2019年山东省各地市一模试题分类汇编(理科)——三角函数

2019年山东省各地市一模数学试题分类汇编理科
三角函数
一、选择题
1.（临沂一模4）把函数
的图象上各点的横坐标缩短为原来的 (纵坐标不变)，
再将图象向右平移个单位长度得到函数，则下列说法正确的是
A. 在
上单调递增
B. 的图象关于
对称
C.
的最小正周期为
D.
的图象关于y 轴对称
【答案】A
【分析】根据函数图像伸缩平移变换，可得函数，再根据性质即可判断出选项。

【解析】函数
的图象上各点的横坐标缩短为原来的可得
再将图象向右平移个单位长度得到函数
，则
=
周期为T= 对称中心为k ∈Z 对称轴为x=k ∈Z
单调递增区间为k ∈Z
所以选A
【点评】本题考查了三角函数平移变化，对称轴、对称中心、单调区间和周期的求法，属于基础题。

2.（青岛一模4）已知函数)2
,0)(sin()(π
ϕωϕω<>+=x x f 图象的相邻两对称中心的距离
为
2π，且对任意R ∈x 都有)4
()4(x f x f -=+π
π，则函数)(x f y =的一个单调递增区间可以为（ ） （A ）]02[，π
-
（B ）]326[ππ， （C ）]434[ππ， （D ）]4
4[π
π，-
【答案】D
3.（烟台一模5）在平面直角坐标系xOy中，角θ的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重
合，终边经过点（﹣3，1），则cos2θ＝（）
A．B．C．D．
【分析】由任意角的三角函数的定义求得sinθ，然后展开二倍角公式求cos2θ．
【解析】∵角θ的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点（﹣3，1），
∴|OP|＝，
∴sinθ＝．
则cos2θ＝1﹣2sin2θ＝．
故选：D．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查任意角的三角函数的定义，是基础题．
4.（菏泽一模6）在区间上随机取一个数，则的值介于0到之间的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】结合题意，计算满足条件的x的范围，结合几何概型计算公式，计算，即可。

