2017年春季新版北师大版九年级数学下学期3.3、垂径定理素材1
北师大版数学九年级下册3.3垂径定理课件(共22张ppt)
A C
N ●O
M
└
└
B D
A
●
B
O D
D
F
C
如图，已知⊙O的半径为30mm，弦AB=36mm. 则点O到AB的距离及 ∠OAB的余弦值。
●
O
F
R2 3002 R 90 . D 解这个方程, 得R 545.
2
这段弯路的半径约为 545m.
（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平 分弦所对优弧 （5）平分弦所对的劣弧 讨论 （3） （1）
（2）
（4） （5）
（2）
（3）
（1） （4） （5）
（1）
（4）
A
C .
O E
D
B
命题（2）：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对 的两条弧 ∵ AB是弦，CD平分AB，CD ⊥AB， ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴ CD是直径， AD＝BD，AC＝BC 命题（3）：平分一条弧的直径，垂直平分弧所对的弦，并且 平分弦所对的另一条弧 ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∵ CD是直径，AB是弦，并且AD＝BD （AC＝BC） ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴ CD平分AB，AC＝BC（AD＝BD）CD ⊥AB
记忆
垂径定理 垂直于弦的直径平分 这条弦，并且平分弦 所对的两条弧。
.
C O E
A
B
D 推论 （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平 分弦所对 的两条弧
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的 两条弧 （3）平分一条弧的直径，垂直平分弧所对的弦，并 且平分弦所对的另一条弧
C
弧的中点到弦的距离,叫弓形高或弓 高，如图线段CM是弓高
OA=OB. 在Rt△OAM和Rt△OBM中,
2017年春季新版北师大版九年级数学下学期3.3、垂径定理课件10
类型二：垂径定理的应用 3．某施工工地安放了一个圆柱形饮水桶的木制支架(如图①)， 若不计条的厚度，其俯视图如图②所示，已知AD垂直平分BC， AD＝BC＝48 cm，求圆柱形饮水桶的底面半径的最大值．
1 解：(1)∵OE⊥CD 于点 E，CD＝24 m，∴ED＝ CD＝12 m，在 Rt 2 ED 12 12 △DOE 中，∵sin∠DOE＝ ＝ ＝ ，∴OD＝13 m OD 13 OD
(2)OE＝ OD2－ED2＝ 132－122＝5，5÷0.5＝10(小时)，∴将 水排干需 10 小时
∴AC＝AH
1 (2)∵直径 CD⊥AB，∴AE＝ AB＝2 2，∵AC＝AH，∴CE＝EH 2 5－r ＝5－OE，连接 DA，设半径为 r，则 OE＝CE－CO＝ ，在 Rt△ 2 5 －r 2 19 AOE 中， AO ＝OE ＋AE ， r ＝( ) ＋(2 2)2， 解得 r1＝3，r2＝－ 2 3
第 3章 圆
专题(七)垂径定理
类型一：垂径定理 1．如图，⊙O 的直径 CD⊥AB 于点 E，AF⊥BD 于点 F，交 CD 的延长线于点 H，连接 AC. (1)求证：AC＝AH； (2)若 AB＝4 2，OH＝5，求⊙O 的半径．
Hale Waihona Puke 解：(1)∵CD⊥AB，AF⊥BD，∴∠BED＝∠HFD＝90°， ∵∠BDE＝∠HDF，∴∠B＝∠H，∵∠B＝∠C，∴∠C＝∠H，
2 2 2 2
(舍)，⊙O 半径为 3
北师大版初中数学九年级下册3.3 垂径定理1
北师大初中数学 九年级
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*3.3 垂径定理
方法总结：我们常常连接半径，利用
半径、弦、垂直于弦的直径造出直角三角
1．理解垂径定理和推论的内容，并会 形，然后应用勾股定理解决问题．
变式训练：见《学练优》本课时练习
“课堂达标训练”第 6 题． 【类型二】 利用垂径定理的推论求边
的长度
如图，点 A、B 是⊙O 上两点， AB＝10cm，点 P 是⊙O 上的动点(与 A、B 不 重 合 )， 连 接 AP、 BP， 过 点 O 分 别 作 OE⊥AP 于 E， OF⊥ PB 于 F， 求 EF 的 长．
方法总结：将实际问题转化为数学问 题，再利用我们学过的垂径定理、勾股定 理等知识进行解答．
变式训练：见《学练优》本课时练习 “课堂达标训练”第 8 题
【类型三】 垂径定理的综合应用 如图，已知圆 O 的直径 AB 垂直
于弦 CD 于点 E，连接 CO 并延长交 AD 于 点 F，且 CF⊥AD.(1)请证明：点 E 是 OB 的中点；(2)若 AB＝8，求 CD 的长．
二、合作探究 探究点一：垂径定理 【类型一】 利用垂径定理求直径或弦 的长度
如图所示，⊙O 的直径 AB 垂直 弦 CD 于点 P，且 P 是半径 OB 的中点， CD＝6cm，则直径 AB 的长是( )
A．2 3cm B．3 2cm C．4 2cm D．4 3cm 解 析 ： ∵直 径 AB⊥DC， CD＝ 6， ∴ DP＝ 3.连 接 OD， ∵ P 是 OB 的 中 点 ， 设 OP 为 x， 则 OD 为 2x， 在 Rt△ DOP 中 ， 根据勾股定理列方程 32＋x2＝(2x)2，解得 x ＝ 3.∴OD＝2 3，∴AB＝4 3.故选 D.
