优化探究高考数学一轮复习 第三章 第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式课时作业 理 新人教A版

【优化探究】2017届高考数学一轮复习 第三章 第五节 两角和与差
的正弦、余弦和正切公式课时作业 理 新人教A 版
A 组 考点能力演练
1．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝－513，则sin 2x 的值为( )
A.50
169
B.119169
C ．－50169
D ．－119169
解析：法一：由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝－513，可得sin x ＋cos x ＝－5213，所以(sin x ＋cos x )
2
＝1＋sin 2x ＝50169，所以sin 2x ＝－119
169
.
法二：sin 2x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－1＝－119169，故选D.
答案：D
2．若点P (cos θ，sin θ)在直线x ＋2y ＝0上，则cos 2θ＋sin 2θ＝( ) A ．－1
5
B ．－12
C.15
D.12
解析：由已知条件可得cos θ＋2sin θ＝0，解得tan θ＝－1
2，∴cos 2θ＋sin 2θ
＝cos 2
θ－sin 2
θ＋2sin θcos θsin 2θ＋cos 2
θ
＝1－tan 2
θ＋2tan θtan 2
θ＋1＝－15，故选A. 答案：A
3．(2015·云南一检)cos π9·cos 2π9·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π9＝( )
A ．－18
B ．－116
C.116
D.18
解析：cos π9·cos 2π9·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π9＝cos
20°·cos 40°·cos 100°＝－cos 20°·cos
40°·cos 80°
＝－sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°sin 20°
＝－1
2sin 40°·cos 40°·cos 80°sin 20°
＝－14sin 80°·cos 80°sin 20°＝－18sin 160°sin 20°
＝－1
8sin 20°sin 20°＝－18.
答案：A
4．(2015·青岛一模)设a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40° cos 37°，b ＝
2
2
(sin 56°－cos 56°)，c ＝1－tan 2
39°1＋tan 2
39°，d ＝12(cos 80°－2cos 2
50°＋1)，则a ，b ，c ，d 的大小关系是( )
A ．a >b >d >c
B ．b >a >d >c
C ．a >c >b >d
D ．c >a >b >d
解析：a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°＝sin 40°×cos 127°＋cos 40°sin 127°＝sin(40°＋127°)＝sin 167°＝sin 13°，b ＝
22(sin 56°－cos 56°)＝2
2
sin 56°－22cos 56°＝sin(56°－45°)＝sin 11°，c ＝1－tan 2
39°
1＋tan 239°＝cos 2
39°－sin 2
39°
cos 239°cos 239°＋sin 2
39°
cos 2
39°＝cos 239°－sin 239°＝cos 78°＝sin 12°，d ＝12(cos 80°－2cos 2
50°＋1)＝12cos 80°－12cos
100°＝cos 80°＝sin 10°，故a >c >b >d ，选C.
答案：C
5．已知锐角α，β满足sin α－cos α＝1
6，tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3，
则α，β的大小关系是( )
A ．α<π
4<β
B ．β<π4<α
C.
π
4
<α<β D.
π
4
<β<α 解析：∵α为锐角，sin α－cos α＝16，∴α>π
4
.
又tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan αtan β＝3，
∴α＋β＝π3，又α>π4，∴β<π
4
<α.
答案：B
6．若cos(α＋β)＝15，cos(α－β)＝3
5
，则tan αtan β＝________.
解析：∵cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝1
5，cos(α－β)＝cos αcos β
＋sin αsin β＝35，∴cos αcos β＝
cos α－β＋cos α＋β
2＝2
5
，sin αsin β＝
cos α－β－cos α＋β2＝15，∴tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝1
2.
答案：1
2
7．已知sin α＋cos α＝1
2
，则cos 4α＝________.
解析：由sin α＋cos α＝12，得(sin α＋cos α)2
＝1＋2sin αcos α＝14
，∴sin 2α
＝－34，∴cos 4α＝1－2sin 2
2α＝1－2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－342＝－18.