【解析】在区间内满足关系的x的范围为，故概率为
，故选A。

【点评】考查了三角函数的基本性质，考查了几何概型计算公式，关键计算出满足条件的x 的范围，计算概率，即可，难度中等。

5.（济宁一模7）若则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】直接利用三角函数的诱导公式和同角三角函数关系式的应用求出结果．
【解析】sinx＝3sin（x-）＝﹣3cosx，
解得：tanx＝﹣3，
所以：cosxcos（x）＝﹣sinxcosx==，
故选：A．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，诱导公式,同角三角函数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
6.（烟台一模9）将函数的图象向右平移个
单位长度后，所得图象关于y轴对称，且，则当ω取最小值时，函数f（x）的解析式为（）
A．B．
C．D．
【分析】由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，可得所得函数的解析式，由，求出φ，再根据所得图象关于y轴对称求出ω，可得f（x）的解析式．【解析】将函数的图象向右平移个单位长度后，
可得y＝sin（ωx﹣+φ）的图象；
∵所得图象关于y轴对称，∴﹣+φ＝kπ+，k∈Z．
∵＝sin（π+φ）＝﹣sinφ，即sinφ＝，则当ω取最小值时，φ＝，
∴﹣＝kπ+，取k＝﹣1，可得ω＝4，∴函数f（x）的解析式为f（x）＝sin（4x+），故选：C．
【点评】本题主要考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的性质，属于中档题．
7.（泰安一模8）函数的部分图象如图所示，为了得
到的图象，只需将的图象
A. 向右平移个单位
B. 向右平移个单位
C. 向左平移个单位
D. 向左平移个单位
【答案】B
【解析】由图象知，，，，
，得，所以，为了得到的图象，所以只需将的图象向右平移个长度单位即可，故选D．
8.（潍坊一模7）若函数的图象过点，则（）
A. 点是的一个对称中心
B. 直线是的一条对称轴
C. 函数的最小正周期是
D. 函数的值域是
【答案】D
【分析】根据函数f（x）的图象过点（0，2），求出θ，可得f（x）＝cos2x+1，再利用余弦函数的图象和性质，得出结论．
【解析】由函数f（x）＝2sin（x+2θ）•cos x（0＜θ）的图象过点（0，2），
可得2sin2θ＝2，即sin2θ＝1，∴2θ，∴θ，
故f（x）＝2sin（x+2θ）•cos x＝2cos2x＝cos2x+1，
当x时，f（x）＝1，故A、B都不正确；
f（x）的最小正周期为π，故C不正确；
显然，f（x）＝cos2x+1∈[0，2]，故D正确，
故选：D．
【点评】本题主要考查余弦函数的图象和性质，属于中档题．
9.（聊城一模6）设函数f（x）＝sin x﹣cos x，若对于任意的x∈R，都有f（2θ﹣x）＝f（x），则sin（2θ﹣）＝（）
A．B．﹣C．D．﹣
【解析】f（x）＝sin x﹣cos x＝，
由f（2θ﹣x）＝f（x），得，
∴，k∈Z（舍），或，k∈Z．
则2θ＝，k∈Z．
∴sin（2θ﹣）＝sin（）＝﹣cos＝﹣．
故选：B．
10.（济宁一模10）已知函数的零点构成一个公差为的等差数列，把函数的图象沿轴向右平移个单位，得到函数的图象．关于函数，下列说法正确的是( )
A. 在上是增函数
B. 其图象关于直线对称
C. 函数是偶函数
D. 在区间上的值域为
【答案】D
【分析】化简f（x）=2sin（ωx），由三角函数图象的平移得：g（x）＝2sin2x，
由三角函数图象的性质得y＝g（x）的单调性，对称性，再由x时，求得函数g（x）值域得解.
【解析】f（x）＝sinωx cosωx＝2sin（ωx），
由函数f（x）的零点构成一个公差为的等差数列，
则周期T＝π，即ω＝2，
即f（x）＝2sin（2x），
把函数f（x）的图象沿x轴向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，
则g（x）＝2sin[2（x）]＝2sin2x，
当≤2x≤,即≤x≤, y＝g（x）是减函数，故y＝g（x）在[，
]为减函数，
当2x=即x（k∈Z）,y＝g（x）其图象关于直线x（k∈Z）对称,且
为奇函数，
故选项A，B，C错误，
当x时，2x∈[，]，函数g（x）的值域为[，2]，
故选项D正确，
故选：D．
【点评】本题考查了三角函数图象的平移、三角函数图象的性质及三角函数的值域，熟记三角函数基本性质，熟练计算是关键，属中档题
11.（临沂一模9）在中，角A，B，C所对的边分别为
A. 1
B.
C.
D.
【答案】C
【分析】将结合正弦定理化简，求得B，再由余弦定理即可求得b。

【解析】因为，展开得
，由正弦定理化简得
，整理得
即，而三角形中0<B<π，所以
由余弦定理可得，代入
解得
所以选C
【点评】本题考查了三角函数式的化简，正弦定理与余弦定理的应用，属于基础题。

