【精编文档】辽宁省本溪市本溪一中2018-2019学年高三数学5月月考试卷理.doc

精品 教育 试卷 习题 文档
1 2018-2019学年下学期高三5月月考
理科数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答
案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在
试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．[2019·宣城二调]复数i 51i -+（i 是虚数单位）的虚部是（
）
A ．3i
B ．6i
C ．3
D ．6
2．[2019·银川质检]已知集合{}1,2,3A =，集合{},,B z z x y x A y A ==-∈∈，则集合B 中元素的个数为（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
3．[2019·榆林二模]某工厂利用随机数表对产生的600个零件进行抽样测试，先将600
个零件进行编号，编号分别为001，002，…，599，600．从中抽取60个样本，下图提
供随机数表的第4行到第6行；
328432 214256 184256 345308 293143 783467 643467 568653 070755 353677 522534 423089 060794 443283 388575 122322 234553 437855 568978 77
0732
352345 786877 909689 560823 42
0445
若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第6个样本编号是（ ） A ．522 B ．324 C ．535 D ．578 4．[2019·南阳一中]在等差数列{}n a 中，若351024a a a ++=，则13S =（ ） A ．13 B ．14 C ．15 D ．16 5．[2019·东北三校]已知π1cos 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πsin 26α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．79- B ．79 C ．89 D ．89- 6．[2019·淮北一中]已知()21=--,a ，()λ1=,b ，若a 与b 的夹角α为钝角，则λ的取值范围为（ ） A ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B ．()1,22,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ C ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ D ．()22-, 7．[2019·南开一模]函数()f x 是奇函数，且在()0,+∞内是增函数，()30f -=，则不等式()0xf x <的解集为（ ） A ．()()3,03,-+∞ B ．()(),30,3-∞- C ．()(),33,-∞-+∞ D ．()()3,00,3- 8．[2019·南昌外国语]正四棱锥V ABCD -的五个顶点在同一个球面上，若其底面边长为4
，侧棱长为 ） A
． B ．36π C
． D ．9π2 9．[2019·合肥质检] “垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等．某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n 件．已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的910．若这堆货物总价是910020010n ⎛⎫- ⎪⎝⎭万元，则n 的值为（ ）
此卷只装订不密封
班级
姓名
准考
证号
考
场号
座位
号
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2
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
10．[2019·启东中学]若椭圆2
2
12516x y +=和双曲线22
145x y -=的共同焦点为1F ，2F ，P 是两曲线的一个交点，则12PF PF ⋅的值为（ ）
A ．21
2 B ．84 C ．
3 D ．21
11．[2019·大兴一模]某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为（ ）
A
B
．C ．3 D
．12．[2019·济南模拟]设1F ，2F 分别是椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的左、右焦点，过2F 的
直线交椭圆于A ，B 两点，且120AF AF ⋅=，222AF F B =，则椭圆E 的离心率为（ ）
A ．23
B ．34 C
D
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．[2019·黄山质检]若整数．．x ，y 满足不等式组02
2020x x y x y ≤≤⎧⎪+->⎨⎪-+>⎩，则y z x =的最小值为____
．
14．[2019·奋斗中学]阅读程序框图，如果输出的函数值在区间11,42⎡⎤
⎢⎥⎣⎦内，则输入的实
数x 的取值范围是_______．
