华南理工大学工程硕士复习提纲(新)

工程硕士《机械振动》复习提纲
第一章 绪论
基本概念： 1）系统
2）振动的分类
一个实际振动系统包括输入（激励），系统及输入（响应）。

按系统相应的性质：确定振动、随机振动；按激励的控制方式：自由振动、强迫振动、自激振动及参激振动。

3）振动问题
激励、响应及系统特性三者已知二者求第三者，分为：振动分析、系统识别、振动设计及振动环境测试，了解这些振动问题的含义。

4）自由度的概念及会分析某个系统具有几个自由度
确定一个振动系统空间位置所需要的独立坐标的个数。

第二章 单自由度系统的自由振动
A ．基本概念：
1）振动的定义，简谐振动的三要素
物体相对于平衡位置的来回运动即为振动。

振动三要素：幅值、频率、相位。

2）频率不同的两个简谐振动的合成
频率不同的两个简谐振动的合成不再是简谐振动。

频率比为有理数时，合成为周期振动；频率比为无理数时，合成为非周期振动。

3）等效刚度，等效质量定义
使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚度；使系统在选定的坐标上产生单位加速度而需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效质量。

4）单自由度系统无阻尼和有阻尼的自由振动响应特点 单自由度无阻尼系统的自由振动响应是简谐振动，单自由度有阻尼系统的自由振动响应是幅值按指数衰减的振动。

B ．推导：
1）推导单自由度无阻尼系统（00()()0,(0),(0)mx
t kx t x
x x x +=== ）的自由振动解。

解：令自由振动响应的解为：sin()n x A t ωϕ=+
式中固有频率
n ω=
由 0(0)c o s ()n x A x ωϕ== ，0(0)sin()x A x ϕ==
解得：
1
00n
x A tg ωϕ-=
= 则得到： 00()cos sin n n n
x
x t x t t w ωω=+
2）推导单自由度有阻尼系统（00()()()0,(0),(0)mx t cx t kx t x x x x ++=== ）的自由振动解
解：令22,,n n
c k n n m m ωξω=
== 方程变为：
2()2()()0n x
t nx t x t ω++= 令st
x e =后得到特征方程：
2220n n s s ξωω++=
特征根为：1,2n s ξωω=-±
欠阻尼状态下，固有频率d ωω=
通解为： 12()(cos sin )n d d t x t e c t c t ξωωω-=+ 系统对初始条件的响应为：
000()(cos sin )n d d d
n t x
x x t e x t t ξωξωωωω
-+=+
也可写成： ()sin()n d t
x t e
A t ξωωϕ-=+
其中，
A =
1
sin )d
d
n
x tg t x
x ωϕωξω-=+
C ．计算：
1）熟练计算单自由度系统自由振动固有频率及运动规律 例题1：
如图所示，重物1200W N =，弹簧刚度200/k N cm =，在静平衡位置的 初始位移为0，初始速度为12/min v m =，求重物的振动频率、振动规律。

解：重物质量/122.449m W
g kg ==
弹簧刚度200/20000/k N cm N m == 初始速度12/min 0.2/v m m s ==
则：重物的振动频率12.78
n ω=
=rad/s
设重物的振动规律为：sin()n x A t ωϕ=+，对x 求导得：
cos()n n x
A t ωωϕ=+ 在0t =时，0sin()0x A ϕ==，0cos()0.2n x
A ωϕ== m/s 得： 1.6,0A cm ϕ==
（例题1图）
则重物的振动规律为： 1.6sin(12.78)x t cm =
例题2：
利用能量法求图示一个倒置的摆在图平面内作微小旋转振动时的固 有频率。

解：选如图所示的角坐标，由能量法： 系统任意时刻的动能：21()2
T m l ϑ= 系统任意时刻的势能：
222111()(1cos )()222U k a mgl k a mgl ϑϑϑϑ=--=-
由()0d T U dt
+=得： 22()0ml ka mgl ϑ
ϑϑϑ+-= 因角速度不可能恒为零，故得到自由振动微分方程为220ml ka mgl ϑ
ϑϑ+-=
解的系统固有频率为：n w ==例题3：
一弹簧质量系统沿光滑斜面作自由振动，如图2所示。

