高中数学 必修二 同步练习 专题3.3.1 两条直线的交点坐标(解析版)

一、选择题
1．直线1:0l x y -=与2:20l x y +-=的交点坐标为 A ．()2,2-- B ．()1,1-- C ．()2,2
D ．()1,1
【答案】D
【解析】联立直线1l 与2l 的方程为0
20x y x y -=⎧⎨+-=⎩
，解得1,1x y ==，故选D.
【名师点睛】联立直线方程组成的二元一次方程组的解即为直线的交点坐标. 2．两直线2x ＋3y −k =0和x −ky ＋12=0的交点在y 轴上，那么k 的值为 A ．−24 B ．6 C ．±6
D ．24
【答案】C
3．方程(a −1)x −y ＋2a ＋1=0(a ∈R )所表示的直线 A ．恒过定点(−2,3) B ．恒过定点(2,3) C ．恒过点(−2,3)和点(2,3)
D ．都是平行直线
【答案】A
【解析】将直线(a −1)x −y ＋2a ＋1=0化为ax −x −y ＋2a ＋1=0，因此−x −y ＋1＋a (x ＋2)=0.
由1020x y x --+=⎧⎨+=⎩，得23x y =-⎧⎨
=⎩
. 故方程(a −1)x −y ＋2a ＋1=0(a ∈R )所表示的直线恒过定点(−2,3).
4．直线420ax y +-=与直线250x y b -+=垂直，垂足为()1,c ，则a b c ++= A ．2-
B ．4-
C ．6-
D ．8-
【答案】B
【名师点睛】本题考查两直线的位置关系及其应用，考查学生的应用意识及运算能力，解题的关键是灵活运用所学知识解题，即明确点()1,c 是两直线的交点．根据两直线垂直可得a ，然后将点()1,c 的坐标代入直线420ax y +-=可得c ，同理可得b ，于是可得a b c ++的值．
5．若直线1l :y =kx +k+2与直线2l :y =−2x +4的交点在第一象限内，则实数k 的取值范围是 A ．23
k >-
B ．2k <
C ．2
23k -
<<
D ．2
3
k <-
或2k > 【答案】C
【解析】由题意知，直线1l 恒过定点P (−1,2)，斜率为k ,直线2l 与x 轴、y 轴分别交于点A (2,0)、B (0,4)，若直线1l 与2l 的交点在第一象限内，则1l 必通过线段AB 上的点(不包括A 、B )，由于2
3
PA k =-,2PB k =,所以2
23
k -
<<.故选C. 6．若三条直线2380x y ++=，10x y --=与0x ky +=交于一点，则k = A ．−2
B ．2
C ．1
2-
D ．
12
【答案】C
【解析】两方程联立可得交点坐标为：()1,2--，代入第三条直线方程：120k --=，解得12
k =-. 故选C.
【名师点睛】本题考查直线的交点，只需要联立方程即可求出交点，本题可将任意两条直线联立求交点
坐标或其表达式，再代入另一条直线的方程即可，注意计算的准确性. 7．过两直线3x ＋y −1=0与x ＋2y −7=0的交点且与第一条直线垂直的直线方程是 A ．x −3y ＋7=0 B ．x −3y ＋13=0 C ．3x −y ＋7=0
D ．3x −y −5=0
【答案】B 【解析】由310270x y x y +-=⎧⎨
+-=⎩，得1
4x y =-⎧⎨=⎩
，即交点为(−1,4)．∵第一条直线的斜率为−3，且与所求直线垂
直，∴所求直线的斜率为1
3.∴由点斜式方程得所求直线方程是y −4=13
(x ＋1)，即x −3y ＋13=0. 8．若直线:3l y kx =-与直线2360x y +-=的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角θ的取值范围是
A ．π
06θ<< B ．
ππ62θ<< C ．π
03
θ<<
D ．ππ32
θ<<
【答案】B
【名师点睛】此题考查学生会根据两直线的方程求出交点的坐标，掌握象限点坐标的特点，掌握直线倾斜角与直线斜率的关系，是一道综合题．联立两直线方程得到一个二元一次方程组，求出方程组的解集即可得到交点的坐标，根据交点在第一象限得到横纵坐标都大于0，联立得到关于k 的不等式组，求出不等式组的解集即可得到k 的范围，然后根据直线的倾斜角的正切值等于斜率k ，根据直线倾斜角与直
线斜率的关系得到倾斜角的范围．
二、填空题
9．若直线，，能构成三角形，则的取值范围是_________．
【答案】
10．已知直线l1：2x＋y−6=0和点A(1，−1)，过A点作直线l与已知直线l1相交于B点，且使|AB|=5，则直线l的方程为__________．
【答案】x=1或3x＋4y＋1=0.
