2021届中考数学名师总结笔记图形与证明(考点论述典型题规律总结综合训练含详解)

图形与证明
一、考点综述 考点内容：
1. 了解定义、命题、定理、互逆命题、反证法的含义；
2. 掌握平行线的性质定理和判定定理；
3. 全等和相似三角形的性质定理和判定定理、直角三角形全等相似的判定定理；
4. 掌握三角形的内角和定理和推论、角平分线和垂直平分线性质定理及逆定理、三角形中位线
定理；
5. 掌握等腰三角形、等边三角形、直角三角形性质与判定定理；
6. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质和判定定理；
7. 与圆有关的性质和定理
考纲要求：
1.基本概念、三角形、四边形与特殊四边形等知识是推理论证的对象，要求能进行较严格的推理证明；题目以 “证明”形式存在；
4.会用相似形或全等的知识证明或求解线段与角度的计算问题.
5.会用解直角三角形的知识求解实际问题.
6.能用圆心角、圆周角换算与计算，能求解弧长与扇形面积；会求圆柱与圆锥的表面积；能解决圆与解直角三角形的结合问题.
7.能用反证法证明简单的文字问题.
考查方式及分值：
本部分的内容多以解答或证明说理的形式出现，中考压轴的题目往往是这部分多种知识的综合，所占分值比重比较高约占30%左右。

备考策略：
本部分知识是中考的重点，在复习时必须首先要掌握好各种定理和性质，能熟练记住，再进一步强化训练，立足于课本，要一题多解、举一反三。

二、例题精析
例1．如图1，已知点D 在ABC △的BC △边上，
DE AC ∥
交AB 于E ，DF AB ∥交AC 于F ． （1）求证：AE DF =；
（2）若AD 平分BAC ∠，试判断四边形AEDF 的形状，并说明理由．
解题思路：本题主要考查同学们对平行四边形及特殊的平行四边形的判定方法的把握． 证明：（1）∵DE AC ∥，
∴ADE DAF ∠=∠，同理DAE FDA ∠=∠． ∵AD DA =，
∴ADE DAF △≌△，∴AE DF =．
（2）若AD 平分BAC ∠，四边形AEDF 是菱形． ∵DE AC ∥，DF AB ∥， ∴四边形AEDF 是平行四边形， ∵FAD EAD ∠=∠，∴AF DF =， ∴平行四边形AEDF 为菱形．
规律总结：三角形全等及平行四边形的性质都可以证明两线段相等，此类题起点低，注重基础知识及基本技能的考查，考查了同学们最基本的几何推理证明能力．
例2．如图2，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，过圆心O 作
OD AC ⊥，D 为垂足，E 是BC 上一点，G 是DE 的中点，OG 的延长
线交BC 于F ．
（1）图中线段OD 、BC 所在直线有怎样的位置关系？写出你的结论，并给出证明过程；
（2）猜想线段BE EF FC ，，三者之间有怎样的数量关系？ 写出你的结论，并给出证明过程．
解题思路：平面内两直线的位置关系只有平行和相交两种，先通过观察图形可猜想OD ∥BC ，再利用圆的有关概念及性质得证．
解：（1）结论：OD BC ∥．
证明：∵AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点， ∴90ACB ∠=，即BC ⊥AC ． 又OD ⊥AC ，∴OD ∥BC ． （2）结论：EF BE FC =+． 证明：∵OD ⊥AC ，∴AD =DC ．
又O 为AB 的中点，∴OD 是△ABC 的中位线． ∴BC =2OD ．
在△ODG 与△EFG 中，
∵DG =EG ，∠GOD =∠GFE ，∠ODG =∠FEG ， ∴ODG FEG △≌△．∴OD =EF ． ∴22BE EF FC BC OD EF ++===． ∴EF BE FC =+．
例3．如图，已知⊙O 的直径AB ＝2，直线m 与⊙O 相切于点A ，P 为⊙O 上一动点（与点A 、点B 不重合），PO 的延长线与⊙O 相交于点C ，过点C 的切线与直线m 相交于点D ．
（1）求证：△APC∽△COD．
（2）设AP ＝x ，OD ＝y ，试用含x 的代数式表示y ． （3）试探索x 为何值时，△ACD 是一个等边三角形． 解题思路：运用圆的切线的性质、三角形的相似的判定和性质 解析：（1）∵PC 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的切线 ∠PAC ＝∠OCD ＝90°，显然△DOA ≌△DOC ∴∠DOA ＝∠DOC ∴∠APC ＝∠COD
APC COD ∴△∽△
（2）由APC COD △∽△，得
AP OC
PC OD
= 1
2x y
∴=，2y x ∴=
（3）若ACD △是一个等边三角形，则6030ADC ODC ∠=∠=， 于是2OD OC =，可得2y =，1x ∴= 故，当1x =时，ACD △是一个等边三角形
规律总结：认真审题，根据题目所给的条件充分利用图形的性质及判定。