已知
cm N k kg m /49,1,300===α，开始运动时弹簧无伸长，速度
为零，求系统的运动规律。

解：令x 为位移，以质量的静平衡位置为坐标原点，建立坐标系，当系统受到初始扰动时，由牛顿第二定律得到：
)(sin x k mg x
m s +-=λα 式中s λ为弹簧在质量块在重力分力作用下的静变形，由于静平衡时有：s k mg λα
=sin
所以系统的自由振动微分方程为：0=+kx x m
令m
k n =
ω，上式可以写成：02
=+x x n
ω 其通解为： t c t c x n n ωωsin cos 21+=
初始条件为0
0,0s x x
λ=-= 并且已知cm N k kg m /49,1,300
===α 代入上式解得：
70,0,1.0sin 21==-=-=
-=n s c k
mg C ωα
λ
例题2图
例题3图
例题3图
所以系统的运动规律为()0.1cos70()x t t cm =-
2）等效刚度简单计算 例题4：
两弹簧1k 和2k ，分别写出串联和并联两种组合弹簧系统的等效刚度。

解： 串联时：()1212/e k k k k k =+
并联时：12e k k k =+
例题5：
求如图所示，系统悬臂梁的质量可以忽略不计，其等效弹簧 刚度分别为1k 和3k 。

解： 1k 和2k 串联：11212/()eq k k k k k =+
1eq k 和3k 并联：213eq eq k k k =+
2eq k 和4k 串联：2424/()eq eq eq k k k k k =+
即： 1223314
121234()()()
eq k k k k k k k k k k k k k k ++=
+++
第三章 单自由度系统的强迫振动
A. 基本概念：
1）振动的激励主要有哪几种
力激励、位移激励、加速度激励；或是简谐激励、周期激励、任意激励 2）简谐激励下强迫振动系统稳态响应的特点
振动的频率与激励频率相同，但相位滞后于激励相位的简谐振动 3）简谐激励下的强迫振动初始阶段的解有哪些
初始条件产生的自由振动；简谐激励产生的强迫振动；伴随强迫振动产生的自由振动。

4）傅立叶级数、卷积积分、傅立叶积分及传递函数的意义 5）掌握共振及其危害
共振的定义及在共振时系统的特性，了解工程运用中振动的危害 6）输入()x t 、输出()y t 和系统频率响应函数()H f 的时域和频域的关系 时域：()()()y t x t h t =* 频域：()()()y w x w H w =
B. 推导：推导单自由度系统在周期信号力P t P t T =+（）（）激励下求稳态响应的思路和步骤
解：通过谐波分析，P 可写为：
1101()(cos sin )2n n n a P t a n t b n t ωω∞
==++∑
系统的运动微分方程为：
1101
(c o s s i n )
2n n
n a mx cx kx a n t b n t ωω∞
=++=++∑ 由叠加原理，系统的稳态响应为：
1
()
2
n
a
x t
k
∞
=
=+
其中，1
1
22
2
,,
21
n n
n n
n
c tg
m n
ωξλ
λωξϕ
ωωλ
-
===
-
当阻尼不计时，稳态响应为：
011
22
1
cos sin
()
2(1)
n n
n
a n t
b n t
a
x t
k k n
ωω
λ
∞
=
+
=+
-
∑
C．计算：熟练计算单自由度系统对简谐激励的强迫振动稳态响应
例题6：
小车重490N，简化为用弹簧支在轮上的一个重量弹簧系数
k=50N/cm,轮子的重量变形都略去不计。