九年级数学下册 3.3 垂径定理“垂径定理”与解题思路分析素材 (新版)北师大版
“垂径定理”与解题思路分析垂径定理及其推论是“圆”一章最先出现的重要定理，它是证明圆内线段、弧、角相等关系及直线垂直关系的重要依据，也是学好本章的基础，在学习中要注意以下几点：一.圆的辆对称是垂径定理的理论基础同学们在小学就已经知道了把圆沿着它的任意一条直径对折，直径两边的两个半圆就会重合在一起。
因此，课本首先通过一张圆形纸片沿着一条直径对折，直径两侧的两个半圆能重合这一事实，指出圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，然后利用这一性质给出了垂径定理，并利用圆的对称性证明。
所以，圆的轴对称性是垂径定理的理论基础。
二.垂径定理及其推论的题设与结论之间的内在联系在垂径定理(推论)中，一是隐含着一条直线；二是该直线具有以下性质：(1)经过圆心，(2)垂直于弦，(3)平分这条弦，(4)平分这条弦所对的劣弧，(5)平分这条弦所对的优弧。
垂径定理可以简记为：由于垂径定理本身的结论有多个，因此在构造逆命题时也会有多个，这就需要掌握构造逆命题的技巧。
例如：以(1)、(3)为条件的逆命题为：如果过圆心的一条直线平分该圆内的一条弦(不是直径)，那么这条直线垂直于弦，且平分弦所对的弧。
类似地，同学们一定会分别写出以(1)和(4)、(1)和(5)、(2)和(3)、(2)和(4)、(2)和(5)、(3)和(4)、(3)和(5)、(4)和(5)为条件的逆命题。
由于一条直线如果具备上述五条性质中的任何两条时，这条直线唯一确定，所以，上述九个逆命题都是真命题，它们都是垂径定理的推论。
垂径定理连同推论在内共十条定理。
对于这十条定理，同学们切不可死记硬背，关键要抓住它们的特点，即一条直线具有上面所说的五条性质中的任何两性质，就有其余三条性质(具有性质(1)、(3)时，所说的弦不是直径，这是因为如果这里的弦是直径的话，两条直径总是互相平分的，但它们未必垂直)。
三.灵活应用垂径定理及其推论解题垂径定理及其推论，主要应用于研究直径与同圆中的弦、弧之间的垂直平分关系，其内容虽然简单，但要能灵活应用却非易事。
北师大版九年级数学下册教学课件-3-3 垂径定理
P D
B
重合．
想一想： 能不能用所学过的知识证明你的结论？
试一试
已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD，垂足为P.
求证：AP=BP，
⌒⌒ AC =BC,
A⌒D
⌒ =BD.
证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB.
D
即△AOB是等腰三角形.
∵AB⊥CD， ∴AP=BP，
从而∠AOD=∠BOD.
例4如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),
其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段
弯路的半径.
C
解:连接OC.
E 设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.
F ●O
OE CD,
D CF 1 CD 1 600 300(m).
∴A⌒D =⌒BD，
⌒ AC
=B⌒C.
∠AOC=∠BOC.
·O
AP
B
C
归纳总结 垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.
