机械原理_第二章-2相对运动图解、解析

5E (E5,E6) 6 ω6 x
a6
2. 速度分析：
(1) 求vB: vB lAB2
（2） 求vC:
2 B
A
ω2
D ω4 α4
ω3 a3 3 C
x
5E (E5,E6) 6 ω6 x
（3） 求vE3: 用速度影像求解
（4） 求vE6: vE6 vE5 vE6E5 大小： ？ √ ?
方向：⊥EF √ ∥xx
大小： ？ 已知 √
ar C2C1
方向： ？
√
√
？ ∥AB
B
2
a 2 v k C 2C1
1 C2C1
ω1
1
an C1
C
3
ak C2C1
由于上式中有三个未知数， 故无法求解。
at C1
D 可根据3构件上的C3点进
c2 (c3)
4
一步减少未知数的个数。
aC2 aCn3D aCt 3D aC1 aCk2C1 aCr2C1
2
p
c´
acbt
e n
b
acbn n
❖ 加速度多边形的特性：
1） 在加速度多边形中，由极
p
点 p´ 向外放射的矢量代表构
件上相应点的绝对加速度，方
向由极点 p´ 指向该点。
c´
acbt
n
b
acbn
2）在加速度多边形中，联接绝对加速度矢端两点的矢量，代
表构件上相应两点的相对加速度，例如
:
bc
代表
aCB
速度多边形 c
向外放射的矢量代表构件上相应 p
点的绝对速度，方向由极点 p 指 极点 向该点。
b
2）在速度多边形中，联接绝对速度矢端两点的矢量，代
表构件上相应两点的相对速度，例如 : bc 代表 vCB
3）在速度多边形中，极点 p 代表机构中速度为零的点。
4） 已知某构件上两点的速度，可用速度影象法求该构件上第 三点的速度。
3 D ω4
(E5,E6)
n4
b p(a、d、f )
C α4
(2) 求aC及3、4
6 ω6 x
a6
c
aC aCnD aCt D aB aCnB aCt B
大小： √ ？ √
√？
方向： C→D ⊥CD B→A C→B ⊥CB
e3' (e5' )
aC pca 其方向与 pc一致;
3
aCt B lBC
已知图示曲柄滑块机构原动件AB 的运动规律和各构件尺寸。求：
①图示位置连杆BC的角速度和其 上各点速度。
②连杆BC的角加速度和其上C点 加速度。
取长度比例尺 l
实际尺寸 图示尺寸
m / mm,作机构运动简图。
（1） 速度关系：
①根据运动合成原理，列出速度矢量方程式：
VC2 VB2 VC2B2
3 D
A
4
➢分析——构件1和2组成移动副，点C为两个构件的
4
一个重合点。Vc2、ac2根据两构件重合点间的关系可由
vc1、ac1求出，而构件2和3在C点的速度和加速度相等。
1. 速度分析：
1 A
4
B
2
ω1
1
P c1
1) 依据原理列矢量方程式
vC2 C
将构件1扩大至与C2点重合。
VC2 VC1 VC2C1
大小： ? ω1lAB ?
方向： ∥xx ⊥AB ⊥BC
②确定速度图解比例尺μv( (m/s)/mm) ③作图求解未知量：
vC V pc m / s
p
vCB V bc m / s
极点
速度多边形 c
2 vCB / lCB （逆时针方向）
b
如果还需求出该构件上E点的速度VE
vE2 vB2 vE2B2 vC2 vE2C2
大小： ？ √
?