15．[2019·福建毕业]某校在科技文化艺术节上举行纸飞机大赛，A ，B ，C ，D ，E 五个团队获得了前五名．发奖前，老师让他们各自选择两个团队，猜一猜其名次： A 团队说：C 第一，B 第二； B 团队说：A 第三，D 第四； C 团队说：E 第四，D 第五； D 团队说：B 第三，C 第五； E 团队说：A 第一，E 第四． 如果实际上每个名次都有人猜对，则获得第五名的是__________团队． 16．[2019·虹口二模]若函数()()4f x x x a a =--∈R 有3个零点，则实数a 的取值范围是________． 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）[2019·抚顺一模]已知a ，b ，c 分别是ABC △的三个内角A ，B ，C 的对边，若10a =，角B 是最小的内角，且34sin 3cos c a B b A =+． （1）求sin B 的值； （2）若14c =，求b 的值．
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3
18．（12分）[2019·六盘水中学]某糕点房推出一类新品蛋糕，该蛋糕的成本价为4元，售价为8元．受保质期的影响，当天没有销售完的部分只能销毁．经过长期的调研，统计了一下该新品的日需求量．现将近期一个月(30天)的需求量展示如下：
（1）从这30天中任取两天，求两天的日需求量均为40个的概率；
（2）以表中的频率作为概率，根据分布列求出该糕点房一天制作35个该类蛋糕时，对应的利润的期望值()320
3E X =；现有员工建议扩大生产一天45个，试列出生产45个时，
利润Y 的分布列并求出期望()E Y ，并以此判断此建议该不该被采纳．
19．（12分）[2019·南开一模]如图，在三棱锥S ABC -中，SA ABC ⊥底面
，2AC AB SA ===，AC AB ⊥，D ，E 分别是AC ，BC 的中点，F 在SE 上且2SF FE =． （1）求证：AF SBC ⊥平面； （2）求直线SA 与平面SBD 所成角的正弦值； （3）在线段DE 上是否存在点G ，使二面角G AF E --的大小为30︒？若存在，求出DG 的长；若不存在，请说明理由．
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20．（12分）[2019·张家口期末]以P 为圆心的动圆经过点()1,0F ，并且与直线1x =-相切．
（1）求点P 的轨迹C 的方程；
（2）若A ，B ，C ，D 是曲线C 上的四个点，AB CD ⊥，并且AB ，CD 相交于点F ，直线AB 的倾斜角为锐角．若四边形ABCD 的面积为36，求直线AB 的方程．
21．（12分）[2019·桂林一模]已知函数()21
ln 2f x ax x x x =-+，a ∈R ． （1）若1e
a =-，讨论函数()f x 在其定义域上的单调性； （2）若()f x 在其定义域上恰有两个零点，求a 的取值范围．
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5
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
[2019·黄山质检]设极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，曲线C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨
=⎩
（α是参数），直线l
的极坐标方程为sin cos 1θρθ-+=． （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的参数方程；
（2）设点()1,P m ，若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，且8PA PB =
，求m 的值﹒
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】
[2019·抚顺一模]已知函数()1f x x a x a
=++-
． （1）当1a =时，解不等式()5f x ≥；
（2）若x ∀∈R ，()1f x m ≥-恒成立，求实数m 的取值范围．
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1 2018-2019学年下学期高三5月月考
理科数学答案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．【答案】C 【解析】复数()()
()()i 51i i 523i 1i 1i 1i ---==-+++-．复数i 5
1i -+（i 是虚数单位）的虚部是3．故选C ．
2．【答案】B
【解析】∵{}1,2,3A =，{},,B z z x y x A y A ==-∈∈，∴1,2,3x =，1,2,3y =，
当1x =时，0,1,2x y -=--，当2x =时，1,0,1x y -=-，当3x =时，2,1,0x y -=， 即2,1,0,1,2x y -=--，即{}2,1,0,1,2B =--共有5个元素，故选B ．
3．【答案】D
【解析】从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，开始的数为608不合适，436合适，767不合适，535，577，348合适，994，837不合适，522合适，535与前面的数字重复，不合适，578合适．
