2019年高考理数母题题源系列(全国Ⅲ专版)(解析版) 不等式选讲

【母题原题1】【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设,,x y z ∈R ，且1x y z ++=．
（1）求222
(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；
（2）若222
1
(2)(1)()3
x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥-． 【答案】（1）
4
3
；（2）见解析． 【解析】（1）由于2
[(1)(1)(1)]x y z -++++
222(1)(1)(1)2[(1)(1)(1)(1)(1)(1)]x y z x y y z z x =-+++++-++++++-
222
3(1)(1)(1)x y z ⎡⎤≤-++++⎣⎦，
故由已知得222
4
(1)(1)(1)3
x y z -++++≥， 当且仅当x =
53，y =–13，1
3
z =-时等号成立． 所以222
(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43
．
（2）由于2
[(2)(1)()]x y z a -+-+-
222(2)(1)()2[(2)(1)(1)()()(2)]x y z a x y y z a z a x =-+-+-+--+--+--
222
3(2)(1)()x y z a ⎡⎤≤-+-+-⎣⎦，
故由已知2
2
2
2
(2)(2)(1)()3
a x y z a +-+-+-≥，
当且仅当43a x -=
，13a y -=，22
3
a z -=时等号成立． 因此2
2
2
(2)(1)()x y z a -+-+-的最小值为2
(2)3
a +．
专题不等式选讲
由题设知2(2)1
33
a +≥，
解得3a ≤-或1a ≥-．
【名师点睛】两个问都是考查柯西不等式，属于柯西不等式的常见题型． 【母题原题2】【2018年高考全国Ⅲ卷理数】设函数()211f x x x =++-． （1）画出()y f x =的图像；
（2）当[)0x +∞∈，，()f x ax b ≤+，求a b +的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）最小值为5．
【解析】（1）13,,21()2,1,23, 1.x x f x x x x x ⎧
-<-⎪⎪
⎪
=+-≤<⎨⎪
≥⎪⎪⎩
()y f x =的图像如图所示．
（2）由（1）知，()y f x =的图像与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当3a ≥且2b ≥时，()f x ax b ≤+在[0,)+∞成立，因此a b +的最小值为5．
【名师点睛】本题主要考查函数图像的画法，考查由不等式求参数的范围，属于中档题． 【母题原题3】【2017年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数f （x ）=│x +1│–│x –2│． （1）求不等式f （x ）≥1的解集；
（2）若不等式()2
f x x x m ≥-+的解集非空，求m 的取值范围．
【答案】（1）{}
1x x ≥；（2）54⎛
⎤∞ ⎥⎝⎦
-，
【解析】（1）()31211232,x f x x ,x ,x -<-⎧⎪
=--≤≤⎨⎪>⎩
，
当1x <-时，()1f x ≥无解；
当12x -≤≤时，由()1f x ≥得，211x -≥，解得12x ≤≤； 当2x >时，由()1f x ≥解得2x >． 所以()1f x ≥的解集为{}
1x x ≥．
（2）由()2
f x x x m ≥-+得2
12m x x x x ≤+---+，而
2
223551212244x x x x x x x x x ⎛
⎫+---+≤++--+=-+≤ ⎪⎝
⎭-，
且当32x =
时，2
5124
x x x x +---+=． 故m 的取值范围为54⎛
⎤∞ ⎥⎝
⎦
-，．
【名师点睛】绝对值不等式的解法有三种：
法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明；了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法．主要考查考生的数学运算能力，以及对分类讨论思想和数形结合思想的应用．
【命题规律】主要考查绝对值不等式的求解、恒成立问题、存在性问题以及不等式的证明，多以解答题的形式呈现，难度中等，分值10分． 【知识总结】 1．基本不等式
定理1：如果a ，b ∈R ，那么a 2+b 2≥2ab ，当且仅当a=b 时，等号成立．
定理2：（基本不等式）如果a ，b>0，那么
2
a b
+，当且仅当a=b 时，等号成立． 即两个正数的算术平均不小于（大于或等于）它们的几何平均．
定理3：如果a ，b ，c ∈R +，那么
3
a b c ++a=b=c 时，等号成立． 即三个正数的算术平均不小于它们的几何平均．