例4．如图,C 为线段BD 上一动点,分别过点B 、D 作AB ⊥BD ,ED ⊥BD ,连接AC 、EC .已知AB =5,DE =1,BD =8,设CD =x.
(1)用含x 的代数式表示AC ＋CE 的长；
(2)请问点C 满足什么条件时,AC ＋CE 的值最小?
(3)根据(2)中的规律和结论,请构图求出代数式9)12(42
2+-++x x 的最小值.
解题思路：代数知识与几何知识结合在一起，在直角三角形中 利用勾股定理，注意运用两点之间线段最短。

解析: (1)125)8(2
2
++
+-x x
(2)当A 、C 、E 三点共线时,AC +CE 的值最小
(3)如下图所示,作BD =12,过点B 作AB ⊥BD ,过点D 作ED ⊥BD ,使AB =2,ED =3,连结AE 交BD 于点
C .AE
的最小值.
过点A 作AF ∥BD 交ED 的延长线于点F ,得矩形ABDF , 则AB =DF =2,AF =BD =8.
所以AE=2
2)23(12++=13
即9)12(42
2+-++x x 的最小值为13.
规律总结：用代数的方法来解决几何问题，是我们常用的方法，在没有给出未知量的情况下，巧妙的设未知数。

例5．如图，ABM ∠为直角，点C 为线段BA 的中点，点D 是射线BM 上的一个动点（不与点B 重合），连结AD ，作BE AD ⊥，垂足为E ，连结CE ，过点E 作EF CE ⊥，交BD 于F ． （1）求证：BF FD =；
（2）A ∠在什么范围内变化时，四边形ACFE 是梯形，并说明理由； （3）A ∠在什么范围内变化时，线段DE 上存在点G ， 满足条件1
4
DG DA =，并说明理由．
解题思路：根据题目的条件，注意角度之间的相等，三角形中位线的定理的运用，梯形的判定的运用。

解析：（1）在Rt AEB △中，
AC BC =，1
2
CE AB ∴=
， A
B
C D F
E
M
CB CE ∴=，CEB CBE ∴∠=∠． 90CEF CBF ∠=∠=，
BEF EBF ∴∠=∠，EF BF ∴=．
90BEF FED ∠+∠=，90EBD EDB ∠+∠=，
FED EDF ∴∠=∠． EF FD =． BF FD ∴=．
（2）由（1）BF FD =，而BC CA =，
CF AD ∴∥，即AE CF ∥．
若AC EF ∥，则AC EF =，BC BF ∴=．
BA BD ∴=，45A ∠=．
∴当045A <∠<或4590A <∠<时，四边形ACFE 为梯形．
（3）作GH BD ⊥，垂足为H ，则GH AB ∥．
14DG DA =
，1
4
DH DB ∴=． 又F 为BD 中点，H ∴为DF 的中点．
GH ∴为DF 的中垂线． GDF GFD ∴∠=∠．
点G 在ED h 上，EFD GFD ∴∠∠≥．
180EFD FDE DEF ∠+∠+∠=， 180GFD FDE DEF ∴∠+∠+∠≤． 3180EDF ∴∠≤． 60EDF ∴∠≤．
又90A EDF ∠+∠=，
3090A ∴∠<≤．
规律总结：探索在什么条件下结论成立，可以从结论出发，根据已知，充分利用图形的性质或判定，同时
注意题目中的数量关系。