则满足条件的6个编号为436，535，577，348，522，578，则第6个编号为578．故选
D ．
4．【答案】A
【解析】∵数列是{}n a 是等差数列，设首项为1a ，公差为d ，
∴351024a a a ++=可转化为14244a d +=，即161a d +=， ∴()13111312
13136132S a d a d ⨯=+=+=，故选A ．
5．【答案】B 【解析】∵π
1
cos 63α⎛⎫
+= ⎪⎝⎭， ∴2πππππ7
sin 2cos 2cos 212cos 662369αααα⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--+=-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选B ．
6．【答案】B
【解析】2λ1⋅=--a b ；∵a ，b 的夹角为钝角；∴0⋅<a b ，且a ，b 不平行； ∴2λ102λ0--<⎧⎨-+≠⎩；解得1λ2>-，且λ2≠；∴λ的取值范围为()1,22,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．故选B ． 7．【答案】D 【解析】∵()f x 在R 上是奇函数，且()f x 在()0,+∞上是增函数， ∴()f x 在(),0-∞上也是增函数，由()30f -=，得()()330f f -=-=，即()30f =， 作出()f x 的草图，如图所示：
由图象，得()()()00000x x xf x f x f x ><⎧⎧⎪⎪<⇔⎨⎨<>⎪⎪⎩⎩或，解得03x <<或30x -<<， ∴()0xf x <的解集为()()3,00,3-，故选D ． 8．【答案】B
4=， 设外接球的半径为R ，则()(2224R R =-+，∴3R =， ∴球的体积为3344ππ336π33R =⋅=，故选B ． 9．【答案】D 【解析】由题意，第一层货物总价为1万元，第二层货物总价为9210⨯万元， 第三层货物总价为29310⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭万元，⋯，第n 层货物总价为1910n n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭万元， 设这堆货物总价为W 万元，则21999123101010n W n -⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯+⋯+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 23999991231010101010n W n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⋯+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
2 两式相减得231
199
9991101010101010n n W n -⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫
=-⋅+++++⋯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
919991010109101010110
n
n n n
n n ⎛⎫- ⎪
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-⋅+
=-⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-， 则99910100100100200101010n n n
W n ⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫
=-⋅+-⋅=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得10n =， 故选D ．
10．【答案】D
【解析】依据题意作出椭圆与双曲线的图像如下：
由椭圆方程2
2
12516x y +=可得：2
125a =，15a =， 由椭圆定义可得：121210PF PF a +==（1）， 由双曲线方程2
2
145x y -=可得：2
24a =，22a =， 由双曲线定义可得：12224PF PF a -==（2），
联立方程（1）（2），解得：17PF =，23PF =， ∴123721PF PF ⋅=⨯=，故选D ．
11．【答案】B
【解析】由三视图得几何体原图是图中的三棱锥A BCD -，
∴3CD =
，BD =
AB =，
3AC =
=
，BC ==
AD =．∴AD 是最长的棱．故选B ． 12．【答案】C 【解析】∵222AF F B =，设2BF x =，则22AF x =， 由椭圆的定义，可以得到122AF a x =-，12BF a x =- ∵120AF AF ⋅=，∴12AF AF ⊥， 在1Rt AF B △中，有()()()2222232a x x a x -+=-，解得3a x =，∴223a AF =，143a AF =， 在12Rt AF F △中，有()22242233a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得225=9c a
，∴c e a ==C ． 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．