推广：对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即
12…n a a a n
+++a 1=a 2=…=a n 时，等号成立．
2．绝对值不等式的解法
（1）含绝对值的不等式|x|<a 与|x|>a 的解集：
不等式a>0 a=0 a<0 |x|<a{–a<x<a} ⌀⌀
|x|>a
{x|x>a或x<–
a} {x|x≠0且x∈
R}
R
（2）|ax+b|≤c和|ax+b|≥c型不等式的解法：
①若c>0，则|ax+b|≤c等价于–c≤ax+b≤c，|ax+b|≥c等价于ax+b≥c或ax+b≤–c，然后根据a，b的值解出即可；
②若c<0，则|ax+b|≤c的解集为⌀，|ax+b|≥c的解集为R．
（3）|x–a|+|x–b|≥c（或≤c）（c>0），|x–a|–|x–b|≤c（或≥c）（c>0）型不等式的解法：
零点分区间法零点分区间法的一般步骤为：
①令每个绝对值符号内的代数式为零，并求出相应的根；
②将这些根按从小到大排序，并把实数集分成若干个区间；
③由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出解集；
④取各个不等式解集的并集即可得到原不等式的解集．
几何法（利用
|x–a|的几何意义）由于|x–a|+|x–b|与|x–a|–|x–b|分别表示数轴上与x对应的点到与a，b对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|x–a|+|x–b|≤c （c>0）或|x–a|–|x–b|≥c（c>0）的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观．
数形结合法
通过构造函数，利用函数的图象求解，体现函数与方程的思想，
正确求出函数的零点并画出函数图象是解题的关键．注意：分区间讨论时，一是不要把分成的区间的端点遗漏；二是原不等式的解集是若干个不等式解集的并集，而不是交集．
（4）|f（x）|>g（x），|f（x）|<g（x）（g（x）>0）型不等式的解法：
①|f（x）|>g（x）⇔f（x）>g（x）或f（x）<–g（x）；
②|f（x）|<g（x）⇔–g（x）<f（x）<g（x）．
3．绝对值三角不等式
定理1：如果a，b是实数，则|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．
定理2：如果a，b，c是实数，那么|a–c|≤|a–b|+|b–c|，当且仅当（a–b）（b–c）≥0时，等号成立．
上述定理还可以推广到以下两个不等式：
（1）|a1+a2+…+a n|≤|a1|+|a2|+…+|a n|；
（2）||a|–|b||≤|a±b|≤|a|+|b|．
4．证明不等式的基本方法
（1）比较法
①作差法：要证明a>b，只需证a–b>0．
②作商法：要证明a>b，b>0，只要证a
b
>1．
（2）综合法
从已知条件、不等式的性质和基本不等式等出发，通过逻辑推理，推导出所要证明的结论．
（3）分析法
从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实（定义、公理或已证明的定理、性质等），从而得出要证的命题成立．（4）反证法
先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件（或已证明的定理、性质、明显成立的事实等）矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立．
（5）放缩法
证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的．
5．柯西不等式
（1）二维形式的柯西不等式
定理1：若a，b，c，d都是实数，则（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，当且仅当ad=bc 时，等号成立．
（2）柯西不等式的向量形式
定理2：设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α|·|β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α=kβ时，等号成立．
（3）二维形式的三角不等式
定理3：设x 1，y 1，x 2，y 2∈R ． （4）一般形式的柯西不等式
定理：设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则（21a +22a +…+2
n a ）·（21b +22b +…+2n b ）≥（a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n ）2，当且仅当b i =0（i=1，2，…，n ）或存在一个
数k ，使得a i =kb i （i=1，2，…，n ）时，等号成立． 【方法总结】
1．解绝对值不等式的常用方法
（1）基本性质法：对a ∈R +，|x|<a ⇔–a<x<a ，|x|>a ⇔x<–a 或x>a ． （2）平方法：两边平方去掉绝对值符号．