路面成正选波形，可表
示为
2
sin x
y Y
L
π
=，其中Y=4cm,L=10m,如图所示。

试求小车
在以水平速度36/
v km h
=行驶时，车身上下振动的振幅。

解：设在t=0时，有x=0,则x vt
=，因而
2
sin sin
vt
y Y Y t
πω
==
代入数据，有1
2()
s
ωπ-
=
小车的振动微分方程为：sin
mz kz kY t
ω
+=
小车的固有频率为：
1
10()
n s
ω-
==
设小车的响应为：
sin
z Z tω
=
则小车强迫振动的振幅为:
()
22
6.6
1(/)n
kY Y
z cm
k m w
ωω
===
--
例题7：
图示的弹簧质量系统，质量m受激振力0
()sin
P t P tω
=的作用，建立m的运动微分方程并求稳态响应。

解：以质量m的平衡位置为坐标原点，列出运动微分方程，有：
sin
mx kx P tω
+=
其稳态响应为：0
2
1
sin
1
p
x t
k
ω
λ
=⋅
-
其中，
,
ω
λω
ω
==
例题8：
例题7图
解：
对物体m 列运动微分方程，有：
0)(1=--+x x k x c x
m 即：
t kA kx x c x
m ωsin =++ 其稳态响应为：
i n ()
)
kA x t k
ωθ=-
其中，0
20
2,arctan 1ωξλλωξθωλ==
==- 第四章 两自由度系统的振动
A ．基本概念：
1）固有振型
整个系统在主振动过程中的某一位移形状。

2）静力耦合和动力耦合
静力耦合，也称弹性耦合，即振动微分方程通过刚度项来耦合；动力耦合，也称惯性耦合，即振动微分方程通过质量项来耦合
B ．计算：熟练计算两自由度系统的固有频率及主振型 例题9：
求解如图所示两自由度系统的固有频率及主振型
（例题9图）
解：运动微分方程为：
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡0022002121x x k k k k x x m m
令主振动为)sin(2121ϕωφφ+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡t x x ，或直接采用0)(2
=-φωM K ，有：
⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡----00222122φφωωm k k
k m k 设2
ωαk
m =，有：
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡----00211221φφαα
由
0211
2=----α
α
，得出： 3,121==αα
（例题8图）
因此，有：
m k =
1ω，m
k 32=ω 先将11=α代入，有：
⎩⎨
⎧=+-=-00
21
21φφφφ 令12=φ，则有11=φ，因此第一阶模态为：
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=1
1)1(φ
同样将32=α代入，令12=φ，有11-=φ，因此第二阶模态为：
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=11)2(φ
所以，模态矩阵为：
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=Φ1111
第五章 多自由度系统的振动
A ．基本概念：
1）多自由系统的模态定义，模态参数包括哪些指标及主振型的物理意义
系统作主振动时所具有的振动形态即为模态。

模态参数有：各阶固有频率，各阶主振型，相对阻尼比。

主振型的物理意义：按某一阶固有频率振动时所具有的振动形态。

与模态试验结合起来，通过上述问题描述模态试验。

2）质量矩阵和刚度矩阵中元素的物理意义
刚度矩阵中元素k ij 的物理意义：使系统仅在第j 个坐标产生单位位移而需要在第i 个坐标上施加的力；质量矩阵中元素m ij 的物理意义：使系统仅在第j 个坐标产生单位加速度而需要在第i 个坐标上施加的力。

3）主振型的正交性，主质量矩阵和主刚度矩阵的特点
对应于不同固有频率的主振型之间，既关于质量矩阵相互正交，又关于刚度矩阵相互正交，这就是主振型的正交性。

主质量矩阵和主刚度矩阵都是对角阵。

4）主坐标及解耦
使系统运动微分方程的全部耦合项都不出现的坐标称为主坐标。

主质量阵,主刚度阵是对角阵,各个方程之间不存在坐标耦合,称为解耦。

B ．计算： 例题10：
写出图示弹簧质量系统运动的作用力方程。

例题10图
解：建立如图所示的坐标系，得到运动微分方程为
()()1111212122221323233332432()()m x k x k x x p m x k x x k x x p m x k x x k x p ++-=⎧⎪+-+-=⎨⎪+-+=⎩
化成标准形式：Mx
Kx P += 式中：123000000m M m m ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦，122223333400k k k M k k k k k k k +-⎡⎤⎢⎥=-+-⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦
，123p P p p ⎡⎤⎢⎥
=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
习题：
1、一质量弹簧阻尼系统，m =50kg ，k =5000N/m 。

