第三章 流体运动的描述与连续性方程

Traffic Flow
Q
.Y .
ZH
力学量的变化情况, 整个流体的运动可认为是空间各点流动参量变化情况 的综合。
AN G
(1) Lagrangian Method t0 初始时刻流体质点在空间坐标中所对应的位置坐标 (a, b, c) 作为标认该流体质 点的参量, (a, b, c) 称为 Lagrange g g 坐标或随体坐标 坐标或随体坐标。 ( a, b, c ) 将代表不同的流体质点。 若 f 以表示流体质点的某一物理量, 其描述的数学表达式是 ： ( a, b, c, c t ) 称为 Lagrange 变量。 变量
f f a, b, c, t
.Y .
t 时刻流体质点的失径以 r 表示
ZH
Q
r r a, b, c, t
AN G
或
x xa, b, c, t y xa, b, c, t z z a, b, c, t
同样, 压强的Lagrange描述是 p=p(a, b, c,t )。
注: 已知采用Euler描述下的流体质点速度场, 其加速度的计算即速度的随体导 数可采用此公式计算。 数可采用此公式计算
Q
.Y .
ZH
AN G
EXAMPLE 3.1.1 (1 1 2) 的加速度是多少; 已知速度场 ux=4x2+2y+xy, uy=3x-y2+z. 试问(1)点(1,1,2) (2)流动是几元流? (3)流动是恒定流还是非恒定流? 解：
FLUID MECHANICS
Q.Y Zhang Q g
Department of Engineering Mechanics Taiyuan University of Technology
Q
.Y .
illtlx@163 com Email: illtlx@ PassWord: 123456
AN G
(3) 随体导数 随体导数: 流体质点物理量随时间的变化率称随体导数、或物质导数 流体质点物理量随时间的变化率称随体导数 或物质导数, 质点导数。 质点导数 Lagrange描述中的随体导数就是物理量函数 f =f (x,y,z,t ) 本身对时间的导数, 即
Euler描述中, f =F(x,y,z,t )的变化以连锁法则处理, f =F(x,y,z,t )的随体导数为
Q
.Y .
ZH
若x, y, z为常量, 上式表示在空间某 上式表示在空间某一特定点 特定点 上,V, p, T, 随时间的变化情况； 若 t 恒定, 则上式表示空间各个点在某一个特 定时刻有关力学量的数值分布。
AN G
f F x, y, z, t F r , t
V, p, 等有关力学量都是空间点坐标x, y, z的函数
AN G
设Euler表达式= (x,y,z,t ) 及 f =F(x,y,z,t )。
x xc1 , c2 , c3 , t 由 t = t0 时 , y y c1 , c2 , c3 , t r =(a,b,c) z z c , c , c , t 1 2 3