（3）零点分区间法（或叫定义法）：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式（组）求解．
（4）几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值问题转化为数轴上两点的距离问题求解．
（5）数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解．
2．含绝对值不等式的恒成立问题的常见类型及其解法
（1）分离参数法：运用“f （x ）≤a ⇔f （x ）max ≤a ，f （x ）≥a ⇔f （x ）min ≥a ”可解决恒成立问题中的参数范围问题．
求最值的思路：①利用基本不等式和不等式的相关性质解决；②将函数解析式用分段函数形式表示，作出函数图象，求得最值；③利用性质“||a|–|b||≤|a±b|≤|a|+|b|”求最值． （2）更换主元法：求解含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常困难或不可能解决时，可转换思维角度，将主元与参数互换，常可得到简捷的解法．
（3）数形结合法：在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维与抽象思维各自的优势，可更直观解决问题．
注意：不等式的解集为R 是指不等式恒成立问题，而不等式的解集为⌀的对立面也是不等式恒成立问题，如f （x ）>m 的解集为⌀，则f （x ）≤m 恒成立． 3．不等式能成立问题
（1）在区间D 上存在实数x 使不等式f （x ）>A 成立，等价于在区间D 上f （x ）max >A ； （2）在区间D 上存在实数x 使不等式f （x ）<B 成立，等价于在区间D 上f （x ）min <B ． 4．不等式恰成立问题
（1）不等式f （x ）>A 在区间D 上恰成立，等价于不等式f （x ）>A 的解集为D ； （2）不等式f （x ）<B 在区间D 上恰成立，等价于不等式f （x ）<B 的解集为D ． 5．证明不等式的常用方法有比较法、综合法、分析法．如果已知条件与待证结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证命题是否定性命题、唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出的，则考虑用反证法；如果待证不等式与自然数有关，则考虑用数学归纳法．在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明，用换元法证明不等式时，要注意新元的取值范围．
证明不等式常用的思路：利用基本不等式、绝对值三角不等式、绝对值的含义将问题转化为函数问题求解．
6．利用基本不等式、柯西不等式求最值的方法
（1）在运用基本不等式求函数的最大（小）值时，常需要对函数式作“添、裂、配、凑”变形，使其完全满足基本不等式要求的“正、定、等”三个条件．
（2）在应用柯西不等式求最大值时，要注意等号成立的条件，柯西不等式在排列上规律明显，具有简洁、对称的美感，运用柯西不等式求解时，按照“一看、二构造、三判断、四运用”可快速求解此类问题．
1．【广西桂林市、崇左市2019届高三下学期二模联考数学】已知函数()2f x x a x =-+，其中0a >．
（1）当1a =时，求不等式()2f x ≥的解集；
（2）若关于x 的不等式()()222f x a f x +-≤恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）[
)1,+∞；（2）10,2
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
．
【解析】（1）当1a =时，()31,1
1,1x x f x x x -≥⎧=⎨
+<⎩
．
当1x ≥时，由()23121f x x x ≥⇒-≥⇒≥， 当1x <时，由()2121f x x x ≥⇒+≥⇒≥不成立．
综上所述，当1a =时，不等式()2f x ≥的解集为[
)1,+∞． （2）记()()()22=h x f x a f x =+-2x x a a --+，则()0,04,04,x h x x x a ax a ≤⎧⎪
=<<⎨⎪≥⎩
，
∴()()max |22|4f x a f x a +-=． 依题意得42a ≤，∴12a ≤
． 所以实数a 的取值范围为10,2
⎛⎤ ⎥⎝⎦
．
【名师点睛】本题主要考查分类讨论法解绝对值不等式，考查绝对值不等式的恒成立的问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．
2．【广西壮族自治区南宁、梧州等八市2019届高三4月联合调研考试数学】已知函数
()|3|2f x x =+-．
（1）解不等式()||<1f x x -；
