2021届甘肃省天水市第一中学高三上学期第一学段考试数学试题(理)(解析版)

甘肃省天水市第一中学2021届高三上学期第一学段考试
数学试题(理)
一、单选题（每小题5分，共60分）
1. 设集合{}1,0,1M =-，{}
2
N x x x =≤，则M
N =（ ）
A. {}0
B. {}0,1
C. {}1,1-
D. {}1,0,1-
『答案』B
『解析』由2x x ≤， 解得01x ≤≤， 则{|01}N x x =≤≤. 又{1,0,1}M
，
所以{0,1}M N ⋂=. 故选：B.
2. 已知函数2()1
x
f x x =
-，则下列结论正确的是（ ） A. 函数()f x 的图象关于点(1,2)中心对称 B. 函数()f x 在(,1)-∞上是增函数 C. 函数()f x 的图象关于直线x ＝1对称
D. 函数()f x 的图象上至少存在两点A ，B ，使得直线AB //x 轴 『答案』A
『解析』由题意22
()211
x f x x x =
=+--， 则该函数的图象可由函数2
y x
=
的图象向右平移一个单位，再向上平移两个单位得到，如图，
由图象可得：
函数()f x 的图象关于点(1,2)中心对称，故A 正确； 函数()f x 在(,1)-∞上是减函数，故B 错误； 函数()f x 的图象不关于直线x ＝1对称，故C 错误；
函数()f x 的图象上不存在两个点的纵坐标相同，所以不存在两点A ，B ，使得直线AB //x 轴，故D 错误. 故选：A.
3. 已知函数1()f x x
=的导函数为()'
f x ，若12()()''<f x f x ，则12,x x 的大小关系不可能为（ ） A. 120x x << B. 210x x << C. 120x x << D. 210x x <<
『答案』B
『解析』因为函数1()f x x
=， 所以21()f x x
'=-
， 所以()'
f x 在(),0-∞是增函数，在()0,+∞上是减函数， 当()12,0x x ∈-∞，时，因为12()()'
'
<f x f x ，
所以12x x <，
当()120,x x ∈+∞，时，因为12()()'
'
<f x f x ，
所以21x x <， 故选：B.
4. 已知2sin 1cos αα=+，其中α是第一象限角，则tan
2
α
=（ ）
A.
12
- B. 2 C.
12
D.
13
『答案』C
『解析』因为2sin 1cos αα=+，所以2
2
4sin cos
1cos sin 2
2
2
2
α
α
α
α
=+-，
所以2
2sin
cos
cos 2
2
2
α
α
α
=，
又α是第一象限角，所以cos
02
α
≠，
所以
2sin
cos
12
22cos 2α
α
α=即1tan 22α=. 故选：C.
5. 已知函数()()cos 20,2f x x πωϕωϕ⎛⎫
=+><
⎪⎝
⎭
的最小正周期为π，将其图象向右平移6
π
个单位后得函数()cos2g x x =的图象，则函数()f x 的图象（ ） A. 关于直线23x π=对称
B. 关于直线6
x π
=对称 C. 关于点2-03π⎛⎫ ⎪⎝⎭
，对称 D. 关于点5-
012π⎛⎫
⎪⎝⎭
，对称 『答案』D 『解析』由题意得
22π
πω
=，故1ω=， ∴()cos(2)f x x ϕ=+，
∴()cos[2()]cos(2)cos 26
3
g x x x x π
π
ϕϕ=-
+=-
+=，
∴3
π
ϕ=
，
∴()cos(2)3
f x x π
=+
．
∵2251(
)cos(2)cos 133332
f ππππ=⨯+==≠±，21()cos(2)cos 166332
f ππππ=⨯+==-≠±， ∴选项A,B 不正确． 又22()cos(2)cos()10333
f πππ
π-
=-⨯+=-=-≠， 55()cos(2)cos()0121232
f ππππ-
=-⨯+=-=， ∴选项C,不正确，选项D 正确．选D ．
6. Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)
()=
1e
t I K t --+，其
中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ ）（ln19≈3） A. 60 B. 63
C. 66
D. 69
『答案』C 『解析』
()()
0.23531t K
I t e
--=
+，所以()
(
)
0.2353
0.951t K I t K e
*
*--==+，则
(
)0.2353
19t e
*-=，
所以，(
)
0.2353ln193t *
-=≈，解得3
53660.23
t *
≈
+≈. 故选：C.
