考点18 平面向量的数量积及其应用-2019-2020学年浙江数学学业水平测试之考点解密 Word

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考点18 平面向量的数量积及其应用
考点梳理
1．平面向量的数量积
(1）平面向量数量积的定义:已知a,b是两个非零向量，它们的夹角为θ，则|a|｜b|cos θ叫做a和b的数量积（或内积)，记作a·b，即a·b＝|a|｜b|cosθ.规定：零向量与任一向量的数量积为0.
(2）平面向量数量积的几何意义:数量积a·b等于a的长度｜a|与b在a方向上的投影|b｜cosθ的乘积．
（3)平面向量数量积的运算律：①a·b＝b·a；②（λa)·b＝λ（a·b)＝a·(λb）（λ为实数）；③（a＋b）·c＝a·c＋b·c。

(4）平面向量数量积的坐标表示:
①设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2）,则a·b＝x1x2＋y1y2.
②向量的模：若a＝(x，y），则｜a|2＝x2＋y2或｜a｜＝x2＋y2;若错误!＝(x1，y1)，错误!＝（x2，y2),则|错误!｜
＝错误!。

③两向量的夹角公式:设θ为非零向量a与b的夹角，a＝(x1，y1)，b＝（x2，y2），则cosθ＝错误!。

④向量垂直的条件：设a＝(x1，y1），b＝(x2,y2)，则向量a，b垂直的条件是当且仅当
x 1x
2
＋y1y2＝0.
2．平面向量应用举例
（1)平面向量在平面几何中的简单应用．(2）平面向量在物理中的简单应用．
例题讲解
【例1】已知｜a|＝6,｜b|＝4，a与b的夹角为60°，求（a＋2b)·(a－3b)．【解析】(a＋2b)·(a－3b)＝a·a－a·b－6b·b＝|a｜2－|a｜｜b｜cosθ－6｜
b｜2＝62－6×4×cos60°－6×42＝－72.
【变式训练】已知｜a｜＝5,｜b|＝4，a与b的夹角为120°，则a·b＝__________．
【答案】－10 【分析】a·b＝4×5×(－1
2
）＝－10.
【例2】设向量a＝(x－2，2）,b＝（4，y），c＝（x,y），x，y∈R,若a⊥b，则错误!的最小值是( ）
A。

错误! B。

错误! C．2 D。

错误!
【解析】∵a⊥b，∴a·b＝0得到2x－y－4＝0，所以错误!的最小值是原点到直线的距离d＝错误!＝错误!，故选B。

【变式训练】向量a＝（－3，1）,b＝（2，λ），λ∈R，若a⊥b，则|a＋b｜＝________。

【答案】5错误!【分析】a＝(－3，1),b＝（2,λ)，λ∈R，a⊥b,λ＝6,a＋b＝(－1,7)，｜a＋b|＝52。

【例3】在△ABC中，AB＝2，AC＝3,错误!·错误!＝2,若点P满足错误!＝2错误!，则错误!·错误!＝____________．
【解析】错误!·错误!＝（错误!错误!＋错误!错误!）·(错误!－错误!）＝错误!错误!2－错误!错误!2－错误!错误!·错误!＝4.
【变式训练】在边长为1的正三角形ABC中，错误!·错误!＝____________．
【答案】错误!【分析】错误!·错误!＝1×1×(错误!）＝错误!.
【例4】若a＝(λ，2），b＝(－3，5)，且a与b的夹角是钝角,则λ的取值范围是( )
A．（错误!，＋∞) B．［错误!,＋∞) C．（－∞，错误!） D．（－∞，错误!］
【解析】由题意可得:a·b＝－3λ＋2×5<0，可得λ的取值范围是(错误!，＋∞)．【变式训练】已知|a|＝1，｜b|＝2,a与b的夹角为60°，则a＋b在a上的投影为__________．
【答案】2 【分析】因为(a＋b）·a＝a2＋a·b＝1＋1×2×错误!＝2，所以a＋b 在a上的投影为错误!＝错误!＝2。