12.（枣庄一模9）将函数图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再将所
得图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），则所得图象对应的函数解析式为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】将图象上所有的点向左平行移动个单位长度得，再将所得
图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍得，再利用诱导公式得出结果.
【解析】先将函数图象上所有的点向左平行移动个单位长度得
再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不
变）得
故选A
【点评】本题考查了正弦函数的图像变化和诱导公式，正确的掌握图像的平移变化和伸缩变化是解题的关键.
13.（泰安一模10）在中，三边长分别为，，最小角的余弦值为，则这
个三角形的面积为
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】设最小角为α，故α对应的边长为a，然后利用余弦定理化简求解即可得a的值，再由三角形面积公式求解即可．
【解析】设最小角为α，故α对应的边长为a，
则cosα，解得a＝3．
∵最小角α的余弦值为，
∴．
∴．
故选：A．
【点评】本题考查余弦定理，考查三角形面积公式的应用，是基础题．
14.（济南一模10）若函数在上的值域为，则的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】要使的值域为，得到的范围要求，则要在其范围内，然后得到的范围，找到最小值.
【解析】
而值域为，发现
，
整理得，
则最小值为，选A项.
【点评】本题考查正弦型函数图像与性质，数形结合的数学思想，属于中档题.
15.（枣庄一模11）已知函数，，且在，
上单调，则的值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】根据题意求得函数的一条对称轴和一个对称中心，再结合在，
上单调，求得函数的周期，求得的值.
【解析】因为，所以函数，的一条对称轴为
，又，即函数的一个对称中心为
所以
又因为在，单调，所以
所以周期
又因为
故选B.
【点评】本题考查了三角函数的图像和性质，对于三角函数的图像以及性质的数量运用是解
题的关键，一定要会利用在，上单调这个条件，属于中档题.
16.（淄博一模12）函数，若最大值为，最小值为，则（）
A. ，使
B. ，使
C. ，使
D. ，使
【答案】D
【分析】通过对进行化简整理，可以得到与的解析式，依次排除掉选项，可得结果.
【解析】
，
选项：，所以错误；
选项：
，所以错误；
选项：，所以错误；
选项：
设
可知：，所以正确.
本题正确选项：
【点评】本题考查三角恒等变换以及与三角函数有关的值域问题，关键在于通过整理能够得到与
有关的函数解析式，从而利用
的范围，求解函数的值域.
17.（青岛一模11）在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵。

已知在堑堵111C B A ABC -中， 90=∠ABC ，21==AA AB ，
22=BC ，则1CA 与平面11A ABB 所成角的大小为（ ）
（A ） 30 （B ） 45 （C ） 60 （D ） 90 【答案】B
18.（日照一模11）己知函数()()sin ,2,2,2223sin ,2,2,
222x x k k k z y x x k k k z ππππππππππ⎧⎛⎫⎡⎫+∈-+∈ ⎪⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣
⎭=⎨⎛⎫⎡⎫⎪-+∈++∈ ⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭⎩
的图
象
与
直
线
()()
2y m x m =+>0恰有四个公共点
()()()()11123344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ，其中1234x x x x <<<，则()442tan x x +=
A ．1-
B ．0
C ．1
D
2+ 【答案】A
【解析】直线(2)(0)y m x m =+>与函数cos y x =图象恰有四个公共点，结合图象知直线(2)(0)y m x m =+>与函数cos y x =-相切于4x ，4,2x π⎛⎫
∈π
⎪⎝⎭
，因为sin y x '=，故4sin k x ==
4
4cos 2
x x -+，所以44(+2)tan 1x x =-.
二、填空题
19.（菏泽一模13）已知锐角满足，则__________．
【答案】
【分析】利用余弦的两角和公式，展开，结合，代入，计算，即可。

