2009年宁波某区某校自主招生数学试卷

2009年宁波某区某校自主招生数学试卷
一、填空题（每小题3分，共18分）
1、因式分解 32
21218a a a -+= ．
2、一个锐角的正切值为2，那么这个锐角的正弦值为 ．
3、数轴上点A 与B 的距离为5，点A 表示-3，则点B 表示的数是 ．
4、如图，△ABC 中∠BAC=90°，D 、E 在BC 上，AC=DC ，AB=EB ，∠DAE= 度．
5、如图，湖边有一个高30米的塔AD ，在塔上看见湖面上空有一只热汽球B ，仰角45º，观测热气球在湖面镜像C 的俯角为60º，则热气球距湖面的高度为 米．
6、已知a 、b 、c 是正整数，a ＜b ＜c ，且有13111210
a b c ++=，那么满足条件的数组(a ，b ，c)有 组．
二、选择题（每小题3分，共18分）
7、已知二次函数91232
-+-=x x y ，那么y 的最大值是 （ ）
A ．0
B ．-9
C ．3
D ．12
8、如图，半径为8的⊙O 剪去一个直角扇形，剩下的部分围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面半径等于 （ ）
A ．6
B ．8
C ．10
D ．12
9、如图Rt △ABC 中，∠C=90°,AC=8，BC=6，∠A 和∠B 的平分线交于D ，则D 到AB 的距离DE 的长是 （ ）
A ．2
B ．2.5
C ．3
D ．3.5
10、如图，将一张矩形纸片按如下方法折叠，那么∠BGA 的度数是 （ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．75°
11、有下列4个命题：
①两个直角三角形有一个锐角和一条直角边相等，那么这两个三角形全等；
②两个三角形有两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形全等；
③两个三角形有三个角和两条边分别相等，那么这两个三角形全等；
④两个三角形有两边和其中一边的对角对应相等，那么这两个三角形一定有全等和不全等两种情况． 其中假命题的个数是 （ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
（第4题） （第5题） （第9题）
（第8题）
12、已知x m =是方程01322=--x x 的根，则代数式22
2(21)39
m m --的值是 （ ） A ．1 B ．2 C
．3+ D
．3三、解答题（13～15每题6分，16、17每题8分，18题10分，共44分）
13、解方程 21212111
1x x x x x +--=+-+-．
14、某建筑商为建一个高档商品房，需要进大批量的砖.确定砖好坏的指标是抗冲击强度，建房时要求每
块砖的抗冲击强度尽可能的大，否则可能因为一块砖的质量影响整幢房子的质量.现有甲、乙两家砖瓦厂各10块砖的抗冲击强度如下表：（单位：kg ）
（1） 请把上表填写完整；
（2） 为了保证商品房的质量，这个建筑商会在甲、乙两家砖瓦厂中选哪一家厂的砖？为什么？
15、某草莓种植农户，用暖棚种了冬季草莓。

元旦那天，该农户采摘了暖棚里所有草莓共1200千克，等待一次性出售。

而这一天的草莓收购单价为8元/千克，因春节临近，预测草莓的收购单价每天上升1角。

但在等待出售的日子里，草莓每天减少10千克。

设出售日是元旦后的第x 天，出售时的单价为p 元/千克，草莓总质量为q 百千克，出售收入为y 百元。

（1）直接写出p 关于x 、q 关于x 的函数解析式；
（2）预测元旦后的第几天出售草莓，出售收入最大？最大出售收入为多少？
16、如图，AB 是⊙O 的直径，C 在⊙O 上，AC=3，BC=4，D 在AB 上，且D 、C 在AB 异侧，过C 作CE ⊥CD 交DB 延长线于E ，求CE 的最大值．
A
17、如图，抛物线C 1：214112
y x x =-+和抛物线C 2：2y ax bx c =++．抛物线C 2的顶点是A(4,1.5)，且过点(0,9.5) ．
（1）求抛物线C 2的解析式；
（2）过A 点作x 轴的垂线，垂足为P ，交抛物线C 1于D ．过Q(a ,0) 作x 轴的垂线，分别交抛物线C 1、C 2于C 、B ，求证：四边形ABCD 是平行四边形．
18、如图1，等边三角形中，边长为4，沿中线将它剪开，拼成□ABCD ，对角线AC 、BD 交于O ，过点O 作直线，交一组对边于E 、F 。

