4.1分期偿还法-PPT文档资料

命题：将来法与过去法等价。
未偿还贷款余额的递推公式：
未 还 款 额 B 经 过 一 期 的 积 累 后 变 为 B ( 1 i ) , k k 第 k 1 期 还 款 R ， 故 n 1 年 末 未 偿 还 款 余 额 B B ( 1 i ) R . k 1 k
t 在 k t ( 0 t 1 ) 时 刻 ， 未 还 款 额 积 累 为 B ( 1 i ), k
（一）偿还与计息频率相同的等额分期偿还法
基本原理：在分期付款中，首先偿还利息，然后偿还本金。
设 第 k 次 的 还 款 额 为 R ， i 为 贷 款 利 率 ， 第 k 次 偿 还 的 利 息 部 分 为 I ， 本 金 为 P ， 则 R I P . k k k k
I i B i R a R ( 1 v) K的减函数 k k 1 n k 1
例4.4
等额本金法
所谓“等额本金法”是指每期所偿还的本金数额相同，每期 偿还额由两部分组成：
产生的当期利息； 由于未偿还贷款额越来越小，因此每期偿还额逐年下降。
比较等额本息与等额本金法的差异：
例4.5 某贷款额为1000元，贷款年利率为3%，贷款期限 为5年，每年末等额本金付款一次，试列出分期偿还表并 与例4.2比较。
第一节
一、等额分期偿还
分期偿还法
在等额分期偿还法中，需要解决的问题包括： （1）每次偿还的金额是多少？ （2）未偿还的本金余额（loan balance）是多少？
（3）在每次偿还的金额中，利息和本金分别是多少？
1、每次偿还的金额
贷款的本金是 L
期限为 n 年 年实际利率为 i 每年末等额偿还R 则每次偿还的金额 R 可表示为：
( 1 /m ) ( 1 /m ) 现 值 与 终 值 分 别 为 a 与 s ： n n
通过比较，我们会发现：
等额本息法未偿还贷款余额下降较慢，因而支付的总利息 比等额本金法多。 等额本息法下的总利息：
L n n R L n L ( 1 ) L a a n n
等额本金法下的总利息：
1 2 1 n 1 i L ( 1) i L ( 1) i L i L i L n n n 2
n n 1 而 ( 1 )L iL . a 2 n
（二）偿还与计息频率不同的等额分期偿还法
1、偿还频率小于计息频率的等额分期偿还法 2、偿还频率大于计息频率的等额分期偿还法
复习两种年金：
付款频率小于计息频率情形
n个 计 息 期 的 年 金 ， 每 m 个 计 息 期 间 付 款 一 次 （ 付 款 频 率 小 于 计 息 频 率 ） ， 每 次 付 款 额 m ， 付 款 次 数 n/ m （ 整 数 ） 。
为：
B a k R n k
L a n k a n
方法二：过去法（retrospective method）
从原始贷款本金的累积值中减去过去已付款项的累积值。
k k L ( 1 i ) R ( 1 i ) a R sR a n k n k
k B L ( 1 i ) R s k k
n k 1
P R I R v k k
Bk Ra n k
nk 1
K的增函数
Bk 1 P Bk k
结合上图，观察Bk , I k , Pk，容易看出 B0 P 1 P 2 P 3 B1 B2 P2 P3 P3 Pn L Pn Pn
债务偿还的两种方法
分期偿还法（amortization method）：借款人分期偿还
贷款，在每次偿还的金额中，既包括当期应该支付的
利息，也包括一部分本金。 • 包括：等额，变额
偿债基金法（sinking fund method）：借款人在贷款期
间分期偿还贷款利息，并要积累一笔偿债基金，用于 贷款到期时一次性偿还贷款本金。 • 包括：等额，变额
此 时 本 期 还 未 还 款 ， 故 此 时 未 还 款 余 额 为
t B B ( 1 i ) kt k
例：已知某住房贷款1,000,000元，分15年还清，每月末
还款一次，每年计息12次的年名义利率为6%，试计算: (1)利用未来法计算第5年末的未尝贷款余额； (2)利用过去法计算第10年末的未尝贷款余额； (3)利用递推公式计算第121笔还款后的未尝贷款余额。
立足当前（第k年末），已经付款k次，还剩n-k次没付， 已付款： R s k
未付款： Ra n k
付 款 额 R 必 须 大 于 i L ， 不 然 贷 款 永 远 还 不 清 。
方法一：将来法（prospective method）
把将来需要偿还的金额折算成计算日（k 时）的现值， 即得未偿还本金余额。 第k期末，将来还需偿还(n – k)次，故未偿还本金余额
L a
n i
2．未偿还本金余额
问题：假设贷款的本金是L，期限为n年，年实际利率为i； 每次偿还的金额R。确定 t 时刻尚未偿还的贷款。
方法：
将来法（prospective method） 过去法（retrospective method）
L Ran
这笔贷款在第k年末的价值为：
k k L ( 1 i ) R ( 1 i ) a R sR a n k n k
B P B k 1 k k
例4.2 某贷款额为1000元，贷款年利率为3%，贷款期限
为5年，每年末等额付款一次。试列出分期偿还表。
例 4 .3 以 分 期 偿 还 法 来 偿 还 一 笔 贷 款 ， 年 利 率 为 i ， 期 限 为 1 0 年 ， 每 年 末 的 偿 还 额 为， R 其 中 本 金 部 分 为 P t 1 ,2 , ,1 0 ) ； 若 在 第年 5 末 ， 除 了 支 付 年 度 偿 还 R 外 ， t( 还 追 加 偿 还 P ， 试 分 析 贷 款 偿 还 期 将 缩 短 多 少 年 ？ 6 P 7