【答案】12 【解析】画出可行域如下图所示，依题意只取坐标为整数的点． 由图可知，在点()2,1处，目标函数取得最小值为12． 14．【答案】[]2,1-- 【解析】分析程序中各变量、各语句的作用再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数()[]()()2,2,22,,22,x x f x x ⎧∈-⎪=⎨∈-∞-+∞⎪⎩的函数值． 又∵输出的函数值在区间11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦内，∴[]2,1x ∈--． 15．【答案】D
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3 【解析】将五个团队的猜测整理成下表：
由于实际上每个名次都有人猜对，若第五名为C ，则第一名为A ，第三名B ，从而第二名没有人猜对，不合题意要求．故获得第五名的是
D 团队．
16．【答案】()4,+∞
【解析】函数()4f x x x a =--有三个不同的零点，就是4x x a -=有三个不同的根； 当0a >时，函数2
2,,x ax x a
y x x a ax x x a -≥=--<⎧⎪=⎨⎪⎩与4
y =的图象如图：
函数()()4f x x
x a a =--∈R 有3个零点，必须220
4
24a a a >⎧
⎪⎨->⎪⎩，解得4a >；
当0a ≤时，函数22,,x ax x a y x x a ax x x a
-≥
=--<⎧⎪=⎨⎪⎩与4y =的图象如图：
函数()()4f x x x a a =--∈R 不可能有三个不同的零点， 综上，()4,a ∈+∞．故答案为()4,+∞． 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）35；（2）b =． 【解析】（1）由34sin 3cos c a B b A =+且πA B C ++=， 由正弦定理得：3sin 4sin sin 3sin cos C A B B A =+， 即()3sin 4sin sin 3sin cos A B A B B A +=+， 由于sin 0A >，整理可得3cos
4sin B B =， 又sin 0B >，∴3sin 5B =． （2）∵角B 是最小的内角，∴π03B <≤， 又由（1）知3sin 5B =，∴4cos 5B =， 由余弦定理得2224141021410725b =+-⨯⨯⨯=，即b = 18．【答案】（1）329；（2）见解析． 【解析】（1）从这30天中任取2天，基本事件总数230C n =， 2天的日需求量均为40个包含的基本事件个数210C m =， ∴两天的日需求量均为40个的概率210230C 3C 29P ==． （2）设该糕点房制作45个蛋糕对应的利润为y ，
4 ()1
206P y =-=，()1
603P y ==，()11403P y ==，()1
1806P y ==，
∴y 的分布列为：
()1111280
206014018063363E y =-⨯+⨯+⨯+⨯=，
∵该糕点房一天制作35个该类蛋糕时，对应的利润的期望值()3203E X =，280320
33<，
∴此建议不该被采纳．
19．【答案】（1）见解析；（
2；（3）满足条件的点G 存在，且1
2DG =．
【解析】（1）以A 为坐标原点，分别以AC ，AB ．AS 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系C xyz -． 则()0,0,0A ，()0,2,0B ，()2,0,0C ，()0,0,2S ，()1,0,0D ，()1,1,0E ，
由2SF FE =得222,,333F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴222,,333AF ⎛⎫
= ⎪⎝⎭，()2,2,0BC =-，()2,0,2SC =-，
∵0AF BC ⋅=，0AF SC ⋅=，∴AF BC ⊥，AF SC ⊥，∴AF ⊥平面SBC ．
（2）设()1111,,x y z =n 是平面SBD 的一个法向量，
由于()1,0,2DS =-，()1,2,0DB =-，则有()()()()1111111111111,0,220
1,2,0,,2,,0
DS x y z x z DB x y z x y ⋅=⋅-=-+=⋅=⋅-=-+=⎧
⎪⎨⎪⎩n n ， 令12x =，则11y =，11z =，即()12,1,1=n ．
设直线SA 与平面SBD 所成的角为α，而()0,0,2AS =， ∴111,6sin cos AS AS AS α⋅===⋅n n n （3）假设满足条件的点G 存在，并设DG t =．则()1,,0G t ． ∴()1,1,0AE =，()1,,0AG t =， 设平面AFG 的法向量为()2222,,x y z =n ， 则()()()2222222222222222222,,03333331,,,0,,0,AF x y z x y z AG x y z t x ty ⎧⎛⎫⋅=⋅=++= ⎪⎪⎝⎭⎨⎪⋅=⋅=+=⎩n n ， 取21y =，得2x t =-，21z t =-，即()2,1,1t t =--n ． 设平面AFE 的法向量为()3333,,x y z =n ， 则()()()3333333333333222222,,03333331,1,0,,,0,AF x y z x y z AE x y z x y ⎧⎛⎫⋅=⋅=++= ⎪⎪⎝⎭
⎨⎪⋅=⋅
=+=⎩n n ， 取31y =，得31x =-，30z =，即()31,1,0=-n ， 由得二面角G AF E --的大小为30︒得2323cos30