（2）若x ∃∈R ，使得()|21|f x x b ≥-+成立，求实数b 的取值范围． 【答案】（1）{}|0x x <；（2）32⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦
，．
【解析】（1）由()1f x x <-，可得321x x +-<-， 当1x ≥时，321x x +-<-不成立，
当31x -<<时，321x x +-<-，∴30x -<<， 当3x ≤-时，321x x ---<-，51-<成立， ∴不等式()1f x x <-的解集为{}|0x x <． （2）依题意，3212x x b +---≥，
令()6,3132123,3212,2x x g x x x x x x x ⎧
⎪-≤-⎪
⎪
=+---=-<<⎨⎪
⎪
-+≥⎪⎩
，
易知()max 1322g x g ⎛⎫==
⎪⎝⎭，则有32b ≥，即实数b 的取值范围是32⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦，． 【名师点睛】本题主要考查含绝对值不等式，熟记分类讨论的思想即可求解，属于常考题型．
3．【广西南宁市2019届高三毕业班第一次适应性测试数学】已知函数f （x ）＝|ax ﹣1|﹣|2x +a |的图象如图所示． （1）求a 的值；
（2）设g （x ）＝f （x 1
2
+
）+f （x ﹣1），g （x ）的最大值为t ，若正数m ，n 满足m +n ＝t ，证明：4925
6
m n +≥．
【答案】（1）2a =；（2）见解析．
【解析】（1）由()01f =-，得11a -=-，即2a =±． 由()13f -=，得123a a +--=，所以2a =． （2）由（1）知()2122f x x x =--+，
所以()()1123232g x f x f x x x ⎛
⎫=++-=--+ ⎪⎝⎭36,2334,2236,2x x x x ⎧
≤-⎪⎪
⎪=--<≤⎨⎪
⎪->⎪⎩
，
显然()g x 的最大值为6，即6t =． 因为6(0,0)m n m n +=>>，
所以
()491491491366n m m n m n m n m n ⎛⎫
⎛⎫
+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．
因为4912n m m n +≥=（当且仅当125m =，185n =时取等号）， 所以
()49125131266m n +≥⨯+=． 【名师点睛】本题主要考查了绝对值函数性质的研究，基本不等式的应用，属于中档题． 4．【广西壮族自治区柳州市2019届高三毕业班3月模拟考试数学】（1）如果关于x 的不等式15x x m ++-≤无解，求实数m 的取值范围；
（2）若,a b 为不相等的正数，求证：0a b b a a b a b ->．
【答案】（1）(),6-∞；（2）见解析．
【解析】（1）令15y x x =++-=24,1
6,1524,5
x x x x x -+≤-⎧⎪-<<⎨⎪-≥⎩，
则当1x ≤-时，6y ≥；当15x -<<时，6y =；当5x ≥时，
6y ≥，
综上可得6y ≥，即156x x ++-≥． 故要使不等式15x x m ++-≤的解集是空集，
则有6m <，
所以实数m 的取值范围为(),6-∞．
（2）由,a b 为不相等的正数，得
要证0a b b a a b a b ->，即证a b b a a b a b >，
只需证1a b b a a b -->，整理得1a b
a b -⎛⎫
> ⎪⎝⎭，
①当a b >时，0,1a a b b ->>，可得1a b
a b -⎛⎫> ⎪⎝⎭，
②当a b <时，0,01a a b b -<<<，可得1a b
a b -⎛⎫> ⎪⎝⎭，
综上可得当,a b 均为正数时1a b
a b -⎛⎫
> ⎪⎝⎭，
从而0a b b a a b a b ->成立．
【名师点睛】（1）解得第一问的关键在于转化，即转化为函数15y x x =++-的图象与直线y m =无公共点，结合函数的最小值及图象易得答案．
（2）证明不等式时，要根据不等式的特点选择合适的方法进行证明，常用的方法有综合法、分析法、放缩法等．
5．【四川省巴中市2019届高三零诊考试数学】已知函数f （x ）=|x –a |+|x |．
（1）当a =2时，解不等式f （x ）≥3的解集；
（2）若存在x ∈R ，使得f （x ）＜3成立，求实数a 的取值范围．
【答案】（1）{x |x ≤–12或x ≥52
}；（2）（–3，3）． 【解析】（1）由()f x x a x =-+，2a =时，不等式()3f x ≥为23x x -+≥， 等价于0223
x x <⎧⎨-+≥⎩，解得12x ≤-； 或0223x ≤≤⎧⎨≥⎩
，解得x ∈∅； 或2223
x x ≥⎧⎨-≥⎩，解得52x ≥； 所以不等式()3f x ≥的解集是{12
x x ≤-或52x ⎫≥⎬⎭． （2）若存在x ∈R ，使得()3f x <成立，则()min 3f x <，
①当0a >时，()2,0,02,a x x f x a x a x a x a -<⎧⎪=≤<⎨⎪-≥⎩
，()min f x a ∴=，即3a <，
a ∴的取值范围是0<<3a ；