求：（1）系统的固有频率；（2）临界
阻尼系数c c ；（3）c =0.5c c 时的对数衰减率 解：根据题意可得： （1）系统的固有频率：()rad 1050
5000===
m k n ω （2）系统的临界阻尼系数：()Nm 500050500022=⨯⨯==km c c （3）c =0.5c c 时，阻尼比：25.0100
5025000
5.02=⨯⨯⨯==
n m c ωζ 此时的对数衰减率：49.625
.012122
2
=-=
-=
πζ
πδ
2、用能量法求如图所示摆作微振动的固有频率。

摆锤重P ，图中每个弹簧刚度k /2。

杆重不计。

解：如图所示取倒置摆转角φ为坐标，顺时针为正，摆刚性杆处于垂直位置即静平衡位置时φ为0，重力势能为0。

（1）确定系统任一时刻势能和动能的表达式
任一时刻系统的动能为： 2)(2
1φ L m E T =
任一时刻系统的势能为：
)cos 1(21
)cos 1(2)(221222φφφφ-+=-+⨯⋅=mgL ka mgL a k U
（2）根据
()0=+dt
U E d T 求系统运动的微分方程 0sin )(22=++=+φφφφφ
mgL ka mL dt
U E d T 微小振动时: φφ≈sin ，且φ
不总为零。

因此系统无阻尼自由振动微分方程为：0)(22=++φφmgL ka mL
（3）求系统固有频率
系统固有频率： ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=+=+=122
22
2PL ka L g mgL
gmgL
gka mL
mgL
ka n ω 3、如图所示由悬架支承的车辆沿高低不平的道路行进。

试求M 的振幅与水平行进速度
v 的关系，并确定最不利的行进速度。

其中：M 为车辆簧上质量，k 为悬架刚度，v 为车速。

解：（1）确定路面变化规律
根据题意：不平道路的变化周期为：ω
π
2=T ，且L vT =。

因此L
v
πω2=
，不平道路路面的变化规律为：t L v Y t Y y πω2sin sin == （2）列写振动微分方程
()t kY kx x
m ky kx x m y x k x m ωsin =+⇒=+⇒--= 整理可得：t Y x x n n ωωωsin 2
2=+ ，其中m
k
n =
ω。

（3）确定振幅与行进速度的关系
由不平路面引起强迫振动，即微分方程的一个特解为：
()()()
t Y t H Y x n ωωωϕωωsin 1sin 2
-=
-=（其中：ζ=0，φ=0）
所以振幅与行进速度之间的关系为：
()
()2
22
222
4211mv kL Y
kL k
m L v Y
Y X n ππωω-=⋅-=-=
（4）确定最不利的行进速度
当ω= ωn ，即共振时，振动微分方程为：t Y x x n n n ωωωsin 2
2=+
()()()t t t Y t t t Y x n n n n n n ωωωωωωarctan sin 12
1cos sin 212
-+=-=⇒，
可见共振时振幅将随时间增大而增大，这种情况下的行进速度最不利。

由m k
L v n =
⇒
=πωω2，可得最不利的行进速度为：m
k
L v π2= 4、如图所示系统，求出系统的全部固有频率和振型，其中：m 1=4m ，m 2=2m ，m
3=m 。

