高中物理(新人教版)选择性必修二同步习题：磁场中的临界、极值问题(同步习题)【含答案及解析】

第一章安培力与洛伦兹力
专题强化练1 磁场中的临界、极值问题
一、选择题
1.(2020四川绵阳南山中学高二月考,)(多选)如图,一束电子以大小不同的速率沿图示方向飞入一正方形匀强磁场区域,对从右边离开磁场的电子,下列判断正确的是( )
A.从a点离开的电子速度最小
B.从a点离开的电子在磁场中运动的时间最短
C.从b点离开的电子运动半径最小
D.从b点离开的电子速度偏转角最小
2.(2020河南天一大联考,)如图所示,匀强磁场的边界是两个同心圆,内圆的半径为r,磁场方向垂直纸面向里,磁感应强度大小为B,A是内侧边界上的一点。

在圆心O处沿平行于纸面的方向射出一个质量为m、电荷量为q的带电粒子,粒子速度方向与OA成60°角,粒子经磁场第一次偏转后刚好从A点射出磁场,不计粒子重力,则下列说法正确的是( )
A.粒子一定带正电
B.粒子第一次在磁场中运动的时间为2πm
3qB
C.粒子运动的速度大小为√3qBr
2m
D.磁场外边界圆的半径至少为√3r
3.(2019河南郑州一模,)如图所示,边界OM 与ON 之间分布有垂直纸面向里的匀
强磁场,边界ON 上有一粒子源S 。

某一时刻,从粒子源S 平行于纸面向各个方向发射出大量带正电的同种粒子(不计粒子的重力及粒子间的相互作用),所有粒子的初速度大小相等,经过一段时间,有大量粒子从边界OM 射出磁场。

已知∠MON=30°,从边界OM 射出的粒子在磁场中运动的最长时间等于1
2
T(T 为粒子在磁场中运动的周期),则从边界OM 射出的粒子在磁场中运动的最短时间为( )
A.13
T
B.14
T
C.16
T
D.18
T
4.(2020重庆巴蜀中学高三月考,
)如图所示,半径分别为R 、2R 的两个同心圆,
圆心为O,大圆和小圆所夹的环状区域有垂直于纸面向外的匀强磁场,其余区域无磁场,一重力不计的带正电粒子从大圆边缘的P 点沿PO 方向以速度v 1射入磁场,其运动轨迹如图所示,图中轨迹所对应的圆心角为120°。

若将该带电粒子从P 点射入的速度大小变为v 2,要求不论其入射方向如何,都不可能射入小圆内部区域,则v 1∶v 2至少为( )
A.
4√3
3
B.
2√3
3
C.
4√3
9
D.√3
3
5.(2020江苏启东中学高二期末,)如图所示,空间存在方向垂直纸面的匀强磁场,
一粒子发射源P 位于足够大绝缘平板MN 的上方,距离平板MN 为d,P 在纸面内向
各个方向发射速率均为v的同种带电粒子,不考虑粒子间的相互作用和粒子重力,已知粒子做匀速圆周运动的半径大小也为d,则粒子( )
A.打在板上的区域长度为2d
B.打在板上的位置距P点的最远为√2d
C.到达板上的最长时间为3πd
2v
D.到达板上的最短时间为πd
2v
6.(2020河南鲁山一中高二月考,)(多选)如图所示,等腰直角三角形abc区域内(包含边界)有垂直纸面向外的匀强磁场,磁感应强度的大小为B,在bc的中点O处有一粒子源,可沿与ba平行的方向发射大量速率不同的同种粒子,这些粒子带负电,质量为m,电荷量为q,已知这些粒子都能从ab边离开磁场区域,ab=2l,不考虑粒子的重力及粒子间的相互作用。

关于这些粒子,下列说法正确的是( )
A.速度的最大值为(√2+1)qBl
m
B.速度的最小值为qBl
m
C.在磁场中运动的最短时间为πm
4qB
D.在磁场中运动的最长时间为πm
qB
7.()如图所示,垂直纸面向里的匀强磁场分布在等边三角形ABC内,D是AB边的中点,一群相同的带负电的粒子仅在洛伦兹力作用下,从D点沿纸面以平行于BC
边方向、大小不同的速率射入三角形区域内,不考虑粒子的重力及粒子间的相互作用力,已知粒子在磁场中运动的周期为T,则下列说法中正确的是( )
T,则它一定从BC边射出磁场
A.若某粒子在磁场中经历的时间为2
3
T,则它一定从AC边射出磁场
B.若某粒子在磁场中运动的时间为1
12
C.速度小的粒子一定比速度大的粒子在磁场中运动的时间长
T,则它一定从AB边射出磁场
D.若某粒子在磁场中运动的时间为1
4
二、非选择题
8.(2020福建福州高二上期末,)如图所示,直角坐标系中的第Ⅰ象限内存在沿y 轴负方向的匀强电场,在第Ⅱ象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场,磁感应强度为B。

