数理方程第讲

18
因为(x),(x)是定义在[0,l]上的函数, 所以只
要选取 Cn 为(x)的傅立叶正弦级数展开式的
系数,
n
l
a
Dn为(x)的傅里叶正弦级数展开
式的系数, 就是
Cn
2 l
l(x)sin n
0
l
x d x,
Dn
2
n a
l
(x)sin
n
xdx
0
l
(2.12)
初始条件(2.3)就能满足. 以上式确定的 Cn,Dn 代入(2.11)式即得原定解问题的解.
19
例 1 设有一根长为 10 的弦, 两端固定, 初速
为零, 初位移为(x) x(10 - x) , 求弦作微小
1000 横向振动时的位移. 解 设位移函数为 u(x,t), 它是定解问题
2u ut|x20
a2 0,
2u x2 ,0 x u |x10 0,t
10,t 0,
0,
的解
u
1
第二章 分离变量法 §2.1 有界弦的自由振动
2
在高等数学中我们知道一个普通的函数f(x)经 常能够展开成级数. 例如, 幂级数的形式就是:
f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+ 其中无穷多个函数v0(x)=1, v1(x)=x, v2(x)=x2, , 等等, 构成了级数展开的一个函数系. 而三角级数的形式就是
即X(x)0, 不符合非零解的要求, 因此l不能小
于零.
11
2º设l=0, 此时方程(2.5)的通解为
X(x)=Ax+B,
由条件(2.6)还是得A=B=0, 所以l也不能等于
零
12
设l>0, 并令l=2, 为非零常数. 此时方程(2.5)
的通解为 X(x) = A cos x+B sin x,
由条件(2.6)得 A = 0
|t0
x(10 - x) , 1000
u t
t0
0, 0
x
10
20
解： 令u(x,t)=X(x)T(t)是齐次方程和齐次 边界条件的非零解,则有
X(x)lX(x)0
X(0)X(l)0
(2.5) (2.6)
ln n2l2 2 (n1,2,3,L)
(2.7)
n
Xn(x)Bnsin l x(n1,2,3,L)(2.8)
题的特征值, 相应的非零解X(x)称为它的特征
函数.
下面分l<0, l=0和l>0三种情况来讨论, 将得
出结论l<0和l=0不能成立.
8
对高等数学中二阶齐次线性微分方程求解的
复习:
特征方程 r2+pr+q=0 微分方程 y py qy 0的通
的两个根 r1,r2
解
两 个 不 相 等 的 实 根 y C1er1x C2er2x
31
§2.2 有限长杆上的热传导
32
设有一均匀细杆, 长为l, 两端点的坐标为x=0
与x=l, 杆的侧面是绝热的, 且在端点x=0处温
度是零摄氏度, 而在另一端x=l处杆的热量自
由发散到周围温度地零度的介质中去, 已知初
始温度分布为(x). 求杆上的温度变化规律,
也就是要考虑下列定解问题:
u t
26
当时间 t 取定值 t0 时, 得
un (x,t0 )
An sin
n
l
x
其中 An An cos( nt0 - n )是一个定值. 这表
示在任一时刻, 波 un(x,tn)的形状都是一些正 弦曲线, 只是它的振幅随着时间的改变而改
变.
27
当弦上点的横坐标 x 取定值 x0 时, 得
un(x0,t)=Bncos(nt-n)
x
(2.11)
将初始条件(2.3)代入上式得:
u(x,t)|t0u(x,0)n1Cnsinnlx(x)
u
t t0
Dn
n1
nasinn
ll
x(x)
17
复习高等数学中周期为2l的傅立叶级数: 如果周期为2l的周期函数f(x)为奇函数, 则有
nx
f(x) bnsin
n1
l
其中系数bn为:
b n 2 l0 lf(x )s in n lx d x(n 1 ,2 ,3 ,L ).
其中 Bn
n
An sin l
x0 是一个定值.
这说明弦
上以 x0 为横坐标的点作简谐振动, 其振幅为
Bn, 角频率为n, 初位相为n. 若 x 取另外一
个定值时, 情况也一样, 只是振幅 Bn 不同.