A
B
C D F
E
M
G H
第7题图O
C
B
A 三、综合训练
一、选择题
1．下列说法中错误的是
( )
A 、一组对边平行且有一组对角相等的四边形是平行四边形
B 、四边都相等的四边形是菱形
C 、四个角都相等的四边形是矩形
D 、对角线互相垂直的平行四边形是正方形
2．下列四边形①等腰梯形，②正方形，③矩形，④菱形的对角线一定相等的是（ ）
3．如图，在平行四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，下列结论： ①OA ＝OC ；②∠BAD ＝∠BCD ；③AC ⊥BD ；④∠BAD ＋∠ABC ＝180° 中，正确的个数有（ ）
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
4．如图．AB 为⊙O 的直径，AC 交⊙O 于E 点，BC 交⊙O 于D 点， CD=BD ，∠C=70°．现给出以下四个结论：
其中正确结论的序号是（ ）
A ．①②
B ．②③
C ．②④
D ．③④
5.如图,已知⊙O 的半径为1.AB 与⊙O 相切于点A,OB 与⊙O 交于点C, CD ⊥OA,垂足为D,则cos ∠AOB 的值等于
A.OD
B.OA
C.CD
D.AB 二、填空题
1．如图，在口ABCD
中，∠ABC 的角平分线BE 交AD 于E 点, AB=5，ED=3，则口ABCD 的周长为 .
2．在菱形ABCD 中，AC=16，BD=12，则菱形的高是________。