（1）当E 在AB 上，且EF=AC 时，求BE 的长；
（2）直接写出EF 长的取值范围 ；
（3）EF 的长为整数值的位置有 处；
（4）如图2，若原来剪开的线不是中线，最后拼成的四边形就不是平行四边形了，这个例子可以作为说明命题 是假命题的反例（如果命题的条件缺少不给分）．
(图2)
(图
1)
答案
一、填空题（每小题3分，共18分）
1、因式分解 3221218a a a -+= 2a(a-3)2 ．
2、一个锐角的正切值为2，那么这个锐角的正弦值为
3、数轴上点A 与B 的距离为5，点A 表示-3，则点B 表示的数是 2或-8 ．
4、如图，△ABC 中∠BAC=90°，D 、E 在BC 上，AC=DC ，AB=EB ，∠DAE= 45 度．
5、如图，湖边有一个高30米的塔AD ，在塔上看见湖面上空有一只热汽球B ，仰角45º，观测热气球在湖面镜像C 的俯角为60
º，则热气球距湖面的高度为60米．
6、已知a 、b 、c 是正整数，a ＜b ＜c ，且有13111210
a b c ++=，那么满足条件的数组(a ，b ，c)有 3 组．（在210的约数中，相加得13的只有1,2,10;1,5,7;2,5,6三种）
二、选择题（每小题3分，共18分）
7、已知二次函数91232
-+-=x x y ，那么y 的最大值是 （ B ）
A ．12
B ．3
C ．0
D ．-9
8、如图，半径为8的⊙O 剪去一个直角扇形，剩下的部分围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面半径等于 （ A ）
A ．6
B ．8
C ．10
D ．12
9、如图Rt △ABC 中，∠C=90°,AC=8，BC=6，∠A 和∠B 的平分线交于D ，则D 到AB 的距离DE 的长是 （ A ）
A ．2
B ．2.5
C ．3
D ．3.5
10、如图，将一张矩形纸片按如下方法折叠，那么∠BGA 的度数是 （ C ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．75°
11、有下列4个命题：
①两个直角三角形有一个锐角和一条直角边相等，那么这两个三角形全等；
②两个三角形有两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形全等；
③两个三角形有三个角和两条边分别相等，那么这两个三角形全等；
④两个三角形有两边和其中一边的对角对应相等，那么这两个三角形一定有全等和不全等两种情况． 其中假命题的个数是 （ D ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
（第4题） （第5题） （第9题）
（第8题）
12、已知x m =是方程01322=--x x 的根，则代数式22
2(21)39
m m --的值是 （ C ） A
．3+ B
．3 C ．1 D ．2
三、解答题（13～15每题6分，16、17每题8分，18题10分，共44分）
13、解方程 212121111
x x x x x +--=+-+-． 解：去分母，得(x+1)2-(2x-1)=x 2-1+2(x-1)…………………………（2分） 化简，得52
x = …………………………（4分） 经检验 52
x =是原方程的根 …………………………（6分）
14、某建筑商为建一个高档商品房，需要进大批量的砖.确定砖好坏的指标是抗冲击强度，建房时要求每
块砖的抗冲击强度尽可能的大，否则可能因为一块砖的质量影响整幢房子的质量.现有甲、乙两家砖瓦厂各10块砖的抗冲击强度如下表：（单位：kg ）
解：（1）请把上表填写完整；（每空1分）
（2）为了保证商品房的质量，这个建筑商会在甲、乙两家砖瓦厂中选哪一家厂的砖？为什么？
答：甲、乙两家砖瓦厂中选 乙 厂， …………………………（4分）
理由是：乙厂的平均数高于甲厂，说明砖的抗冲击强度总体是乙好。