巩固训练
一、选择题
1．已知平面向量a，b的夹角为错误!,错误!＝2，错误!＝1，则错误!＝（)
A．2 B。

错误! C．1 D.错误!
【答案】C 【分析】a·b＝错误!·错误!cos错误!＝－1，错误!＝1故选C.
2．已知a,b满足:｜a|＝3,｜b|＝2,｜a＋b|＝4，则|a－b|＝（)
A.错误!
B.错误! C．3 D.错误!
【答案】D 【分析】｜a｜＝3,|b｜＝2，｜a＋b|＝4，a·b＝错误!，则｜a－b|＝错误!＝错误!＝错误!，故选D.
3．已知向量a＝(λ，1），b＝(λ＋2,1），若错误!＝错误!,则实数λ的值为（） A．－1 B．1 C．－2 D．2
【答案】A 【分析】由错误!＝错误!有错误!2＝错误!2,展开化简得a·b＝0，所以λ错误!＋1＝0,λ＝－1，选A.
4．平面上有四个互异点A、B、C、D，已知（错误!＋错误!＋2错误!)·(错误!－错误!)＝0，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．无法确定
【答案】C 【分析】∵错误!＋错误!＋2错误!＝错误!－错误!＋错误!－错误!＝错误!＋错误!,∴错误!·错误!＝0⇔（错误!＋错误!)·(错误!－错误!）＝0⇔错误!错误!|2，∴错误!，即b＝c,
∴△ABC为等腰三角形．故选C。

5．已知△ABC的外接圆半径为1，圆心为O，且错误!＋错误!＋错误!错误!＝0，则△ABC 的面积为（)
A．1＋错误! B.错误!＋错误! C．1＋错误! D.错误!＋错误!
【答案】D 【分析】由错误!＋错误!＋错误!错误!＝0得错误!＋错误!＝－错误!错误!两边平方可得错误!·错误!＝0，则∠AOB＝90°；由错误!＋错误!＋错误!错误!＝0得错误!＋错误!错误!＝－错误!，两边平方可得错误!·错误!＝－错误!，则∠AOC＝135°;同理可得∠BOC＝
135°，则△ABC的面积为S△AOB＋S△BOC＋S△AOC＝1
2
＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!，故选D.
6．四边形ABCD中,AB＝BC，AD⊥DC，AC＝2，∠ACD＝θ，若错误!·错误!＝错误!，则cos2θ等于（）
A.错误! B。

错误! C。

错误! D。

错误!
【答案】D 【分析】如图所示，取AC的中点O，连接OD,OB，
∵AB＝BC，OA＝OC，∴OB⊥AC，∴错误!·错误!＝0；
又∵DB→·错误!＝错误!,∴|错误!｜＝错误!,
∴cosθ＝错误!；∴cos2θ＝2cosθ2－1＝错误!。

故选D。

二、填空题
7．已知a＝（2，－3）,b＝（－3，4)，则a－b在a＋b方向上的投影为____________．【答案】－6错误!【分析】a＝(2,－3),b＝（－3，4），∴a－b＝（5，－7），a＋b＝(－1，1)，∴(a－b)·（a＋b）＝5×(－1)＋（－7)×1＝－12，错误!＝错误!，∴a－b在a＋b方向上的投影为错误!cosθ＝错误!＝错误!＝－6错误!，故答案为－6错误!。

8．已知|a｜＝1,|b｜＝错误!，（a＋b)⊥(2a－b),则向量a与b的夹角为____________．【答案】错误!【分析】（a＋b）·(2a－b)＝0，即2a2＋a·b－b2＝0，所以a·b ＝0,则a⊥b，所以夹角为错误!。

9．已知非零向量a，b满足a⊥(a＋b),b⊥（4a＋b），则错误!＝____________．
【答案】2 【分析】由已知有a·（a＋b）＝0,b·（4a＋b)＝0,b2＝4a2，b＝2a，错误!＝2。

三、解答题
10．已知向量a＝（1，2），b＝(－3，4）．
（1）求a＋b与a－b的夹角；
（2）若a⊥（a＋λb），求实数λ的值．
【解】（1)由条件中a＝(1，2），b＝(－3，4)可求得a＋b＝(－2，6)与a－b＝(4，－2），从而可求得(a＋b)（a－b)＝－2·4＋6·（－2）＝－20，错误!＝错误!,错误!＝错误!，再由平面向量数量积的定义(a＋b）(a－b)＝|a＋b|·|a－b｜·cos〈a＋b，a－b〉可求得cos〈a＋b，a－b>＝－错误!，从而可知夹角为错误!π；
（2）由a⊥(a＋λb)可知a·（a＋λb）＝0，再由已知条件a＝（1，2)，b＝(－3,4）可求得a＋λb＝(1－3λ，2＋4λ）,从而可以得到关于λ的方程1－3λ＋4＋8λ＝0即可解得λ＝－1。