一电荷量为q、质量为m的带正电的粒子,在-x轴上的a点以速率v0沿与x轴负方向成60°角的方向射入磁场,然后经y轴上的b点(0,L)沿垂直于y轴的方向
L处的c点进入第Ⅳ象限,此后粒子做匀速直线运动,进入电场,并从x轴上x=2√3
3
L,-L)进入矩形有界匀强磁场区域(图中未画出),并从矩形磁场边界上的d点(2√3
3
射出,速度沿x轴负方向,不计粒子重力。

求:
(1)粒子在第Ⅱ象限的运动时间t;
(2)电场强度E的大小及粒子射出电场时的速度偏转角θ;
(3)矩形有界匀强磁场的磁感应强度B0的大小以及其最小面积S min。

9.(2020福建师大附中高二上期末,)如图所示,MN为绝缘板,C、D为板上的两个小孔,AO为CD的中垂线,在MN的下方有匀强磁场,方向垂直纸面向外(图中未画出),质量为m、电荷量为q的粒子(不计重力)以某一速度从A点沿平行于MN的方向进入静电分析器,静电分析器内有均匀辐向分布的电场(电场方向指向O点),已知图中虚线圆弧的半径为R,其所在处场强大小为E,若粒子恰好沿图中虚线做圆
周运动,然后从小孔C垂直于MN进入下方磁场。

(1)求粒子运动的速度大小;
(2)粒子在磁场中运动,与MN板碰撞,碰后以原速率反弹,且碰撞时无电荷的转移,之后恰好从小孔D进入MN上方的一个三角形有界匀强磁场,并从A点射出磁场,
则三角形磁场区域最小面积为多少?MN上下两磁场的磁感应强度大小之比为多少?
(3)粒子从A点出发后,第一次回到A点所经历的总时间为多少?
答案全解全析
1.BC 对于从右边离开磁场的电子,从a 点离开的轨迹半径最大,从b 点离开的轨迹半径最小,根据r=
mv
qB
,知轨迹半径大,电子的速度大,则从a 点离开的电子速度最
大,A 错误,C 正确。

从a 点离开的电子速度偏转角最小,则轨迹对应的圆心角θ最小,根据t=θ2π
T=θ2π·
2πm qB =θm
qB
,知运动时间与电子的速度无关,θ越小,运动的时间越短,
选项B 正确,D 错误。

2.D 根据题意,画出粒子第一次在磁场中运动的轨迹如图,根据左手定则可以判断出粒子带负电,选项A 错误;粒子第一次在磁场中运动的时间为t=23T=
4πm
3qB
,选项B
错误;粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径R=r tan 30°=√3
3
r,根据牛顿第二定律
有qvB=m v 2R ,解得v=√3qBr 3m ,选项C 错误;磁场外边界圆的半径至少为
r'=R+r
cos30°
=√3r,选项D 正确。

3.A 粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动,入射点是S,出射点在直线OM 上时,出射点与S 点的连线为粒子轨迹对应的一条弦。

当从边界OM 射出的粒子在磁场中运动的时间最短时,轨迹对应的弦最短,根据几何知识,作ES ⊥OM,则ES 为最短的弦,粒子从S 到E 的时间即最短运动时间。

由题意可知,粒子在磁场中运动的最长时间等于12
T,设OS=d,则DS=OS tan 30°=√3
3
d,粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为r=DS 2=√36
d,由几何知识知ES=OS
sin 30°=12
d,故在△O 1ES
中,由余弦定理得
cos θ=2r 2-ES 22r 2=-1
2
,则
θ=120°,粒子在磁场
中运动的最短时间为t min =θ360°T=1
3
T,选项A 正确,B 、C 、D 错误。

4.A 粒子沿PO 方向以速度v 1射入磁场时,粒子在磁场中做匀速圆周运动,由几何知识得
r 1=2R tan60°=√3
;洛伦兹力提供向心力,由牛顿第二定律得qv 1B=m v 12
r 1
,解得
v 1=√3m。