3.菱形的周长为20cm,一条对角线长为6cm ，则这个菱形的面积是________cm2
4. 如图，已知⊙O 的直径AB=8cm ，C 为⊙O 上的一点，∠BAC=30°， 则BC=_________cm.
5．已知菱形的周长为85，面积为16，则这个菱形较短的对角线长为 ． 6．如图，把一个矩形纸片OABC 放入平面直角坐标系中，使OA 、OC 分
D
A E
C
B
别落在x 轴、y 轴上，连结OB ，将纸片OABC 沿OB 折叠，使点A 落在A ’ 的位置上．若OB =5，2
1
OC BC ，求点A ’的坐标为_______________． 三、解答题
1．如图，在△ABC 与△ABD 中，BC ＝BD ．设点E 是BC 的中点，点F 是BD 的中点． （1）请你在图中作出点E 和点F ；(要求用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法与证明） （2）连接AE ，AF ．若∠AB C ＝∠ABD ，请你证明△ABE ≌△ABF ．
2．如图，⊙O 的半径OD 经过弦AB (不是直径)的中点C ，过AB 的延长线上一点P 作⊙O 的切线PE ，E 为切
点，PE ∥OD ；延长直径AG 交PE 于点H ；直线DG 交OE 于点F ，交PE 于点K ． （1）求证：四边形OCPE 是矩形； （2）求证：HK ＝HG ；
（3）若EF ＝2，FO ＝1，求KE 的长．
3．如图，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，P 是边AB （含端点）上的动点．过P 作BC 的垂线PR ，R 为垂足，∠PRB
的平分线与AB 相交于点S ，在线段RS 上存在一点T ，若以线段PT 为一边作正方形PTEF ，其顶点E ，
F 恰好分别在边BC ，AC 上．
（1）△ABC 与△SBR 是否相似，说明理由； （2）请你探索线段TS 与PA 的长度之间的关系；
（3）设边AB ＝1，当P 在边AB （含端点）上运动时，
请你探索正方形PTEF 的面积y 的最小值和最大值．
一、选择题
1. D
2. A
3. C
4.C
5.A
D
A
B
C
P E
D
K H
G
C A B
F O
T
P
S
R
E
A
B
C F
二、填空题
1. 26
2. 9.6
3. 24
4. 4cm
5. 4
6. (－3
5
，
4
5
)
三、解答题
1.解：(1)能看到“分别以B，C为圆心，适当长为半径画弧，两弧交于点M、N，
连接MN，交BC于E”的痕迹，能看到用同样的方法“作出另一点F(或以B为圆心，BE为半径画弧交BD 于点F)”的痕迹.
(2)∵BC＝BD，E，F分别是BC，BD的中点，
∴BE＝BF，(4分)
∵AB＝AB，∠ABC＝∠ABD,
∴△ABE≌△ABF.
2.解：(1)∵AC＝BC，AB不是直径，
∴OD⊥AB，∠PCO＝90°
∵PE∥OD,∴∠P＝90°，
∵PE是切线，∴∠PEO＝90°，
∴四边形OCPE是矩形.
(2)∵OG＝OD,∴∠OGD＝∠ODG.
∵PE∥OD,∴∠K＝∠ODG.
∵∠OGD＝∠HGK,∴∠K＝∠HGK,
∴HK＝HG.(5分)
(3)∵EF＝2，OF＝1,∴EO＝DO＝3.
∵PE∥OD，∴∠KEO＝∠DOE，∠K＝∠ODG.
∴△OFD∽△EFK，(7分)∴EF∶OF＝KE∶OD＝2∶1,
∴KE＝6.
3.解：(1)∵RS是直角∠PRB的平分线，∴∠PRS＝∠BRS＝45°.
在△ABC与△SBR中，∠C＝∠BRS＝45°，∠B是公共角，
∴△ABC∽△SBR..(1分)
(2)线段TS的长度与PA相等.
∵四边形PTEF是正方形，
∴PF＝PT，∠SPT＋∠FPA＝180°－∠TPF＝90°, 在Rt△PFA中，∠PFA＋∠FPA＝90°,
(图1)
T
P
S
R
E
A
B C F
∴∠PFA ＝∠TPS ，
∴R t △PAF ≌Rt △TSP ，∴PA ＝TS . 当点P 运动到使得T 与R 重合时，
这时△PFA 与△TSP 都是等腰直角三角形且底边相等，即有PA ＝TS . 由以上可知，线段ST 的长度与PA 相等. (3)由题意，RS 是等腰Rt △PRB 的底边PB 上的高， ∴PS ＝BS , ∴BS ＋PS ＋PA ＝1, ∴PS ＝12
PA
-. 设PA 的长为x ，易知AF =PS ， 则y ＝PF 2
＝PA 2
＋PS 2
,得y ＝x 2
＋(12
x -)2
, 即y ＝
2511
424
x x -+，(5分) 根据二次函数的性质，当x ＝15时，y 有最小值为1
5
.
如图2，当点P 运动使得T 与R 重合时，PA ＝TS 为最大.
易证等腰Rt △PAF ≌等腰Rt △PSR ≌等腰Rt △BSR ， ∴PA ＝
1
3
. 如图3，当P 与A 重合时，得x ＝0. ∴x 的取值范围是0≤x ≤
13. ∴①当x 的值由0增大到15时，y 的值由14减小到1
5
∴②当x 的值由15增大到13时，y 的值由15增大到2
9
.
∵15≤29≤1
4，∴在点P 的运动过程中， 正方形PTEF 面积y 的最小值是15，y 的最大值是1
4
.
(图2)
图3)
(T )
P
S
R E
A B C
(T )
(P )
S E (R )
A B
C
F。