C 推导格式：
∵ CD是直径，CD⊥AB，(条件)
∴ AP=BP, A⌒C =B⌒C, A⌒D =B⌒D.(结论)
·O
AP
B
D
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E， 则AE＝BE，CE＝DE。
∴ AE－CE＝BE－DE 即 AC＝BD.
O. A CED B
5. 如图，在△ABC中，已知∠ACB=130°，∠BAC=20°，BC=2，以点 C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为_______．
北师大版九年级数学下册第三章3垂径定理
知识点二 垂径定理的推论 3.下列说法: ①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦; ②平分弦的直径平分弦所对的弧; ③垂直于弦的直线必过圆心; ④垂直于弦的直径平分弦所对的弧. 其中正确的是 ( ) A.②③ B.①③ C.②④ D.①④
答案 D 平分弦(不是直径)的直径平分弦所对的弧,故②错误;垂直于弦 且平分弦的直线必过圆心,故③错误.①④正 m,过点E作ME⊥AB,交 AB 于点M,过点F作NF⊥AB,交 AB 于点N.设
︵
AB 所在圆的圆心为点O,连接OA,ON,OD,MN,设MN交CD于点H,可知O,D,C
三点在同一条直线上,MN∥AB,AD= 1 AB=3.6 m.
2
图3-3-7 设OA=r m,则OD=OC-CD=(r-2.4)m. 在Rt△OAD中,由勾股定理,得OA2=AD2+OD2, 即r2=3.62+(r-2.4)2,∴r=3.9,
知识点二 垂径定理的推论
内容 详解
应用 格式 推论
垂径定理的推论
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧
①推论的条件:直径平分弦,弦不
能是直径;
推论的结论:直径垂直于弦,且平 分弦所对的弧. ②一定不能忽略“被平分的弦 不是直径”这个条件,因为圆中 任意两条直径都是互相平分的, 但它们未必垂直
∵CD平分AB,且CD是直径, ∴CD⊥AB, A︵C= B︵C, A︵D= B︵D
平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦,并且平分弦所对的另一 条弧
例2 如图3-3-2,在☉O中,点C是 A︵B 的中点,弦AB与半径OC相交于点D,AB= 12,CD=2.求☉O的半径长.
图3-3-2 分析 连接OA,根据垂径定理的推论得出AD=6,∠ADO=90°,根据勾股定 理列出方程,求出方程的解即可.
北师大版九年级数学下3.3垂径定理课件(共14张PPT)
1.判断
（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的 弧…………………………………………..( × )
（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且 经过圆心……………………………………..(√ )
（3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平 分…………………………………………...( × )
（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的 两条弧………………………………………( × )
圆上任意两点间的部分叫圆叫做直径.
2.圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什 么？是中心对称图形吗？如果是，它的对称轴是 什么？
3.在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相 等，那么它们所对的弦相等吗？这两个圆心角相 等吗？如果弦相等呢？
1.垂直于弦的直径与这条弦及这条弦所对的两条
.O
E
B
D
叠
合 法
3.结论提炼：
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的 两条弧。
推理格式：如图所示 ∵CD⊥AB，CD为⊙O的直径
∴AM=BM，A⌒D=B⌒D，A⌒C=B⌒C.
4.弧如(右即图图所中示⌒C，D ，一点条O公是路C⌒的D 的转圆弯处心是) ，一其段圆中 CD=600m，E为C⌒D上一点，且OE⊥CD，垂足 为F，EF=90 m．求这段弯路的半径．
北师大版九年级下册第三章《圆》
3.3 垂径定理
学习目标: 利用圆的轴对称性研究垂径定理及其 逆定理，并能合理利用垂径定理及其逆 定理解决实际问题. 学习重点：利用圆的轴对称性研究垂径 定理及其逆定理. 学习难点：垂径定理及其逆定理的证明， 以及应用时如何添加辅助线.
1.什么是弦？什么是弧？什么是直径？
（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（ √ ）
北师版九年级数学下册3.垂径定理
AB及ADB.这样,我们就得到垂径定理：
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.
下面我们用逻辑思维给它证明一下：
已知：直径CD、弦AB且CD⊥AB垂足为M. 求证：AM=BM,AC=BC,AD=BD.
解析：要证AM=BM,只要证AM、BM构成的两个三角 形全等.因此,只要连结OA、OB或AC、BC即可.