【解析】若直线l与x轴垂直，则l的方程为x=1，
由
1
260
x
x y
=
⎧
⎨
+-=
⎩
，得B点坐标为(1,4)，此时|AB|=5，∴x=1即为所求；
当直线l不与x轴垂直时，可设其方程为y＋1=k(x−1)．
解方程组
260
1(1)
x y
y k x
+-=
⎧
⎨
+=-
⎩
，得交点
742
(,)(2)
22
k k
B k
k k
+-
≠-
++
．
22
742
(1)(1)5
22
k k
k k
+-
-++=
++
，解得
3
4
k=-.∴
3
1(1)
4
y x
+=--，即3x＋4y＋1=0.
综上可得，所求直线l的方程为x=1或3x＋4y＋1=0.
三、解答题
11．求过直线2x−y+2=0和x+y+1=0的交点，且斜率为3的直线方程．
【解析】方法一：解方程组
220
10
x y
x y
-+=
⎧
⎨
++=
⎩
,得
1
x
y
=-
⎧
⎨
=
⎩
,所以两直线的交点坐标为(−1,0)，又所求直线的
斜率为3，
故所求直线的方程为y−0=3[x− (−1)],即3x−y+3=0.
方法二：设所求直线为l ,因为l 过已知两直线的交点，因此l 的方程可设为2x −y +2+λ(x+y +1)=0(其中λ为常数)，即(λ+2)x +(λ−1)y +λ+2=0 ①, 又直线l 的斜率为3，所以231λλ+-=-,解得1
4
λ=, 将1
4
λ=
代入①，整理得3x −y +3=0. 12．已知点M (3,5)，在直线l ：x －2y ＋2＝0和y 轴上各找一点P 和Q ，使△MPQ 的周长最小．
13．已知直线l 1：3x +4y ﹣2=0，l 2：2x +y +2=0相交于点P ．
（1）求点P 的坐标；
（2）求过点P 且与直线x ﹣2y ﹣1=0垂直的直线l 的方程． 【解析】（1）由
，解得
，
∴两条直线的交点P 的坐标为（﹣2，2）． （2）因为直线x ﹣2y ﹣1=0的斜率为， 所以要求的直线l 的斜率为﹣2，
故要求的直线l 的方程为y ﹣2=﹣2（x +2），即直线l 的方程为2x +y +2=0．
【名师点睛】本题主要考查求两条直线的交点坐标，两条直线垂直的性质，用点斜式求直线的方程，属于基础题．
（1）把两条直线的方程联立得方程组，求得该方程组的解，即可求得交点P 的坐标． （2）利用两条直线垂直的性质求得直线l 的斜率，再用点斜式求出直线l 的方程． 14．已知两点()2,1A -，()4,3B ，两直线1l ：2310x y --=，2l ：10x y --=．求：
（1）过点A 且与直线1l 平行的直线方程；
（2）过线段AB 的中点以及直线1l 与2l 的交点的直线方程．
【解析】（1）设与1l ：2310x y --=平行的直线方程为：230x y c -+=， 将()2,1A -代入，得430c --+=，解得7c =， 故所求直线方程是：2370x y -+=．
【思路点拨】（1）设所求直线方程为：230x y c -+=，将A 点坐标代入，求得c 的值，即得所求. （2）求得AB 中点坐标和直线12,l l 交点的坐标，利用点斜式得到所求直线方程. 15．设直线1:10l x y +-=，2:220l x y -+=，3:360l x my +-=．
（1）若直线1l ，2l ，3l 交于同一点，求m 的值； （2）若直线l 与直线1l 关于直线2l 对称，求直线l 的方程.
【解析】（1）100
2201x y x x y y +-==⎧⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩
，
3060m ∴⨯+-=，
6m ∴=.
（2）在直线1:10l x y +-=上取点A （1,0），设其关于直线2l 的对称点为B （x ,y ），
01
112
12202
2y x x y -⎧⨯=-⎪⎪-∴⎨+⎪-⨯+=⎪⎩，
15125x y ⎧=-⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩
.
故()12
15:10710105
l y x x y --=-⇒+-=--. 即直线l 的方程为710x y +-=.
【思路分析】（1）先求1l ，2l 的交点，再代入3l 即得m 的值；
（2）直线l 必过1l ，2l 交点，再在直线1l 上取一点A ，求其关于直线2l 的对称点B ，则B 在直线l 上，最后根据两点式求直线l 的方程.。