又解：设P，，则，即，
由得，∴，
代入得，∴；
（3）设圆心到直线的距离分别为，四边形的面积为．
因为直线都经过点，且，根据勾股定理，有，
又，
故
当且仅当时，等号成立，所以．
（3）又解：由已知，由（2）的又解可得，
同理可得，
∴
，
当且仅当时等号成立，所以．
【考点】直线与圆的方程的应用；点到直线的距离公式的应用；圆的标准方程．
【方法点晴】本题主要考查了直线的方程与圆的方程的应用、点到直线的距离公式的应用，同时着重考查了向量的数量积的运算和圆的性质、四边形面积的计算和基本的运用，属于中档试题解答的关键是准确表达的长度，正确表示四边形的面积合理运用基本不等式求解四边形面积的最值，同时注意基本不等式等号成立的条件．。