法,这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方
法一定要掌握. 解：如图,连接OC, 设弯路的半径为R,则OF=(R－90)m
∵OE⊥CD
CF
1 2
CD
1 2
600
300(m)
根据勾股定理,得：OC2=CF2＋OF2
即R2=3002＋(R－90)2 解得R=545源自∴这段弯路的半径为545m.
(2)若AC、AD在AB的异旁, 同理可得：∠DAC=60°＋30°=90°.
例4：有一石拱桥的桥拱是圆弧形,如下图所示,正常水 位下水面宽AB=60m,水面到拱顶距离CD=18m.已知水面到拱 顶距离小于3.5m时,就需要采取紧急措施,当洪水泛滥时,水 面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施?请说明理由. 解析：要求当洪水到来时,水面宽MN=32m是 否需要采取紧急措施,只要求出DE的长,因此 只要求半径R,然后运用几何代数解求R. 解：不需要采取紧急措施.
解：如图,连结OA、OB,则OA=OB, 在Rt△OAM和Rt△OBM中
OA=OB OM=OM
∴Rt△OAM≌Rt△OBM ∴AM＝BM.
∴点A和点B关于CD对称 ∵⊙O关于直（径C（D对称
当（圆沿（着直线CD对（折时（,点（A与（点B重合,AC与BC重合,
专题3.3垂径定理(举一反三)(北师大版)(原卷版)
专题3.3 垂径定理【十大题型】【北师大版】【题型1 利用垂径定理求线段长度】 (1)【题型2 利用垂径定理求角度】 (2)【题型3 利用垂径定理求最值】 (3)【题型4 利用垂径定理求取值范围】 (4)【题型5 利用垂径定理求整点】 (6)【题型6 利用垂径定理求面积】 (7)【题型7 垂径定理在格点中的运用】 (8)【题型9 垂径定理与分类讨论中的综合运用】 (10)【题型10 垂径定理的应用】 (11)【题型1 利用垂径定理求线段长度】【例1】（2022•雨花区校级开学）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB交AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB＝8，EC＝2√13，则CD的长为（）A．1B．3C．2D．4【变式11】（2022•宁津县二模）如图，已知圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP的长为（）A．6B．6√2C．8D．8√2【变式12】（2022•建华区二模）如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE＝5，EB＝1，∠AEC＝30°，则CD的长为（）A．5B．2√3C．4√2D．2√2+√3+1【变式13】（2022春•徐汇区校级期中）如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，且CE＝CB，若BE＝2AE，CD＝5，那么⊙O的半径为．【题型2 利用垂径定理求角度】【例2】（2022•泰安模拟）如图，⊙O的半径OA，OB，且OA⊥OB，连接AB．现在⊙O上找一点C，使OA2+AB2＝BC2，则∠OAC的度数为（）A．15°或75°B．20°或70°C．20°D．30°̂上的【变式21】（2022秋•天心区期中）如图，已知⊙O半径OA＝4，点B为圆上的一点，点C为劣弧AB一动点，CD⊥OA，CE⊥OB，连接DE，要使DE取得最大值，则∠AOB等于（）A．60°B．90°C．120°D．135°【变式22】（2022秋•青田县期末）如图，在⊙O中，半径OC过弦AB的中点E，OC＝2，OE=√2．（1）求弦AB的长；（2）求∠CAB的度数．【变式23】（2022秋•开州区期末）如图，在⊙O中，弦BC与半径OA垂直于点D，连接AB、AC．点E为AC的中点，连接DE．（1）若AB＝6，求DE的长；（2）若∠BAC＝100°，求∠CDE的度数．【题型3 利用垂径定理求最值】【例3】（2022•威海模拟）⊙O中，点C为弦AB上一点，AB＝1，CD⊥OC交⊙O于点D，则线段CD的最大值是（）A．12B．1C．32D．2【变式31】（2022•河北模拟）如图所示，在⊙O中，AB为弦，OC⊥AB交AB于点D．且OD＝DC．P为⊙O上任意一点，连接P A，PB，若⊙O的半径为1，则S△P AB的最大值为（）A．1B．2√33C．3√34D．3√32【变式32】（2022秋•龙凤区校级期末）如图，矩形ABCD中，AB＝20，AD＝15，P，Q分别是AB，AD 边上的动点，PQ＝16，以PQ为直径的⊙O与BD交于点M，N，则MN的最大值为．【变式33】（2022秋•延平区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE＝3，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（）A．910B．65C．85D．125【题型4 利用垂径定理求取值范围】【例4】（2022•包河区校级二模）如图，在⊙O中，直径AB＝10，CD⊥AB于点E，CD＝8．点F是弧BC上动点，且与点B、C不重合，P是直径AB上的动点，设m＝PC+PF，则m的取值范围是（）A．8＜m≤4√5B．4√5＜m≤10C．8＜m≤10D．