⋅===⋅
︒n n n n 化简得22520t t -+=， 又01t ≤≤，求得12t =，于是满足条件的点G 存在，且12DG =． 20．【答案】（1）24y x =；（2）)1y x =-或)1y x =-． 【解析】（1）设圆P 与直线1x =-相切于点E ，则PE PF =， 即点P 到F 的距离与点P 到直线1x =-的距离相等， ∴点P 的轨迹为抛物线，F 是焦点，1x =-是准线． ∴C 的方程为24y x =． （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为()1y k x =-，0k >． 由()214y k x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩得()2222240k x k x k -++=，212224k x x k ++=．
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5 1224
24AB x x k
=++=+
．同理，244CD k =+． ∴四边形ACBD 的面积()()2222114144481122S AB CD k k k k ⎛⎫⎛
⎫=⋅=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
． 由()22181136k k ⎛⎫+
+= ⎪⎝
⎭，得22k =或21
2
k =
，∴k
或k =． ∴直线AB
的方程为)1y x =-
或)1y x =-．
21．【答案】（1）单调递减；（2）22
0e
a -
<<． 【解析】（1）由于()f x 的定义域为()0,+∞，且()ln f x ax x '=+， 设()()g x f x '=，当1
e
a =-时，()11e
g x x
'=-，
∴()()()11e 0e e
f x
g x g '=≤=-=，∴()f x 在其定义域上单调递减． （2）若()f x 恰有两个零点，由于()f x 的定义域为()0,+∞， 则函数()1
1ln 2
h x ax x =-+恰有两个零点．
当0a ≥时，()h x 在()0,+∞上单调递增，不符合题意． 当0a <时，()1
12
2
2ax h x a x
x
+'=+=
，
由20h a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭
，得2
2e a ->，可得220e a -<<， 此时()1102a h =-<，22
222e e ln 1a a
h a a a --⎛⎫⎛⎫-=-+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
令()e ln 1t t t t ϕ=-++-，()1
e 1t t t
ϕ'=-++， ∴()()2221
e e 10e
t ϕϕ''<=-+
+<，∴当2e t >时，()t ϕ函数单调递减， ∴()2
e 2
2
e ln e e 10t ϕ<-++-<，即2e 2e 0e h -⎛⎫
-< ⎪⎝⎭
．
∴()f x 在其定义域上恰有两个零点时，故2
2
0e a -<<．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．【答案】（1）曲线C 的普通方程为()2211x y -+=，直线l
的参数方程112
x y m t
⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 是
参数）；（2）3m =±．
【解析】（1）由题可得，曲线C 的普通方程为()2
211x y -+=． 直线l
1x -+=
，即10x -+=， 由于直线l 过点()1,P m ，倾斜角为30︒，
故直线l
的参数方程112
x y m t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 是参数）． （直线l 的参数方程的结果不是唯一的）
（2）设A 、B 两点对应的参数分别为1t 、2t ，将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方
程并化简得2
2
22
1111102m t t mt m ⎛⎫⎛⎫-++=⇒++-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
． ∴21218PA PB t t m ⋅==-=，解得3m =±．
23．【答案】（1）55,,22⎛⎤⎡⎫
-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭
；（2）[]1,3m ∈-． 【解析】（1）当1a =时，()11f x x x =++-，
当1x ≤-时，()1125f x x x x =---+=-≥，解得5
2
x ≤-； 当11x -<<时，()1125f x x x =+-+=≥，解集为∅； 当1x ≥时，()1125f x x x x =++-=≥，解得52
x ≥；
综上：当1a =时，不等式()5f x ≥的解集为55,,22⎛⎤⎡⎫
-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭
． （2）显然有0a ≠，由绝对值的三角不等式得：
6 ()1111
2f x x a x x a x a a a a a a
=++-
≥+-+=+=+≥， ∴12m -≤，解得13m -≤≤，即[]1,3m ∈-．。