方向： ⊥CD ⊥AC ∥AB
3
vC1
D
2) 取速度比例尺v , 作速
度多边形，由速度多边
4 c2 (c3)
形得：
vC3 vC2 pc2v
vC2C1 c1c2 v
3
vC 3 lCD
pc 2 v
lCD
( 顺时针 ）
2. 加速度分析：
1) 依据原理列矢量方程式
分析： aC2 = aC1 + aC2C1
6 4
E
P64
C
P14
GP15
P45 5
D 3
B
2 2
A
1
1
2
6
3
c
5
4
p
b
3. 利用速度影像法作出vE
典型例题二：图示为由齿轮－连杆组合机构。原动齿轮2绕固定 轴线O转动，齿轮3同时与齿轮2和固定不动的内齿轮1相啮合。 在齿轮3上的B点铰接着连杆5。现已知各构件的尺寸，求机构在
图示位置时构件6的角速度6。
1 A
4 P
B
2
ω1
1
当牵连点系（动参照系）为
C
转动时，存在科氏加速度。
ak C2C1
3 D
aC2C1 aCr2C1 aCk2C1
c2 (c3)
4 科氏加速度
ak 2 vr
动系转动速度
相对速度
c1 科氏加速度方向——将vC2C1沿牵连角速度1转过90o。
1 A
4 P
aC2 aC1 aCk2C1 aCr2C1
3
D
at C1
p’
arC2C1
c2 (c3)
4
atC3
4
n´
P
c1
c1´
k´
科氏加速度存在的条件：
ak 2 vr
1）牵连构件要有转动；
2）两构件要有相对移动。
判断下列几种情况取B点为重合点时有无ak
无ak 32
1B
无ak
1
B 2
3
1
2
有ak B
3
2
B
1
3 有ak
3有ak
2
1
B
2
B 有ak 3
1
2 1B
(2) 加速度关系： a) 根据运动合成原理，列出加速度矢量方程式：
aC
aB
aCB
aB
an CB
at CB
大小： ？
√
22lBC ？
方向： √
√ C→B ⊥BC
b) 根据矢量方程式，取加速度比例尺
a
实际加速度
图c示´尺寸
m / s2p
,
作矢量多边形。
mm
p
极点
n b
c e
b
由加速度多边形得：
a C
（1）分清绝对矢量和相对矢量的作法，并掌握判别指 向的规律
（2）比例尺的选取及单位。
3. 注意速度影像法和加速度影像法的应用原则和方向
4. 构件的角速度和角加速度的求法
5. 科氏加速度存在条件、大小、方向的确定。
2-4瞬心法和矢量方程图解法的综合运用
对于某些复杂机构，单独运用瞬心法或矢量方程图解法解题时， 都很困难，但将两者结合起来用，将使问题的到简化。
大小：
32l3 ？3l3 √ 2 v ？ 1 C 2C1
c1
方向：
C→D ⊥CD √ √ ∥AB
2) 取速度比例尺a , 作
加速度多边形。
aC2 aCn3D aCt 3D aC1 aCk2C1 aCr2C1
大小： 32l3
？
√ ？ 2 v1 C 2C1
arC2C1方向： C→D ⊥CD √ √
3 有ak
有ak
B2
3
1
典型例题分析
如图所示为一偏心轮机构。设已知机构各构件的尺寸，并知原动件2以
角速度2等速度转动。现需求机构在图示位置时，
滑块5移动的速度vF、加速度aF
构件3、4、5的角速度3、4、5和角速度3、a4、5。
解：1. 画机构运动简图
A
2 B
ω2
D ω4 α4
ω3 a3 3 C
x
解： P13为绝对瞬心P23为相对瞬心
vk1 vk2 2lAK
vC vB vCB
P13 P23
6
vC lCD
v pc (顺时针）
lCD
b
a
k
g1,p c (o,d,e) g3
g2
2-5 用解析法作机构的运动分析
一、矢量方程解析法
1.矢量分析的有关知识
幺矢量—单位矢量 e－ 矢量L的幺矢量，
（5） 求3、4、5
3
vCB lBC
bcv BCl
rad / s; 4
vC lCD
pcv CDl
rad / s
e6
b
6
vE6 lEF
pe6 v
lEF
rad / s
a6 e3(e5)
c
P(a、d、f)
3. 加速度分析
(1) 求aB: aB aBnA lAB22
2 B
A
ω2
ω3 a3
x 5E
n3
出构件4的绝对瞬心P14的位置。
✓根 据 三 心 定 理 可 确 定 构 件 4
的绝对瞬心P14。
解题步骤：
1. 确定瞬心P14的位置
K = N（N－1）/ 2
= 6（6－1）/ 2 = 15
vC的方向垂直 P14C
2. 图解法求vC 、 vD
vC vB vCB
d
vD vC vDC
e
F P16
作法：1）根据运动合成原理 —— 列出矢量方程式。
2）根据矢量方程式 —— 作图求解。 构件间的相对运动问题可分为两类：