答案：－18
8．(2015·珠海一模)已知tan(α＋β)＝25，tan β＝1
3，则tan(α－β)的值为________．
解析：∵tan(α＋β)＝
25，tan β＝1
3
，∴tan α＝tan[(α＋β)－β]＝tan α＋β－tan β1＋tan α＋β·tan β＝25－131＋25×13＝117，tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝117－131＋117×1
3＝－
7
26
. 答案：－7
26
9．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝12，求tan 2α和sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2α＋π3的值．
解：∵tan α＝12，∴tan 2α＝2tan α
1－tan 2
α＝2×
121－
14＝43
， 且
sin αcos α＝1
2
，即cos α＝2sin α， 又sin 2α＋cos 2α＝1，∴5sin 2
α＝1，而α∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，
∴sin α＝
55，cos α＝25
5
. ∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×
55×255＝4
5
， cos 2α＝cos 2α－sin 2
α＝45－15＝35
，
∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝sin 2αcos π3＋cos 2αsin π3＝45×12＋35×32＝4＋3310. 10．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，cos 2β＝－79，sin(α＋β)＝79.
(1)求cos β的值； (2)求sin α的值．
解：(1)cos 2
β＝1＋cos 2β2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－792＝19
，
又∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos β＝－13.
(2)由(1)知sin β＝1－cos 2
β＝
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫－132＝
223.
由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，得(α＋β)∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2
，3π2.
cos(α＋β)＝－1－sin
2
α＋β＝－
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫792
＝－429.
sin α＝sin(α＋β－β)＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β ＝79×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－⎝ ⎛⎭
⎪⎫－429×223＝1
3. B 组 高考题型专练
1．(2015·高考重庆卷)若tan α＝2tan π5，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α－π5＝( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10＋π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsin π5sin αcos π5－cos αsin π5＝
sin αcos αcos π5＋sin π5sin αcos αcos π5－sin π5＝2·sin
π
5cos π5cos π5＋sin
π
52·sin π5cos
π5
cos π5－sin
π
5＝3sin
π5
sin π
5＝3，故选C.
答案：C
2．(2015·高考四川卷)sin 15°＋sin 75°的值是________．
解析：sin 15°＋sin 75°＝sin(45°－30°)＋sin(45°＋30°)＝2sin 45°cos 30°＝62. 答案：
62
3．(2015·高考江苏卷)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝1
7，则tan β的值为________．
解析：tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan α＋β－tan α1＋tan α＋βtan α＝17
＋2
1－2
7＝3.
答案：3
4．(2014·高考江苏卷)已知α∈⎝
⎛⎭
⎪⎫π2，π，sin α＝55.
(1)求sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋α的值；
(2)求cos ⎝
⎛⎭
⎪
⎫5π6－2α的值．
解：(1)由题意cos α＝－
1－⎝
⎛⎭
⎪⎫552
＝－255， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＋22×55＝－1010. (2)由(1)得sin 2α＝2sin αcos α＝－45，cos 2α＝2cos 2
α－1＝35
，
所以cos ⎝
⎛⎭
⎪⎫5π6－2α＝cos 5π6cos
2α＋sin 5π6sin 2α＝－32×35＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－33＋410. 5．(2014·高考广东卷)已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝
322
.
(1)求A 的值；
(2)若f (θ)－f (－θ)＝3，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6－θ.
解：(1)f ⎝
⎛⎭⎪⎫5π12＝A sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫5π12＋π3＝A sin 3π4＝322，
∴A ＝32
2
·2＝3.
(2)f (θ)－f (－θ)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－θ＋π3 ＝3⎣⎢⎡
⎝
⎛
⎭⎪⎫sin θcos π3＋cos θsin π3－⎝ ⎛ －sin θcos π3＋
⎦⎥⎤
⎭⎪⎫cos θsin π3＝6sin θcos π
3
＝3sin θ＝3， 所以sin θ＝
33.又因为θ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，
所以cos θ＝1－sin 2
θ＝1－⎝
⎛⎭
⎪⎫332
＝63， 所以f ⎝
⎛⎭⎪⎫π6－θ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＋π3＝3sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－θ
＝3cos θ＝ 6.。