【解析】，解得
,根据
，
代入，计算，解得
,得到。

【点评】考查了余弦的两角和公式，考查了三角函数角关系公式，难度中等。

20.（青岛一模13）若2tan =θ，则=+)2cos(πθ 。

【答案】
21.（临沂一模13）已知_____________．
【答案】
【分析】根据降幂公式，化简；将
两边平方，化简
即可求得，代入式中即可求值。

【解析】因为
两边同时平方得
即
由降幂公式可知
【点评】本题考查了降幂公式与同角三角函数关系式的应用，二倍角公式的应用，属于基础题。

22.（泰安一模15）若，
，则
_______．
【答案】
【分析】由
化简得到：
，再对
变形即可。

【解析】由得：
即：，又
解得：，
所以。

【点评】本题主要考查了诱导公式及二倍角公式，考查计算能力及观察能力，属于基础题。

23.（青岛一模16）在ABC ∆中， 60=∠B ，3=b ，若m a c ≤-2恒成立，则m 的最小
值为 。

【答案】
24．（烟台一模15）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若，
则△ABC 周长的最大值为 ． 【答案】6
【分析】由正弦定理化简已知等式可得：sin A sin B ＝sin B cos A ，结合sin B ＞0，可求tan A
＝
，结合范围A ∈（0，π），可求A ＝
，由余弦定理，基本不等式可求4≥bc ，进而
可求b +c ≤4，即可计算得解△ABC 周长的最大值． 【解析】∵
， ∴由正弦定理可得：sin A sin B ＝sin B cos A ，
∵sin B ＞0， ∴sin A ＝
cos A ，可得：tan A ＝
， ∵A ∈（0，π）， ∴A ＝
，
∴由余弦定理a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，可得：4＝b 2+c 2﹣bc ≥2bc ﹣bc ＝bc ，当且仅当b ＝c 时等号成立，
∴由4＝b 2+c 2﹣bc ＝（b +c ）2﹣3bc ，可得：（b +c ）2＝4+3bc ≤4+3×4＝16， 即b +c ≤4，当且仅当b ＝c 时等号成立，
∴△ABC 周长a +b +c ≤2+4＝6，即其最大值为6． 故答案为：6．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
三、解析题
25.（济南一模17）的内角，，的对边分别为，，，已知，
，.
（1）求角；
（2）若点满足，求的长.
【分析】（1）解法一：对条件中的式子利用正弦定理进行边化角，得到的值，从而得到角的大小；解法二：对对条件中的式子利用余弦定理进行角化边，得到的值，从而得到角的大小；解法三：利用射影定理相关内容进行求解.
（2）解法一：在中把边和角都解出来，然后在中利用余弦定理求解；解法二：在中把边和角都解出来，然后在中利用余弦定理求解；解法三：将用
表示，平方后求出的模长.
【解析】（1）【解法一】由题设及正弦定理得，
又，
所以.
由于，则.
又因为，
所以.
【解法二】由题设及余弦定理可得，
化简得.
因为，所以.
又因为，
所以.
【解法三】由题设，
结合射影定理，
化简可得.
因为.所以.
又因为，
所以.
（2）【解法1】由正弦定理易知，解得.
又因为，所以，即.
在中，因为，，所以，
所以在中，，，
由余弦定理得，
所以.
【解法2】在中，因为，，所以，.
由余弦定理得.
因为，所以.
在中，，，
由余弦定理得
所以.
【解法3】在中，因为，，所以，.
因为，所以.
则
所以.
【点评】本题主要考察利用正余弦定理解三角形问题，方法较多，难度不大，属于简单题.
26.（菏泽一模17）已知锐角的内角的对边分别为，且，
，.
（1）求角的大小；
（2）求的周长.
【分析】（1）结合正弦定理，处理题目所给信息，结合A角的范围，计算，即可。

（2）结合余弦定理，得到的值，计算周长，即可。

【解析】（1）因为，显然，
所以，
由正弦定理，得，
又因为，，所以，解得
又，所以
（2）由（1）知，即，
由余弦定理，得
所以，所以，解得：
所以的周长.
【点评】考查了正弦定理，考查了余弦定理，关键结合题意，利用正余弦定理，计算相关量，即可，难度中等。