AN G
2 2 4 x 2 y xy 4 x 2 y xy 2 2 3x y z a x 4 x 2 y xy x y 2 2 3 x y z 3 x y z 2 2 a 4 x 2 y xy 3x y z y y x
Q
.Y .
ZH
AN G
代入点(1,1,2) 得：
a x 4 2 18 1 3 1 2 2 1 75 a y 4 2 1 3 3 1 2 2 13
Q
.Y .
ZH
2 2 a 4 x 2 y xy y 8 x y 3 x y z 2 x x 2 2 a 4 x 2 y xy 3 3 x y z 2 y y
Q
.Y .
ZH
AN G
u x 6 xy 5 xt 6 2 1 5 2 3 42 2 u 3 y 3 11 3 y 2 2 u 7 xy 5 zt 7 2 1 5 4 3 46 z
ax a y az
由速度表达式可得加速度表达式为
u x u x u x u x a x t u x x u y y u z z u y u y u y u y ux uy uz a y t x y z u z u z u z u z ux uy uz a z t x y z
ZH
3.1 描述流体运动的方法 Lagrangian Method： 研究组成整个运动流体的每一个流体质点的运动情况, 认为流体的整 个运动是每一个流体质点运动的综合。 Eulerian Method： 在流体所占据的空间中, 对每一个固定点, 研究流体质点经过该点时其
DF x, y, z , t D F xa, b, c, t , y a, b, c, t , z a, b, c, t , t Dt Dt F x F y F z F x t y t z t t F F F F ux uy uz x y z t F υ F t
du x u x u x u x u x a x dt t u x x u y y u z z a du y u y u u y u u y u u y y x y z t x y dt z u x u x a u u x x y x y a u u y u u y y x y x y
AN G
(2) Eulerian Method 用空间点位置坐标 ( x, y, z ) 来表示某一确定点, 称 (x, y, z) 为Euler 坐标或空间坐 标, 通常称( x, y, z, t ) 为 Euler 变量。 若以 f 表示流体的某一个物理量, 其 Euler 描述的数学表达式是:
任意 t 时刻, 空间任意一点 ( x, y, z ) 的V, p,T, 将是(x, y, z, t )的函数, 即
V V x, y, z , t p p x, y , z , t T T x, y, z , t x, y , z , t
Q
当 a, b, c 恒定时, 表示某一特定流体质点在不同时刻所对应的运动情况; 当 t 恒定 时, 表示不同流体质点在某一个特定的时刻所对应的分布情况及运动情况。
.Y .
ZH
2 2 xa, b, c, t x xa, b, c, t x ax 2 u 2 x t t t t y y a, b, c, t 2 y 2 y a, b, c, t a y 2 u y 2 t t t t 2 2 z a, b, c, t z z a , b , c , t z uz az 2 2 t t t t
对于Euler描述而言, 任何流体质点物理量, 不管是标量还是矢量其随体导数 都类似于
Q
.Y .
DX X υ X Dt t
ZH
AN G
F/t 是时变导数, 表示 x,y,z 不变时, 在该空间点上的物理量的时间变化率, 它
已知Euler描述的速度场=(x,y,z,t ), 利用随体导数求Euler描述下的加速度 a=a(x,y,z,t )
将此代入f =F(x,y,z,t ), 即得到 Lagrange 描述。
Q
.Y .
ZH
xa, b, c, t u x , y , z , t x t y a, b, c, t dr u y x, y, z , t υ dt t z a, b, c, t u z x, y , z , t t 常微分方程的解为 c1 c1 a, b, c, t0 x xa, b, c, t c2 c2 a, b, c, t0 y xa, b, c, t c c a, b, c, t z z a, b, c, t 3 0 3
速度场、压力场、密度场等
流场分类： 场内函数依不依赖于空间位置 x, y, z 分为均匀场和非均匀场。 场内函数依不依赖于 t, 分为定常场和非定常场。
Q
.Y .
流体运动的问题转化为研究有关向量场和标量场问题
ZH
AN G
(3) Lagrange描述与Euler描述之间的关系 设表达式 f =(a,b,c,t )表示流体质点在t 时刻的物理量。如果设想流体质点 ( a,b,c ) 恰好在t 时刻运动到空间点(x, y, z )上，则应有
F x, y , z , t
Q
.Y .
f a,b, c,t f a x, y, z , t , b x, y, z , t , c x, y, z , t , t
ZH
x xa, b, c, t a a x , y , z , t y xa, b, c, t b b x, y, z , t z z a, b, c, t c c x, y, z , t
Q
.Y .
ZH
AN G
df a, b, c, t dt
DF x, y , z , t υ F F Dt t
说明：
是由物理量非定常性造成的。
空间位置变化引起。 ·F 是位变导数, 表示在非均匀场(梯度F ), 空间位置变化引起 特例： 等F面运动, F, ·F =0。 =0 流体静止; (2) F 是均匀场, F =0 ; (3) 沿等F面方向, 即流体质点沿 (1) =0,










EXAMPLE 3.1.2 流场的速度分布为: ux=6xy+5xt, uy= –3 3y2 , uz=7xy2-5 5zt. 求流体在点(2,1,4) (2 1 4) 和时间t =3 时的速度、加速度。 解: 代入点(2,1,4)和时间t =3, 3, 得速度值为
Dυ x, y, z,t υ a x, , y, z, ,t υ υ Dt t
du x u x u x u x u x a x dt t u x x u y y u z z du y u y u y u y u y ux uz uy a y dt t x y z d z u z du u z u z u z ux uy uz a z dt t x y z