7. 已知在ABC 中，2
2tan tan A a B b
=，判断ABC 的形状为（ ）.
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 等腰或直角三角形
D. 等腰直角三角形
『答案』C
『解析』
22tan tan A a B b =，22sin cos sin sin cos sin A B A
B A B
∴=
cos sin cos sin B A A B
∴
=，sin cos sin cos A A B B ∴= sin 2sin 2A B ∴=
22A B ∴=或2+2=A B π A B ∴=或+=
2
A B π
ABC 是等腰或直角三角形
故选：C ．
8. 设a ，b 都是不等于1的正数，则“5a >5b ”是“log 5log 5a b <”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
『答案』D
『解析』因为,a b 都是不等于1的正数，
由5a >5b ，故可得1a b >>或10a b >>>或10a b >>>； 由log 5log 5a b <，
故可得01b a <<<或01a b <<<或1a b >> 显然充分性和必要性均不成立. 故选：D.
9. 若2233x y x y ---<-，则（ ） A ln(1)0y x -+> B. ln(1)0y x -+<
C. ln ||0x y ->
D. ln ||0x y -<
『答案』A
『解析』由2233x y x y ---<-得：2323x x y y ---<-， 令()23t
t
f t -=-，
2x y =为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，()f t ∴为R 上的增函数，
x y ∴<，
0y x ->，11y x ∴-+>，()ln 10y x ∴-+>，则A 正确，B 错误；
x y -与1的大小不确定，故CD 无法确定.
故选：A. 10. 若34
cos
,sin ,2525
θ
θ==则角θ的终边落在直线（ ）上 A. 2470x y -= B. 2470x y +=
C. 7240x y +=
D. 7240x y -=
『答案』B
『解析』由条件可知2
724
cos 2cos
1,sin 2sin cos 2
252225
θ
θθθθ=-=-
==， 24tan 7θ-=
．又24
tan 7
y x θ==-， 所以247x y =-，即2470x y +=. 故选：B ．
11. 已知函数()ln ||f x x =，2()g x mx =，若方程()()0f x g x -=在(,1][1,)x ∈-∞-⋃+∞有四个不同的解，则m 的取值范围为（ ） A. 1(0,
)2e
B. 1
(
,)2e
+∞ C. 1(0,)e
D. 1(,)e
+∞
『答案』A
『解析』因为函数()ln f x x =，()2
g x mx =都是偶函数，
所以方程()()0f x g x -=在]
[(),11,x ∈-∞-+∞有四个不同的解，
只需在[)1,+∞上，()()2
ln ,f x x g x mx ==的图象在两个不同的交点，
0m <不合题意，
当0m >时，20mx >，当()ln 01f x x x =>⇒>， 即交点横坐标在[)1,+∞上，
假定两函数的图象在点()00,P x y 处相切， 即两函数的图象在点()00,P x y 处有相同的切线，
则有()()1'2,'g x mx f x x ==，则有0
012mx x =，解得2
012x m
=， 则有()(
)2
0000111
,ln ln
222g x mx f x x m
==
===， 可得
111ln 222m =，则有
12e m
=，解得1
2m e =， 因为m 越小开口越大，
所以要使得()f x ，()g x 在[)1,+∞上，恰有两个不同的交点， 则a 的取值范围为10,
2e ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
， 此时，()()2
ln ,f x x g x mx ==的图象在][()
,11,-∞-⋃+∞四个不同的交点，
方程()()0f x g x -=在][(),11,x ∈-∞-+∞有四个不同的解，
所以a 的取值范围是10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 故选：A.
12. 已知函数2()ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，若不等式
()()()12122f x f x x x t +>++有解，则t 的取值范围是（ ）
A. (,2ln 2)-∞-
B. (],2ln 2-∞-
C. (,112ln 2)-∞-+
D. (],112ln 2-∞-+
『答案』C
『解析』由题可得：221
()ax x f x x
-+='（0x >），
因为函数2
()ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，
所以方程2210ax x -+=有两个不相等的正实数根，
于是有1212180,10,210,2a x x a x x a ⎧
⎪∆=->⎪
⎪+=>⎨⎪
⎪=>⎪⎩
解得108a <<. 若不等式()()()12122f x f x x x t +>++有解， 所以()()()1212max 2t f x f x x x <+-+⎡⎤⎣⎦
因为()()()12122f x f x x x +-+()2
2
11122212ln ln 2ax x x ax x x x x =-++-+-+
()()()2
1212121223ln a x x x x x x x x ⎡⎤=+--++⎣⎦51ln(2)4a a
=---.