27.（潍坊一模17）的内角、、的对边分别为，，，点为的中点，已知
，，.
（1）求角的大小和的长；
（2）设的角平分线交于，求的面积.
【分析】（1）由三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得tan C，结合范围C∈（0，π），可求C的值，由余弦定理可得BD的值．
（2）由（1）可知BD2+BC2＝4＝CD2，可求∠DBC，可得S△DBC，利用三角形的面积公式可求S△BCE S△CED，代入S△BCE+S△CED＝S△BCD，即可解得S△CED的值．
【解析】（1）∵由题意可得：sin C+1﹣2sin20，
∴sin C+cos（A+B）＝0，
又A+B＝π﹣C，
∴sin C﹣cos C＝0，可得tan C，
∵C∈（0，π），
∴C，
∴在△BCD中，由余弦定理可得：BD2＝3+4﹣21，
解得：BD＝1，
（2）由（1）可知BD2+BC2＝4＝CD2，
∴∠DBC，
∴S△DBC BD•BC，
∵CE是∠BCD的角平分线，
∴∠BCE＝∠DCE，
在△CEB和△CED中，S△BCE，
S△CED，可得：，
∴S△BCE S△CED，
∴代入S△BCE+S△CED＝S△BCD，（1）S△CED，
∴S△CED（2）＝23．
【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和数形结合思想，考查了转化思想的应用，属于中档题．
28.（枣庄一模17）在中，角的对边分别是，其面积满足．（Ⅰ）求角；
（Ⅱ）设的平分线交于，，，求．
【分析】（1）由余弦定理可得，代入题中条件即可得解；
（2）在中,由正弦定理得，从而得，可得，再由代入即可得解.
【解析】（1）由得
得
（2）在中,由正弦定理得
所以
所以
所以
【点评】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角恒等变换求值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
29.（淄博一模17）在中，角的对边分别为，且满足. （1）求角；
（2）若，的面积为，求的周长.
【分析】(1)本题首先可以通过正弦定理、两角和的正弦公式以及三角形内角和将
转化为，即可得出角的值；
(2)首先可通过余弦定理求出的值，再通过解三角形面积公式即可求出的值，最后求出周长。

【解析】（1）因为，
所以，
即
由，得，
得，因为，所以；
（2）由余弦定理，
得，即
， 因为，所以
，
所以，
， 所以
周长为。

【点评】本题考查了三角函数的相关性质，主要考查了三角恒等变换以及解三角形的相关公式，解三角形相关公式有：
，
，
，考查
计算能力，考查化归思想，是中档题。

30.（日照一模17）在ABC ∆角中，角A 、B 、C 的对边分别是a b c 、、，若s i n
a B A
=．
(1)求角A ；
(2)若ABC ∆的面积为5a =，求ABC ∆的周长．
【解析】（1）由正弦定理得：sin sin cos A B B A =，…………………………3分
sin 0B ≠，
∴tan A =
A 是ABC ∆的内角，
∴60A ︒=. ………………………………………6分
（2）
ABC ∆的面积为
∴1
sin 2
bc A =由（1）知°60A =，
∴8bc =， ……………………9分
由余弦定理得：()2
22222
2cos 3a b c bc A b c bc b c bc =+-=+-=+-，
∴()
2
2425b c +-=，
得：7b c +=，
∴ABC ∆的周长为12. ………………12分
31.（聊城一模17）在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝3BD，cos∠BAD＝．
（1）求cos∠ABD；
（2）若AD＝4，CD＝3，求BC．
【解析】解：（1）设BD＝x，则AB＝3x，
∵cos∠BAD＝．
由余弦定理可得，
解可得，AD＝2x，
由余弦定理可得，cos∠ABD＝＝＝；
（2）∵AD＝4＝2x，
∴x＝2，
∵cos∠CDB＝cos∠ABD＝，CD＝3，BD＝2，
在△BCD中，由余弦定理可得，BC2＝BD2+DC2﹣2DB•DC•cos∠BDC
＝4+9﹣2×2×3×＝9
∴BC＝3．
32.（德州一模17）已知函数
求的单调递增区间；
在中，角A，B，C的对边分别为a，b，若，，求面积的最
大值．
【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得的单调递增区间．
由，求得A，利用余弦定理、基本不等式求得bc的最大值，再根据，面积为，可得它的最大值．
【解析】解：函数
，
令，求得 π，可得函数的增区间为
，∈．
在中，若，，．，面积为．
再根据余弦定理可得，
，，面积为，
故面积的最大值为．
【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，余弦定理、基本不等式的应用，属于基础题．。