6＜m＜10【变式41】（2022•佛山）如图，⊙O的直径为10cm，弦AB＝8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．【变式42】（2022秋•盐都区校级月考）如图，点P是⊙O内一定点．（1）过点P作弦AB，使点P是AB的中点（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若⊙O的半径为13，OP＝5，①求过点P的弦的长度m范围；②过点P的弦中，长度为整数的弦有条．【变式43】（2022秋•天河区校级期中）已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离OH＝3，点P是圆上一动点，设过点P且与AB平行的直线为l，记直线AB到直线l的距离为d．（1）求AB的长；（2）如果点P只有两个时，求d的取值范围；（3）如果点P有且只有三个时，求连接这三个点所得到的三角形的面积．【题型5 利用垂径定理求整点】【例5】（2022•山海关区一模）已知⊙O的直径CD＝10，CD与⊙O的弦AB垂直，垂足为M，且AM＝4.8，则直径CD上的点（包含端点）与A点的距离为整数的点有（）A．1个B．3个C．6个D．7个【变式51】（2022秋•新昌县期末）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OB，点P是半径OB上任意一点，连接AP，若OB＝5，OC＝3，则AP的长不可能是（）A．6B．7C．8D．9【变式52】（2022•桥西区校级模拟）如图，AB是⊙C的弦，直径MN⊥AB于点O，MN＝10，AB＝8，如图以O为原点建立坐标系．我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点，则线段OC长是3，⊙C上的整数点有个．【变式53】（2022秋•肇东市期末）已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【题型6 利用垂径定理求面积】【例6】（2022•武汉模拟）如图，在半径为1的⊙O中有三条弦，它们所对的圆心角分别为60°，90°，120°，那么以这三条弦长为边长的三角形的面积是（）A．√2B．1C．√32D．√22【变式61】（2022秋•黄州区校级月考）如图，矩形MNGH的四个顶点都在⊙O上，顺次连接矩形各边的中点，得到菱形ABCD，若BD＝12，DF＝4，则菱形ABCD的面积为．【变式62】（2022秋•西城区校级期中）如图，AB为⊙O直径，过点O作OD⊥BC于点E，交⊙O于点D，CD∥AB．（1）求证：E为OD的中点；（2）若CB＝6，求四边形CAOD的面积．【变式63】（2022•新洲区模拟）如图，点A，C，D均在⊙O上，点B在⊙O内，且AB⊥BC于点B，BC ⊥CD于点C，若AB＝4，BC＝8，CD＝2，则⊙O的面积为（）A．125π4B．275π4C．125π9D．275π9【题型7 垂径定理在格点中的运用】【例7】（2022秋•襄都区校级期末）如图所示，一圆弧过方格的格点AB，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）A．（﹣1，2）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（2，1）【变式71】（2022春•海门市期中）如图所示，⊙P过B、C两点，写出⊙P上的格点坐标．【变式72】（2022•商城县三模）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C均在小正方形的顶点上，点C同时也在AB̂上，若点P是BĈ的一个动点，则△ABP面积的最大值是．【变式73】（2017秋•靖江市校级月考）如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作（以下结果保留根号）：（1）利用网格作出该圆弧所在圆的圆心D点的位置，并写出D点的坐标为；（2）连接AD、CD，则⊙D的半径为，∠ADC的度数．【题型8 垂径定理在坐标系中的运用】【例8】（2022•博山区一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为5的⊙E与y轴交于点A（0，﹣2），B （0，4），与x轴交于C，D，则点D的坐标为（）A．(4−2√6，0)B．(−4+2√6，0)C．(−4+√26，0)D．(4−√26，0)【变式81】（2022秋•西林县期末）如图，⊙P与y轴交于点M（0，﹣4），N（0，﹣10），圆心P的横坐标为﹣4．则⊙P的半径为（）A．3B．4C．5D．6【变式82】（2022•印江县三模）如图，直线l为y＝x，过点A1（1，0）作A1B1⊥x轴，与直线l交于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2；再作A2B2⊥x轴，交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画圆弧交x轴于点A3；…，按此作法进行下去，则点A2022的坐标为．【变式83】（2015•宜春模拟）如图，半径为5的⊙P与y轴交于点M（0，﹣4），N（0，﹣10），函数y ＝﹣2x+m图象过点P，则m＝．【题型9 垂径定理与分类讨论中的综合运用】【例9】（2022秋•化德县校级期末）⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，且AB＝12cm，CD＝16cm，则AB 和CD的距离为（）A．