②当0a =时，()2f x x =，()()min 003f x f ∴==<，0a ∴=符合题意；
③当0a <时，()2,,02,0a x x a f x a a x x a x -<⎧⎪=-≤<⎨⎪-≥⎩
，()min 3f x a ∴=-<，即3a >-，
a ∴的取值范围是33a -<<；
综上，实数a 的取值范围是()3,3-．
【名师点睛】本题考查绝对值不等式的解法，含参数绝对值函数的分类讨论，属于中档题．
6．【广西南宁市、玉林市、贵港市等2019届高三毕业班摸底考试数学】已知函数
()29f x x x =+-．
（1）解不等式()15f x <；
（2）若关于x 的不等式()f x a <有解，求实数a 的取值范围．
【答案】（1）{}
311x x <<；（2）9a >． 【解析】（1）由题意，()318,918,09183,0x x f x x x x x -≥⎧⎪=-≤<⎨⎪-<⎩
，
∵()15f x <，∴931815x x ≥⎧⎨-<⎩或091815x x ≤<⎧⎨-<⎩或018315x x <⎧⎨-<⎩
， 解不等式得所求解集为{}
311x x <<．
（2）依题意，求()f x 的最小值即可， ()318,918,09183,0x x f x x x x x -≥⎧⎪=-≤<⎨⎪-<⎩
的最小值为9，∴9a >．
【名师点睛】求解含参数的不等式存在性问题需要过两关：
第一关是转化关，先把存在性问题转化为求最值问题；不等式的解集为R 是指不等式的恒成立问题，而不等式的解集为∅的对立面也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即f （x ）<a 恒成立⇔a >f （x ）max ，f （x ）>a 恒成立⇔a <f （x ）min ． 第二关是求最值关，求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：①利用绝对值的几
何意义；②利用绝对值三角不等式，即|a |＋|b |≥|a ±
b |≥||a |－|b ||；③利用零点分区间法． 7．【贵州省遵义市绥阳中学2019届高三模拟（二）数学】已知函数
()3()f x x a x x =-++∈R ．
（1）当2a =时，求()5f x x ≥-的解集；
（2）若()7f x ≥对任意[3,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围．
【答案】（1）R ；（2）(,2][4,)-∞+∞U ．
【解析】（1）当2a =时，不等式()5f x x ≥-为235x x x -++≥-．
当3x <-时，4235,3
x x x x ---≥-≤，解得3x <-； 当32x -≤≤时，235,10x x x x -++≥-≤，解得32x -≤≤；
当2x >时，235,6x x x x -++≥-≥-，解得2x >．
综上，所求不等式的解集为R ．
（2）据题意，得37x a x -++≥对任意[
)3,x ∈+∞成立， 40x a x ∴-+-≥对任意[)3,x ∈+∞成立．
当4x ≥时，a ∈R ；
当34x ≤<时，4x a x -≥-，∴2222168x ax a x x -+≥-+，
∴()()()4424a a a x +-≥-
若4a =，分析知，满足题设；
若4a >，则42a x +≥，∴48,4a a +≥≥，4a ∴>满足题设；
若4a <，则42a x +≤，∴46,2a a +≤≤
综上，所求实数a 的取值范围是][()
,24,-∞+∞U ．
【名师点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的求解，以及含绝对值不等式的恒成立问题，其中解答中合理分类讨论去掉绝对值，转化为等价不等式求解是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档试题．
8．【四川省名校联盟2019届高考模拟信息卷（一）数学】已知函数()2f x x a a =-+，()1g x x =+．
（1）当1a =时，解不等式()()3f x g x -≤；
（2）当x ∈R 时，()()4f x g x +≥恒成立，求实数a 的取值范围．
【答案】（1）1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
；（2）[)1,+∞． 【解析】（1）当1a =时，不等式()()3f x g x -≤，等价于111x x --+≤； 当1x ≤-时，不等式化为()()111x x --++≤，即21≤，解集为∅；
当11x -<<时，不等式化为()()111x x ---+≤，解得112x -
≤<； 当1x ≥时，不等式化为()()111x x --+≤，
即21-≤，解得1x ≥； 综上，不等式的解集为1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
． （2）当x ∈R 时，()()2112f x g x x a a x x a x a +=-+++≥---+12a a =++，