28
在[0,l]范围内还有 n+1 个点(包括两个端点)永
远保持不动,
这是因为在xm
ml (m=0,1,2, n
当l=0时, 特征根为0.
方程的通解为 X(x)=Ax+B
当l>0时, 特征根为
i l 方程的通解为
l l X (x ) A c o s x B s inx
10
1º设l<0, 此时方程(2.5)的通解为
X (x )A e- lx B e -- lx 由条件(2.6)得
AB0, Ae -ll Be- -ll 0, 解出A,B得 A=B=0
u(x,t)=a0(t)v0(x)+a1(t)v1(x)+a2(t)v2(x)+ 其中的每一项都是两个一元函数的乘积 ai(t)vi(x), 这样构成的二元函数我们称之为可 分离变量的. 而如果级数中的每一项都是线性 偏微分方程的解, 则此级数也就是线性偏微分 方程的解.
4
讨论两端固定的弦自由振动的定解问题:
分析一下级数形式解(2.11)的物理意义. 先固 定t, 看看任意指定时刻波是什么形状; 再固定 x, 看该点的振动规律. (2.11)中的一项:
un(x,t)CncosnlatDnsinnlatsinnlx 其中 Ancos(nt-n)sinnlx
A nC n 2 D n 2,n n la ,n a rc ta n C D n n
xsin
axd
x
1 a2
sin
ax
-
1 a
x
cosax
C
x2
sin axd x
-
1 a
x2
cosax
2 a2
xsinax
2 a3
cosax
C
x
cos
axd
x
1 a2
cos
ax
1 a
xsin
ax
C
x2 cosaxdx 1 x2 sinax 2 xcosax - 2 sinax C
a
a2
a3
25
f(x)=a0+a1sinx+b1cosx+a2sin2x +b2cos2x+
其中的无穷多个函数1, sinx, cosx, sin2x, cos2x, …, 也构成了级数展开的一个函数系.
3
因此, 一般而言, 一个函数f(x)能够在一个函数 系v0(x), v1(x), v2(x), …下展开成级数的形式为 f(x)=a0v0(x)+a1v1(x)+a2v2(x)+ 那么, 一个二元函数u(x,t), 将t固定住视为常数, 看作x的函数, 则也能够在函数系v0, v1, v2, … 下展开成级数的形式
均为常数时才可能相等. 令此常数为-2, 则有
a T 2 T (t(t))X X ((x x ))- 2
(2 .1 6 )
34
从而得到两个线性常微分方程
T(t) a22T(t)0,
X(x)2X(x)0.
解方程(2.16)''得
X(x)=A cos x + B sin x,
由边界条件(2.14)可知 X(0)=0, X'(l)+hX(l)=0.
从X(0)=0得A=0, 从X'(l)+hX(l)=0得
cos l + h sin l=0
(2.16) (2.16)
(2.17) (2.17)'
35
为了求出, 方程(2.17)可改写成
或
X(x) T(t)
X(x) a2T(t)
此式左端仅是x的函数, 右端仅是t的函数, 一 般情况不可能相等, 除非它们均为常数, 令此
常数为-l, 则有
X(x) X(x)
T(t) a2T(t)
-l
这样可以得到两个常微分方程:
T(t)la2T(t)0, (2.4)
X(x)lX(x)0. (2.5) 6
C n
1 5000
10
x (10 - x ) sin
n
xd x
0
10
2
5n 3
3
(1 -
cos
n
)
0, 当 n为偶数 ,
4
5n 3
3
,
当
n 为奇数
.
23
因此, 所求的解为 u(x,t)
543n 0(2n1 1)3sin(2n1 01)xcos10(2n1)t
24
解题中常用到的积分表的内容:
问题
X(x)lX(x)0
X(0)X(l)0
(2.5) (2.6)
7
X(x)lX(x)0
(2.5)
X(0)X(l)0
(2.6)
要确定l取何值时(2.5)才有满足条件(2.6)的非
零解, 又要求出这个非零解X(x). 这样的问题
称为常微分方程(2.5)在条件(2.6)下的特征值
问题, 使问题(2.5),(2.6)有非零解的l称为该问
Tn(t)a2nl222Tn(t)0
21
Tn(t)C n cosnlatD n sinnlat(n1,2,3,L)
方程的特解为
(2.9)
un(x,t)CncosnlatD nsinnlatsinnlx
(n1,2,3,L), (2.10)
22
这时l=10, 并给定a2=10000. 这个问题的傅里 叶级数形式解可由(2.11)给出. 其系数按(2.12) 式为 Dn=0,
a2
x2u2 ,0xl,t
0,
u(0,t)0,
u(l,t) x
hu(l,t)
0,t
0,
u(x,0)(x),0xl.