2cm B．14cm C．2cm或14cm D．10cm或20cm【变式91】（2022•包河区二模）已知圆O的半径为5，弦AB＝8，D为弦AB上一点，且AD＝1，过点D 作CD⊥AB，交圆O于C，则CD长为（）A．1B．7C．8或1D．7或1【变式92】（2022秋•方正县期末）如图，⊙O的弦AB与半径OC垂直，点D为垂足，OD＝DC，AB＝2√3，点E在⊙O上，∠EOA＝30°，则△EOC的面积为．【变式93】（2022秋•淮南月考）如图，已知⊙O的半径为2．弦AB的长度为2，点C是⊙O上一动点，若△ABC为等腰三角形，则BC2的长为．【题型10 垂径定理的应用】【例10】（2022秋•武昌区校级期末）某地有一座圆弧形拱桥，它的跨度（弧所对的弦的长）24m，拱高（弧的中点到弦的距离）4米，则求拱桥的半径为（）A．16m B．20m C．24m D．28m【变式101】（2022•望城区模拟）《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸，（注：1尺＝10寸）问这块圆柱形木材的直径是（）A．13寸B．6.5寸C．26寸D．20寸【变式102】（2022秋•西城区校级期中）京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，风格更加简约．如图，摩天轮直径88米，最高点A距离地面100米，匀速运行一圈的时间是18分钟．由于受到周边建筑物的影响，乘客与地面的距离超过34米时，可视为最佳观赏位置，在运行的一圈里最佳观赏时长为分钟．【变式103】（2022•浙江）如图，公园内有一个半径为20米的圆形草坪，A，B是圆上的点，O为圆心，̂，一部分市民为走“捷径”，踩坏了花草，走出了一条小路AB．通∠AOB＝120°，从A到B只有路AB过计算可知，这些市民其实仅仅少走了步（假设1步为0.5米，结果保留整数）．（参考数据：√3≈1.732，π取3.142）。
九年级数学下册 3.3 垂径定理 垂径定理的拓广素材 (新
条件
结论
命题
①②
③④⑤
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
①③
②④⑤
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
①④
②③⑤
平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.
①⑤
②③④
②③
①④⑤
弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.
②④
①③⑤
垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧.
②⑤
①③④
③④
①②⑤
平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.
③⑤
①②④
④⑤
①②③
平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
错误！未找到引用源。
垂径定理的拓广
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
转为几何语言：
∵CD是直径,CD⊥AB,
∴AM=BM,
= ， =
如果把条件和结论看成是5个条件，相互间是否还有其它关系呢？
如图,在下Leabharlann 五个条件中:①CD是直径,
②CD⊥AB,
③AM=BM,
④ = ，
⑤ =
只要具备其中两个条件，就可推出其余三个结论.
2017春九年级数学下册 第3章节 圆 3 垂径定理讲义 (新版)北师大版
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垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
转为几何语言：
∵CD是直径,CD⊥AB,
∴AM=BM,
= ， =
如果把条件和结论看成是5个条件，相互间是否还有其它关系呢？
如图,在下列五个条件中:
①CD是直径,
②CD⊥AB,
③AM=BM,
④ = ，
⑤ =
只要具备其中两个条件，就可推出其余三个结论.
②④
①③⑤
垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧.
②⑤
①③④
③④
①②⑤
平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.
③⑤
①②④
④⑤
①②③
平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
你可以写出相应的命题吗?
条件
结论
命题
①②
③④⑤
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
①③
②④⑤
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
①④
②③⑤
平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.
①⑤
②③④
②③
①⑤
弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.