()()4f x g x +≥等价于124a a ++≥，
若1a <-，则()124a a -++≥，∴a ∈∅；
若1a ≥-，则124a a ++≥，∴1a ≥．
综上，实数a 的取值范围为[
)1,+∞．
【名师点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，函数恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想．
9．【云南省玉溪市第一中学2019届高三上学期第二次调研考试数学】已知函数()=413f x x x -+--．
（1）求不等式()4f x ≤的解集；
（2）若函数1-=ax y 的图象与()f x 的图像有公共点，求a 的取值范围．
【答案】（1）{|16}x x -≤≤；（2）1(,2)[,)4-∞-+∞U ．
【解析】（1）由题意()4f x ≤即是417x x -+-≤，由绝对值的几何意义可得解集为{|16}x x -≤≤．
（2）()22,10,1428,4x x f x x x x -≤⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩
，
所以a 的取值范围是1(,2)[,)4
-∞-+∞U ．
【名师点睛】本题考查含绝对值的函数，求参数范围要先去函数绝对值，是常考题型． 10．【四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学】设函数()()2241,f x x x g x x m x m
=+-+=++-
，其中0m ≠． （1）解不等式()4f x ≤； （2）设()(),f x g x 的值域分别为,A B ，若A B ⊆，求实数m 的取值范围．
【答案】（1）713⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，；（2）][2,11,2⎡⎤--⎣⎦U ． 【解析】（1）()33,25,2x x f x x x -≥⎧=⎨-+<⎩
， 由4f x ≤（）得，2334x x ≥-≤⎧⎨⎩或254
x x <-+≤⎧⎨⎩，解得713x ≤≤， ∴4f x ≤（
）的解集为713⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，． （2）()33,25,2
x x f x x x -≥⎧=⎨-+<⎩，根据函数的单调性得[3A =+∞，）， ()()222g x x m x x m x m m m m ⎛⎫=++-
≥+--=+ ⎪⎝⎭，当x =–m 时取等号， ∴B =2m m ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭
，时，A ⊆B ， ∴23m m
+≤，即23m m +≤， ∴2
||320m m -+≤，化简得12m ≤≤，
∴m 的取值范围[–2，–1]∪[1，2]．
【名师点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，根据集合的关系求参数的取值范围，属
中档题．
11．【四川省百校2019届高三模拟冲刺卷文科数学】设函数()31,f x x x x =++-∈R ，
不等式()6f x ≤的解集为M ．
（1）求M ；
（2）当x M ∈时，()1f x a x ≥-恒成立，求正数a 的取值范围．
【答案】（1）{}|4 2 M x x =-≤≤；（2）(]
0,1 【解析】（1）()()()()223,31431,
221,
x x f x x x x x x ⎧--<-⎪=++-=-≤≤⎨⎪+>⎩ 当3x <-时，226x --≤，解得43x -≤<-；
当31x -≤≤时，46≤，可得31x -≤≤；
当1x >时，226x +≤，解得12x <≤．
综上，不等式()6f x ≤的解集{}|4 2 M x x =-≤≤．
（2）当43x -≤≤-时，()1f x a x ≥-等价于()22a x a -≥+，得01a <≤， 当31x -≤≤时，()1f x a x ≥-等价于40ax a -+≥，得01a <≤，
当12x <≤时，()1f x a x ≥-等价于()220a x a ---≤得06a <≤，
综上，实数a 的取值范围为(]
0,1．
【名师点睛】本题考查了含有绝对值的不等式恒成立应用问题，也考查了分类讨论思想与集合的应用问题，是中档题．
12．【四川省双流中学2019届高三第一次模拟考试数学】已知函数()13f x x x =-+-的
最小值为m ．
（1）求m 的值并指出此时x 的取值集合：
（2）求不等式()4f x ≤的解集．
【答案】（1）2m =，{}|1 3 x x ≤≤；（2）{}|0 4 x x ≤≤．
【解析】（1）设()(),01,0,(3,0)P x A B ，13x x -+-的几何意义是P 点到,A B 两
点距离之和，由平面几何知识可知：当P 点在线段AB 上时，13x x -+-有最小值，且最小值为2，即
2m =，此时[]1,3x ∈，所以x 的取值集合为{}|1 3 x x ≤≤；