➢同一构件上的两点间的运动关系 ➢两构件重合点间的运动关系
B A
2
1
A(A1,A2)
二、同一构件上两点间的速度及加速度的关系
现以图示曲柄滑块机构为例，说明用矢量方程图解法作机构 的速度分析和加速度分析的具体步骤。
∥AB
B 2
c2´ (c3´ )
ω1
1
1
an C1
C ak
C2C1
3
2 (c3)
4
n´
4
P
c1´
k´
c1
由加速度多边形可得：
aC3 aC2 pc2 a
1 A
ar C2C1
3
at C 3D lCD
nc2 a
lCD
（顺时针）
B 2
c2´ (c3´ )
C
ω1
ak C2C1
1
an C1
大小： ？ 方向： ？
ω2 2 lBE 2 lCE
E→B ⊥BE
pe 则代表 aE 由加速度多边形得：
aE pea
c´
△b’c’e’ ~ △BCE , 叫 做
△BCE 的加速度影像，字
母的顺序方向一致。
e
p n nb
加速度影像原理： 同一构件上若干点形成的几何图形与其加速度矢量多边 形中对应点构成的多边形相似；
et
et － 切向幺矢量 i － x轴的幺矢量
en －法向幺矢量， j － y轴的幺矢量
yj
en
则任意平面矢量的可表示为：
L l
le
l( i cos j sin )
L
j
e
θ
i
其中：l－矢量的模，θ－幅角，各幺矢量为：
i
x
e e
i cos j sin
et
e'
de
/
d
i sin j cos i cos( 90 ) j sin( 90 )
典型例题一：如图所示为一摇动筛的机构运动简图。设已知各构
件的尺寸，并知原动件2以等角速度2回转。要求作出机构在图
示位置时的速度多边形。
F 6 4
E
C
解题分析：
✓这是一种结构比较复杂的六 杆机构(III级机构)。
G
✓作机构速度多边形的关键应
5
首先定点C速度的方向。
D 3
B
2 2
A
1
✓定 点 C 速 度 的 方 向 关 键 是 定
。
3）在加速度多边形中，极点 p´ 代表机构中加速度为零的点。
4） 已知某构件上两点的加速度，可用加速度影象法求该构件上 第三点的加速度。
三、两构件重合点间的速度和加速度的关系
已知图示机构尺寸和原动件1的运动。求重合点C的运动。
B
2
ω1
1 1
➢原理——构件2的运动可以认
为是随同构件1的牵连运动和构件 C 2相对于构件1的相对运动的合成。
a
pc
m / s2
2 aC t B lBC a nc lBC
同样，如果还需求出该构件上E
p
点的加速度 aE，则
aE
aB
an EB
at EB
c´
acbt
b
大小： ？ ω2 2 lBE 2 lCE
方向： ？ E→B ⊥BE
同理，按照上述方法作出矢量多边形，
n acbn
aE
aB
an EB
at EB
e( 90 )
en
eet e180icoes
j sin
icos
180
et
将定杆长L对时间分别取一次导数和二次导数， y j
大小： √ ？ √ √ ？
e6 方向：E→F ⊥EF √ ⊥xx ∥xx
e3' (e5' ) k
aE6 pe6a
6
aEt 6F lEF
n6e6'a
lEF
矢量方程图解法小结
1.列矢量方程式 第一步：判明机构的级别——适用二级机构
第二步：分清基本原理中的两种类型 第三步：矢量方程式图解求解条件——只能有两个未知 数 2. 做好速度多边形和加速度多边形
方向：？
A
B
D
C
§3－3D用 A矢量B方 C程 图解法作机构速度D和 A加速B度 C分 析
大小： ? ?
大小：
方向：
方向： ? ?
A
B
A
B
C D
D
C
D ABC
大小： ?
方向： ?
A
B
特别注意矢
量箭头方向！
D
C
(2) 理论力学运动合成原理
绝对运动 = 牵连运动 + 相对运动
n3 ca
lBC
4
aCt D lCD
n4ca
lCD
(3) 求aE ：利用影像法求解 aE3 pea
(4) 求aE6和6
akE6E5 = 25vrE6E5
n3
b
2 B
A
ω2
D ω4 α4
ω3 a3 3 C
x
5E (E5,E6)
6
ω6 x
n4
c
n6
p(a、d、f )
a6
aE6 aEn6F aEt 6F aE5 aEk6E5 aEr6E5
2-3 用相对运动图解法求机构的速度和加速度
一、矢量方程图解法的基本原理和作法 基本原理——(1)矢量加减法；(2)理论力学运动合成原理。
(1)矢量加减法 设有矢量方程： D＝ A + B + C
因每一个矢量具有大小和 方向两个参数，根据已知 条件的不同，上述方程有 以下四种情况：