设51()1ln(2)048h a a a a ⎛
⎫=-
--<< ⎪⎝
⎭， 2
54()04a h a a -'=
>，故()h a 在10,8⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递增，
故1()112ln 28h a h ⎛⎫<=-+ ⎪⎝⎭
， 所以112ln 2t <-+，
所以t 的取值范围是(,112ln 2)-∞-+. 故选：C.
二、填空题（每小题5分，共20分） 13. 命题“0x ∃∈R ，0
0e
x x <”的否定是_______________.
『答案』x ∀∈R ，e x x ≥ 『解析』命题“0x ∃∈R ，0
0e
x x <”为特称命题，该命题的否定为“x ∀∈R ，e x x ≥”.
故答案为：x ∀∈R ，e x x ≥.
14. 曲线sin (0)y x x π=≤≤与直线1
2
y =
围成的封闭图形的面积为__________.
『答案』－
『解析』做出如图所示：，可知交点为
151
,,,
6262
ππ
⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，因此封闭图形面积为
：5
5
6
6
6
6
11
sin cos|
223
S x dx x x
π
π
π
π
π
⎛⎫
=-=-=
⎪
⎝⎭
⎰.
15. 曲线2ln
y x x
=+在点()
1,b处的切线方程与直线10
ax y
--=垂直，则a b
+=______．『答案』
2
3
『解析』∵()
1,b是2ln
y x x
=+的点，则1
b=，
1
2
y x
x
'=+，显然在点()
1,b处的斜率3
k=，则切线方程为32
y x
=-，
∵直线32
y x
=-与直线1
y ax
=-垂直，则31
a=-，显然
1
3
a=-，
则
12
1
33
a b
+=-=，
故答案为：
2
3
．
16. 设x、y是常数，且满足
()()
()()
3
3
1201811
1201811
x x
y y
⎧-+-=-
⎪
⎨
-+-=
⎪⎩
，则x y
+的值是________.
『答案』2
『解析』构造函数()32018
f x x x
=+，该函数的定义域为R，
且()()()()
33
20182018
f x x x x x f x
-=-+⋅-=--=-，
则函数()32018
f x x x
=+为奇函数，且在定义域R为增函数.
由()()()()3
3
12018111201811
x x y y ⎧-+-=-⎪
⎨-+-=⎪⎩，可得()()1111f x f y ⎧-=-⎪⎨-=⎪⎩，()()()111f x f y f y ∴-=--=-， 11x y ∴-=-，因此，2x y +=.
故答案
2.
三、解答题（第17题10分；第18--22题每小题12分，共70分） 17. 已知函数()(
)2
2sin cos f x x x x =++（1）求它的单调递增区间； （2）若0,
2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，求此函数的值域. 解：（1）(
))
2
1sin 22cos 1f x x x =+-
1sin 212sin 23x x x π⎛
⎫=++=++ ⎪⎝
⎭
由222232k x k π
π
π
ππ-
+≤+
≤
+，
得51212
k x k ππ
ππ-+≤≤+，k Z ∈. 故此函数
单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤
-
++⎢⎥⎣⎦
（k Z ∈）.
（2）由02
x π
<<
，得
42333
x πππ
<+<. sin 23y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭的值域为⎛⎤ ⎥⎝⎦
.
()12sin 23f x x π⎛
⎫=++ ⎪⎝⎭
的值域为(
1⎤⎦， 故此函数的值域为(
1⎤-⎦
18. 已知等差数列{}n a 满足636a a =+，且31a -是21a -，4a 等比中项.