（2）当3x ≥时，()13244434f x x x x x x =-+-=-≤⇒≤∴≤≤； 当13x <<时，()132413f x x x x =-+-=≤⇒<<；
当1x ≤时，()13244001f x x x x x x =-+-=-+≤⇒≥⇒≤≤，综上所述 不等式()4f x ≤的解集为{}|0 4 x x ≤≤，
【名师点睛】本题考查了利用绝对值的几何意义求函数的最小值问题，以及用零点法求绝对值不等式问题，考查了分类讨论思想、数形结合思想．
13．【四川省内江市2019届高三第三次模拟考试数学】已知函数
()(0,0)f x x a x b a b =-++>>．
（1）当1a =，2b =时，解不等式()5f x x <+；
（2）若()f x 的值域为[)2,+∞，证明：1111311
a a
b b +++≥++． 【答案】（1）{|24}x x -<<；（2）见证明．
【解析】（1）当1a =，2b =时，()125f x x x x =-++<+，
①当2x <-时，不等式可化为215x x --<+，即2x >-，无解，
②当21x -≤≤时，不等式可化为35x <+，即2x >-，得21x -<≤，
③当1x >时，不等式可化为215x x +<+，即4x <，得14x <<，
综上，不等式的解集为{|24}x x -<<．
（2）()f x x a x b a b =-++≥+，
∵()f x 的值域为[)2,+∞，0a >，0b >，∴2a b +=，
故114a b +++=， ∴1112a b a b a b a b ++⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭()11222222
b a a b ⎛⎫=++≥+= ⎪⎝⎭，
111111111411a b a b a b a b ++++++⎛⎫+=+ ⎪++++⎝⎭1112411b a a b ++⎛⎫=++ ⎪++⎝⎭()12214
≥+=． ∴1111311
a a
b b +++≥++． 【名师点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．
14．【四川省攀枝花市2019届高三下学期第三次统考数学】设函数()|1|3||f x x x a =++-．
（1）当1a =时，解不等式()22f x x ≤+；
（2）若关于x 的不等式()4|22|f x x a ≥+-恒成立，求实数a 的取值范围．
【答案】（1）1,22
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
；（2）(,5][3,)-∞-+∞U ． 【解析】（1）()|1|3||22f x x x a x =++-≤+， 可转化为14222x x x ≥⎧⎨-≤+⎩或114222x x x -<<⎧⎨-≤+⎩或12422x x x ≤-⎧⎨-≤+⎩
， 解得12x ≤≤或112
x ≤<或无解， 所以不等式的解集为1
,22
⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （2）依题意，问题等价于关于x 的不等式|1|||4x x a ++-≥恒成立，
即min (|1|||)4x x a ++-≥，
又|1||||1||1|x x a x x a a ++-≥+-+=+，当(1)()0x x a +-≤时取等号． 所以|1|4a +≥，解得3a ≥或5a ≤-，
所以实数a 的取值范围是(,5][3,)-∞-+∞U ．
【名师点睛】解绝对值不等式的基本方法有零点分段讨论法、图像法（或几何法）、平方法等，利用零点分段讨论法时注意分类点的合理选择，利用平方去掉绝对值符号时注意代数式的正负，而利用图像法（或几何法）求解时注意图像的正确刻画． 15．【四川省成都市外国语学校2019届高三一诊模拟考试数学】已知函数
()22f x x x a =-++，a ∈R ．
（1）当1a =时，解不等式()5f x ≥；
（2）若存在0x 满足00()23f x x +-<，求a 的取值范围．
【答案】（1）4(,][2,)3-∞-+∞U ；（2）(7,1)--．
【解析】（1）当1a =时，2215x x -++≥，
由()5f x ≥得4(,][2,)3
-∞-+∞U ．
当2x ≥时，不等式等价于2215x x -++≥，解得2x ≥，所以2x ≥； 当122
x -
<<时，不等式等价于2215x x -++≥，即2x ≥，所以此时不等式无解； 当12x ≤-时，不等式等价于2215x x ---≥，解得43x ≤-，所以43x ≤-． 所以原不等式的解集为()2222f x x x x a +-=-++．
（2）()2422244x x a x a x a =-++≥+--=+43a +<．
因为原命题等价于()221f x x x =-++， 所以43a +<，所以71a -<<-，即实数a 的取值范围为(7,1)--．
【名师点睛】本题主要考查不等式的求解，根据绝对值不等式的解法，利用分类讨论的数学思想进行讨论是解决本题的关键，属于中档题．。