解：如图所示，取x 1，x 2，x 3作为广义坐标。

（1）建立系统运动微分方程
系统动能：()2
322212421x x x m T ++= 系统势能：()()2
23212212
12123x x k x x k kx U -+-+=
由此可得：⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢
⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321 0
204 00020004x x x k k k k
k k k
m m m x K M 系统自由振动的微分方程为：0=+Kx x M
，即： 00
20400020004321321=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡x x x k k
k k k k k x x x m m m （2）求系统的固有频率
将质量矩阵M 、刚度矩阵K 代入频率方程：02=-M K ω ，可得：
00
22044222=-------m
k k
k m
k k k m
k ωωω
()()()()()
04422442222222=-------⇒m k k m k k m k m k m k ωωωωω
()()
0816324222=-+-⇒m k m km k ωωω
解此方程可得：m k ⋅-=
410421ω，m k =22ω，4
810423k ⋅+=ω 因此系统的三阶固有频率分别为：
m
k ⋅
-=
41041ω，m k =2ω，m k ⋅+=41042
3ω （3）求系统的固有振型
将质量矩阵、刚度矩阵代入振型方程()
02=-r r u M K ω可得：
00220
4432122
2
=⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎣
⎡-------r r r r r r u u u m k k
k m k k k m k ωωω k
m k u u r r r 21244ω-=
⇒ ()
()()
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=--=⇒=--+-≠-=-⋅-=⋅=⇒01022044421332212
22122313m k u u ku u m k ku m k k
m
k m k k u u u u u u r
r r r r r r r
r r r r r r r r ωωωωω
令u 1r =1，将2r ω（r =1, 2, 3）代入，可得系统的3阶固有振型为：
⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=41013121111u u u u ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1013222122u u u u ，⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11013323133u u u u
5、简述利用振型叠加法求多自由度系统稳态响应的一般思路与步骤。

答：
(1)判断系统的自由度数n ，并选取适当的广义物理坐标x ，其数目和自由度数相同； (2)列出广义物理坐标x 下系统运动微分方程和初始条件； (3)求出系统固有频率和振型矩阵u ；
(4)利用坐标变换关系x=uy 将系统运动微分方程及初始条件,从广义物理坐标x 转换到主坐标y 下,主坐标下的运动微分方程不存在耦合，各微分方程为相互独立的单自由度系统振动微分方程；
(5)分别解出主坐标y 下各个相互独立的单自由度系统振动微分方程的稳态解，即在激励作用下的稳态响应；
(6)利用展开定理x=uy ，将主坐标y 下各单自由度系统的振动稳态响应合成系统在
物理坐标x 下的响应。

6、用衰减振动法测定某系统的阻尼系数时，测得30个阻尼自由振动周期后，振幅由0.258mm 减少到0.10mm 。

求该系统的相对阻尼系数ζ。

解：对数衰减率δ为相邻两个阻尼自由振动周期的两个振幅之比的自然对数，则：
δn X X X X X X X X X X X X X X n n n n n =+++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅=--121
10121100ln ln ln ln ln
所以：n
X X n 0
ln
1=
δ 根据题意可得：0316.01
.0258.0ln 301ln 10===
n X X n δ
所求相对阻尼系数：()
()
005.00316
.020316
.022
2
2
2
=+=
+=
πδ
πδ
ζ
7、如图所示，轮子可绕水平轴转动，对转轴的转动惯量为I ，轮缘绕有软绳，下端挂有重量为
P 的物体，绳与轮缘之间无滑动。

在图示位置，由水平弹簧维持平衡。

半径R 与a 为已知，求微振动周期。

解：如图所示取滑轮转角θ为坐标，顺时针为正，系统处于静平衡位置时θ为零，因此分析时可不计重力势能。

则微振动过程中系统任意时刻的动能和势能为：
()⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧
=⋅⋅+=⋅⋅+=2
222222*********θθθθa k U R g P I x g P I E T 令：
()02=+⎪⎭
⎫
⎝⎛+=+x x k x
x m r I dt U E d T ，可得系统自由振动微分方程为：
02=+⎪⎭
⎫
⎝⎛+kx x m r I
故所求系统的固有频率为：2
2
2mr
I kr m r
I
k n +=
+=
⇒ω 8、简述单自由度系统求取周期激励稳态响应的一般思路与步骤。

答：(1)、建立坐标系后，建立运动微分方程；
(2)、将周期激励用傅立叶级数展开分解成谐波激励和的形式； (3)、分别求取各谐波激励下的稳态响应；
(4)、利用线性叠加原理，将各谐波激励下的稳态响应求和即得到周期激励下的稳态响应。