(2.13) (2.14) (2.15)
33
用分离变量法来解此问题, 设
u(x,t)=X(x)T(t), 代入方程(2.13)得
T(t) a2T(t)
X(x) X(x)
上式左端不含有x, 右端不含有t, 只有当两端
B sin l = 0
由于B不能为零, 所以sin l=0, 即
n(n1,2,3,L)
l
从而
ln2 l22
(2.7)
13
(2.5),(2.6)的一系列特征值及相应的特征函数
为:
ln n2l2 2 (n1,2,3,L)
(2.7)
Xn(x)Bnsinnl x(n1,2,3,L)(2.8)
将上式中的特征值代入到(2.4)得
u2t|xu20a02,ux|2xu2l,00,tx0l,,t 0,
(2.1) (2.2)
u
|t0
(x),
u t
t0
(x),0
x
l.
(2.3)
设
u(x,t)=X(x)T(t)
则 x 2 u 2X (x)T (t), 2 tu 2X (x)T (t),
5
代入方程(2.1)得 X(x)T''(t)=a2X''(x)T(t)
,
n)那些点上,
sin n
l
xm sin m
0.
这些点在
物理上称为节点. 这就说明 un(x,t)是在[0,l]上
分段振动, 这样的振动波叫做驻波. 驻波还
在 n 个点处振幅达到最大值, 这些点称为腹
点.
29
某一时刻n=1,2,3的驻波形状 u
O
n=1
u
O
n=2
u
O n=3
lx lx
lx
30
综合上述, 可知u1(x,t),u2(x,t),…,un(x,t),…是一 系列驻波, 它们的频率, 位相与振幅都随n不同 而不同. 因此一维波动方程用分离变量法解出 的结果u(x,t)是由一系列驻波叠加而成的, 而 每一个驻波的波形由特征函数确定, 它的频率 由特征值确定. 这完全符合实际情况. 因为人 们在考察弦的振动时, 就发现许多驻波, 它们 的叠加又可以构成各种各样的波形, 因此很自 然地会想到用驻波的叠加表示弦振动方程的 解. 这就是分离变量法的物理背景, 所以分离 变量法也称为驻波法.
Tn(t)a2nl222Tn(t)0
14
其通解为:
Tn(t)C n cosnlatD n sinnlat(n1,2,3,L)
(2.9) 因此可分离变量的方程的特解为
un(x,t)CncosnlatD nsinnlatsinnlx
(n1,2,3,L), (2.10) 其中 C n B n C n ,D n B n D n 是任意常数.
15
为满足初始条件(2.3), 求出原问题的解, 将 (2.10)中所有函数un(x,t)叠加起来:
u(x,t) un(x,t) n1
n1Cn
cosnat
l
Dn sinnl at sinnl
x
(2.11)
16
u(x,t) un(x,t) n1
n1Cn
cosnat
l
Dn
sinnl at sinnl
再利用边界条件(2.2), 由于u(x,t)=X(x)T(t),
X(0)T(t)=0, X(l)T(t)=0. 但T(t)0, 如果T(t)=0, 这种解称为平凡解, 所 以
X(0)=X(l)=0
(2.6)
因此, 要求方程(2.1)满足条件(2.2)的变量分离
形式的解, 就先要求解下列常微分方程的边值
r1,r2
两个相等的实根 r1=r2 y (C1 C2 x)er1x
一对共轭复根
r1,2=i
y ex (C1 cos x C2 sin x)
9
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
而方程X''(x)+lX(x)=0的特征方程为 r2+l=0
当l<0时, 特征根为 - l
方程的通解为 X (x )A e- lx B e -- lx