……………（5分）
乙厂的标准差低于于甲厂，说明乙厂砖的抗冲击强度比较稳定。

………（6分）
15、某草莓种植农户，用暖棚种了冬季草莓。

元旦那天，该农户采摘了暖棚里所有草莓共1200千克，等待一次性出售。

而这一天的草莓收购单价为8元/千克，因春节临近，预测草莓的收购单价每天上升1角。

但在等待出售的日子里，草莓每天减少10千克。

设出售日是元旦后的第x 天，出售时的单价为p 元/千克，草莓总质量为q 百千克，出售收入为y 百元。

（1）直接写出p 关于x 、q 关于x 的函数解析式；
（2）预测元旦后的第几天出售草莓，出售收入最大？最大出售收入为多少？
解：
（1）p=8+0.1x ， q=12-0.1x ………………………………（2分）
（2）y=(8+0.1x)(12-0.1x) ………………………………（4分）
∴y=96+0.4x-0.01x 2= -0.01(x-20)2+100
∴预测元旦后的第20天出售草莓，出售收入最大.最大出售收入为1万元. ………（6分）
16、如图，AB 是⊙O 的直径，C 在⊙O 上，AC=3，BC=4，D 在AB 上，且D 、C 在AB 异侧，过C 作CE ⊥CD 交DB 延长线于E ，求CE 的最大值．
A
解：∵AB 是直径，∴∠ACB=90°，
∵AC=3，BC=4，∴AB=5， ……………………………………（2分）
∵∠A=∠D ，∠ACB=∠DCE=90°，
∴△ABC ∽△DEC ……………………………………（4分）
∴不论D 点位置如何，△DEC 的形状不会改变，
∴当DC 为直径时CE 最大， ……………………………………（6分） ∵DC CE AC CB =,534
CE =，∴CE=203 ……………………………………（8分）
17、如图，抛物线C 1：214112
y x x =-+和抛物线C 2：2y ax bx c =++．抛物线C 2的顶点是A(4,1.5)，且过点(0,9.5) ．
（1）求抛物线C 2的解析式；
（2）过A 点作x 轴的垂线，垂足为P ，交抛物线C 1于D ．过Q(a ,0) 作x 轴的垂线，分别交抛物线C 1、C 2于C 、B ，求证：四边形ABCD 是平行四边形．
解：（1）设2
(4) 1.5y a x =-+，将（0，9.5）代入，得 12
a =，∴抛物线C 2的解析式是21(4) 1.52y x =-+（4分） （2）∵抛物线C 1：21(4)32
y x =-+向下平移1.5个单位可得抛物线C 2 …………………………………………（6分） ∴AD 与BC 平行且相等 ∴四边形ABCD 是平行四边形， …………………（8分）
18、如图1，等边三角形中，边长为4，沿中线将它剪开，拼成□ABCD ，对角线AC 、BD 交于O ，过点O 作直线，交一组对边于E 、F 。

（1）当E 在AB 上，且EF=AC 时，求BE 的长；
（2）直接写出EF
（6分）
（3）EF 的长为整数值的位置有 8 处；（8分）
（4）如图2
，若原来剪开的线不是中线，最后拼成的四边形就不是平行四边形了，这个例子可以作为说明命题 一组对角相等，另一组对边相等的四边形是平行四边形 是假命题的反例（如果命题的条件缺少不给分）．（10分）
(图1)
(图2)
解：
（1）如图，连结AF、CE，
∵□ABCD，∴OD=OB，AB∥CD，
∴∠ODF=∠OBE，
∵∠DOF=∠BOE，
∴△DOF≌△BOE，
∴OE=OF，
∵OA=OC，
∴四边形AECF为平行四边形，
∵EF=AC，
∴□AECF为矩形，………………………………………………（2分）∴CE⊥AB，
∵BC=2，∠ABC=60°，
∴BE=1. ……………………………………………………………（4分）。