2020-2021学年抚顺市六校协作体高二上学期期末数学试卷(含答案解析)

2020-2021学年抚顺市六校协作体高二上学期期末数学试卷
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
1.经过圆++2x=0的圆心C，且与直线x+y=0垂直的直线方程是()
A. x+y+1=0
B. x+y−1=0
C. x−y+1=0
D. x−y−1=0
2.已知a
1−i
=1+bi，其中a，b是实数，i是虚数单位，则a+bi=()
A. 1+2i
B. 2+i
C. 2−i
D. 1−2i
3.若方程x2+y2
a
=1(a是常数)，则下列结论正确的是()
A. 任意实数a方程表示椭圆
B. 存在实数a方程表示椭圆
C. 任意实数a方程表示双曲线
D. 存在实数a方程表示抛物线
4.已知抛物线C：y 2=8x与点M(−2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若
·=0，则k=()．
A. B. C. D. 2
5.在数列{a n}中，a2=8，a5=2，且2a n+1−a n+2=a n(n∈N∗)，则|a1|+|a2|+⋯+|a10|的值
是()
A. 210
B. 10
C. 50
D. 90
6.已知圆C的圆心是直线x+y+1=0与直线x−y−1=0的交点，直线3x+4y−11=0与圆C
交于A，B两点，且|AB|=6，则圆C的方程为()
A. x2+(y+1)2=18
B. x2+(y+1)2=3√2
C. (x+y)2+y2=18
D. (x+1)2+y2=3√2
7.已知F1，F2分别是双曲线C：x2
16−y2
9
=1的左，右焦点，M是C上的一点，且|MF2|=10，则|MF1|=
()
A. 10
B. 8
C. 4
D. 2
8.下列四个数中，数值最小的是()
A. 10111(2)
B. 101(5)
C. 25(10)
D. 1B(16)
9.已知a⃗=(1,−1,1)，则与向量a⃗共线的单位向量是()
A. n⃗=±(1,−1,1)
B. n⃗=±(1
3,−1
3
,1
3
)
C. n⃗=±(√3
3,√3
3
,√3
3
) D. n⃗=±(√3
3
,−√3
3
,√3
3
)
10.已知双曲线y2
t2−x2
3
=1(t>0)的一个焦点与抛物线y=1
8
x2的焦点重合，则此双曲线的离心率为
()
A. 2
B. √3
C. 3
D. 4
11.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F到其准线的距离为4，圆M：(x−2)2+y2=1，过F的
直线l与抛物线C和圆M从上到下依次交于A，P，Q，B四点，则|AP|+4|BQ|的最小值为()
A. 9
B. 11
C. 13
D. 15
12.数列{a n}，{b n}满足a1+3a2+32a3+⋯+3n−1a n=n
3，(n∈N∗)，b n=3n
n
⋅a n，若{b n}的前n项
和为S n，则下列选项正确的是()
A. ln2018>S2017
B. S2018>ln2018+1
C. ln2018<S1009−1
D. S2018−1<ln2018
二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.
14.已知向量a⃗=(1,1,x)，b⃗ =(1,2,1)，c⃗=(1,2,3)满足(c⃗−a⃗ )⋅b⃗ =−1，则x=______．
15.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O−xyz中的坐标分别是A(0,0,√5)，B(√3,0,0)，C(0,1,0)，
D(√3,1,√5)，则该四面体的外接球的体积为______．
16.已知点P是椭圆x2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)上的动点，F1，F2为椭圆的左右焦点，焦距为2c，O为坐
标原点，若M是∠F1PF2的角平分线上的一点，且MF1⊥MP，则OM的取值范围为______．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.在数列{a n}中，已知a1=1，a2=3，其前n项和S n满足S n=n
2
(a1+a n)(n∈N+).
(1)求a3，a4，a5的值；
(2)求a n的表达式；
(3)对于任意的正整数n≥2，求证：a
1
a2…a n>(2n+1)n−12．
18.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，
AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点．
(1)证明：平面PCD⊥平面PAE；
(2)已知二面角P−CD−A的平面角的余弦为2
3
，求PD与平面PAE所成角的正弦值．
19.在直角坐标系xOy中，已知一动圆经过点(2,0)且在y轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为
曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)过点(1,0)作互相垂直的两条直线l1和l2，l1与曲线C交于A，B两点，l2与曲线C交于E，F两点，线
段AB，EF的中点分别为M，N，求证：直线MN过定点P，并求出定点P的坐标．
20.如图，四棱锥P−ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，且E为PB的中点AC与BD交于点M，
(1)求证：ME//PD；
(2)当PD=√2AB，求AE与平面PBD所成的角的正切值．
21.对任意非零数列{a n}，定义数列{f(a n)}，其中{f(a n)}的通项公式为f(a n)=(1+1
a1
)(1+
1 a2)⋯(1+1
a n
)．
(Ⅰ)若a n=n，求f(a n)；
(Ⅱ)若数列{a n}，{b n}满足{a n}的前n项和为S n，且f(a n)=2n(n+1)，b n⋅a n+1=S n.求证：f(b n)<4
3
．
22.(本小题满分14分)已知直线过椭圆的右焦点，抛物
线的焦点为椭圆的上顶点，且直线交椭圆于两点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线交轴于点，且，当变化时，的值是否为定值？
若是，求出这个定值，若不是，说明由．
参考答案及解析
1.答案：C
解析：解：易知点C 为(−1,0)， 因为直线x +y =0的斜率是−1，
所以与直线x +y =0垂直直线的斜率为1， 所以要求直线方程是y =x +1即x −y +1=0． 故选C ．
2.答案：B
解析：解：已知a
1−i =1+bi ，其中a ，b 是实数， ∴
a(1+i)(1−i)(1+i)
=1+bi ，化为
a+ai 2
=1+bi ，即a +ai =2+2bi ，
∴{
a =2a =2
b 解得{a =2
b =1
． ∴a +bi =2+i ． 故选B ．
利用复数的运算法则和复数相等的定义即可得出． 熟练掌握复数的运算法则和复数相等的定义是解题的关键．
3.答案：B
解析：解：对于a =1，方程x 2+y 2a
=1表示圆，选项A 错误；
当a >0且a ≠1时，方程x 2+y 2a
=1表示椭圆，B 正确；
当a <0时，方程x 2+
y 2a =1表示双曲线，C 错误；
对于任意实数a ，方程x 2
+y 2a
=1不是抛物线，D 错误．
故选：B ．
根据三种圆锥曲线的定义，结合举例可得选项．
本题考查曲线与方程，考查了三种圆锥曲线的定义，是基础题．
4.答案：D。