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()*1
1
n n n b n N a a +=
∈.求数列{}n b 的前n 项和n T . 的
解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，∵6336a a d -==，即2d =，
3113a a ∴-=+，2111a a -=+，416a a =+，
∴3113a a -=+，2111a a -=+，416a a =+， ∵31a -是21a -，4a 的等比中项，
∴()()2
32411a a a -=-⋅，即()()()2
111+3=16a a a ++，解得13a = ∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =+ （2）由（1）得()()111111212322123n n n b a a n n n n +⎛⎫
=
==- ⎪++++⎝⎭
∴1212
n n T b b b =++⋅⋅⋅+=
1111
113557
2123n n ⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+- ⎪++⎝⎭
()
1112323323n
n n ⎛⎫=-= ⎪
++⎝⎭。

19. △ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2b sin A
a cos B +a sin B ． （1）求B ；
（2）设b ＝
，a ＝4，D 为线段BC 上一点，若S △ABD
＝2
，求AD 的长． 解：（1）因为2b sin A
a cos B +a sin B ,
所以2sin sin sin cos sin sin B A A B A B =
+,
sin sin cos B A A B =,
sin 0A
≠tan B =()0,B π∈
3
B π
=
（2）在△ABC 中，由余弦定理得：
2222cos b a c ac B =+-，
解得6c =或2c =-（舍去），
因为S △ABD ＝
1sin 2⨯⨯=
BD c B ， 解得 3BD =，
在△ABD 中，由余弦定理得：2222cos 27AD BD c BD c B =+-⨯⨯⨯=，
解得AD =
20. 在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，我市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励学生线上学习．某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，对高三年级随机选取45名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于5小时的有19人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不少于120分的有10人，统计成绩后得到如下22⨯列联表：
（1）请完成上面22⨯列联表；并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；
（2）在上述样本中从分数不少于120分的学生中，按照分层抽样的方法，抽到线上学习时间不少于5小时和线上学习时间不足5小时的学生共5名，若在这5名学生中随机抽取2人，其中每周线上学习时间不足5小时的人数为X ，求X 的分布列及其数学期望． （下面的临界值表供参考）
（参考公式()()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=++++其中n a b c d =+++）
解：（1）
∵()2
24515161047.29 6.63525201926
K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯
∴有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关” （2）依题意，抽到线上学习时间不少于5小时的学生15
5325
⨯=人，线上学习时间不足5小时的学生2人，所以X 的取值为0，1，2 X 的分布列为
所以X 的期望()36140121010105E X =⨯+⨯+⨯= 21. 设()13
ln 122
f x a x x x =+
-+曲线()y f x =在点()()1,1f 处取得极值. （1）求a 的值；
（2）求函数()f x 的单调区间和极值. 解：（1）因为()13ln 122f x a x x x =+
-+，故可得()213
22
a f x x x '=--， 又因为()10f '=，故可得20a -=，解得2a =. （2）由（1）可知，
()()()()2
31113
21,222x x f x lnx x f x x x
--=+-+-'=，
令()0f x '=，解得121
,13
x x =
=， 又因为函数定义域为()0,+∞，
故可得()f x 在区间10,?3⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,+∞单调递减，在区间1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭
单调递增.
故()f x 的极大值为()10f =；()f x 的极小值为12233f ln ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
.
22. 已知函数()sin f x x x =，(0,)x π∈，()'f x 为()f x 的导数，且()()g x f x '=.证明：
()1()g x 在22,
3
π
⎛⎫
⎪⎝
⎭
内有唯一零点； ()
2()2f x .
（参考数据：sin 20.9903≈，cos20.4161≈-，tan 2 2.1850≈- 1.4142≈， 3.14π≈.） 解：（1）由题意，函数()sin f x x x =，则()sin cos f x x x x '=+
所以()()
'g x f x xcosx sinx ==+， 当0,
2x π⎛
⎤
∈ ⎥⎝
⎦
时，可得()0g x >，即()g x 在0,
2x π⎛⎤
∈ ⎥⎝
⎦
内没有零点，
当,2x ππ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
时，()2sin g x cosx x x '=-， 因为cos 0,sin 0x x x <>，所以()'0g x <，所以()g x 在,2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减，
又()()22tan 220g cos =+>，且2033g π
π⎛⎫=-+<
⎪
⎝⎭
， 所以()g x 在22,3π⎛⎫
⎪⎝⎭
内有唯一零点t .
（2）由（1）得，当,()0x t ∈时，()0g x >，所以()'0f x >，即()f x 单调递增； 当,()x t π∈时，()0g x <，所以()0f x <，即()f x 单调递减， 即()f x 的最大值为()f t tsint =，
由()cos 0f t t t sint '=+=得t tant =-，所以()f t tant sint =-，
因此()2sin 2cos 2cos t t f t t ---=2cos 2cos 1cos t t t --=()2
cos 12
cos t t
--=
， 因为22,
3
t π⎛
⎫∈ ⎪⎝
⎭，所以1,cos 22cost ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
从而()222
212 1.4160(1)cos --=-->，即
()2
cos 120cos t t
--<，
所以()20f t -<，故()2f x <.。