假设粒子从P 点竖直向上射入磁场,如果粒子不能进入小圆区域,则所有
粒子都不可能进入小圆区域;粒子从P 点竖直向上射入磁场恰好不能进入小圆区域时,轨迹半径r 2=R
2,洛伦兹力提供向心力,由牛顿第二定律得qv 2B=m v 22
r 2
,解得
v 2=
qBR
2m。

故v 1∶v 2=4√3
3
,选项A 正确,B 、C 、D 错误。

5.C 打在平板上粒子轨迹的临界状态如图甲所示,根据几何关系知,带电粒子打到板上的区域长度l=d+√3d=(1+√3)d,选项A 错误;由图甲结合几何关系可知,打在板上最远的点与P 点间的距离是2d,选项B 错误;在磁场中运动时间最长和最短的粒子运动轨迹示意图如图乙所示,则最长时间t 1=3
4
T,最短时间t 2=1
6
T,又知粒子在磁场中运动的周期T=
2πd
v
,则t 1=
3πd 2v ,t 2=πd
3v
,选项C 正确,D 错误。

甲
乙
6.AD 粒子从ab 边离开磁场时的临界运动轨迹如图所示,由几何知识可知r 1=l 2,
r 2
sin45°
=O 2c=r 2+l,解得r 2=(1+√2)l 。

粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动,洛伦
兹力提供向心力,由牛顿第二定律得qvB=m v 2r ,解得v=qBr
m
,故粒子的最大速度为
v max =qBr 2m =(1+√2)qBl m ,最小速度v min =qBr 1m =qBl 2m
,选项A 正确,B 错误。

由粒子从ab 边离
开磁场区域的临界运动轨迹可知,粒子轨迹对应的最大圆心角θmax =180°,最小圆心角θmin >45°,粒子做圆周运动的周期T=2πm
qB
,则粒子在磁场中运动的最短时间t min =
θmin 360°T>πm
4qB
,最长时间t max =
θmax 360°T=πm
qB
,选项C 错误,D 正确。

7.B 若带电粒子刚好从BC 边射出磁场,其运动轨迹与BC 边相切,可知轨迹对应的圆心角为180°,粒子在磁场中经历的时间为12
T;若带电粒子刚好从AC 边射出磁场,运动轨迹与AC 边相切,作图可得切点为C 点,由几何关系可知轨迹对应的圆心角为60°,粒子在磁场中经历的时间为16
T;若带电粒子从AB 边射出磁场,可知轨迹对应的圆心角为240°,粒子在磁场中经历的时间为2
3
T 。

由以上分析可知,若某粒子
在磁场中经历的时间为2
3
T,则它一定从AB 边射出磁场,A 错误;若该粒子在磁场中
运动的时间为112T,小于1
6T,则它一定从AC 边射出磁场,B 正确;若某粒子在磁场中
运动时间为14T,即大于16T 且小于1
2
T,则它一定从BC 边射出磁场,D 错误;若这些带电
粒子都从AB 边射出磁场,其运动轨迹所对的圆心角都为240°,粒子在磁场中经历的时间都为23
T,选项C 错误。

8.答案
(1)2πm
3qB
(2)3mv 022qL
60°
(3)6mv 0qL √3L 2
18
解析 (1)根据题意可知,粒子在匀强磁场中的运动轨迹对应的圆心角α=120°,则得t=α
2π
T=T 3
而T=
2πr v =2πm
qB 联立得
t=2πm 3qB
(2)设带电粒子在电场中运动的加速度为a,运动时间为t,离开电场时,沿竖直方向的速度大小为v y ,则
在水平方向有:
2√3
3L=v 0t 在竖直方向有:a=qE m ,L=1
2
at 2
联立解得E=3mv 02
2qL
tan θ=v y v 0=at
v 0
=√3
得θ=60°
(3)粒子进入矩形有界匀强磁场时的速度v=
v 0
cosθ
=2v 0 在匀强磁场中,粒子做匀速圆周运动,洛伦兹力提供向心力,有qvB 0=m v 2
r
由几何关系有r+r
sin30°
=L 得r=L 3
联立得
B 0=6mv 0qL
如图,以切点e 、d 的连线为矩形的一条边,其对边与粒子的运动轨迹相切,则有界匀强磁场区域面积为最小。

则
S min =√3r ×r 2=√3L 2
18
9.答案 (1)√
EqR
m
(2)12R 2
1n+1
(3)2π√
mR Eq
解析 (1)由题可知,粒子进入静电分析器做匀速圆周运动,则有
Eq=mv 2R
解得v=√
EqR
m
(2)粒子从D 到A 做匀速圆周运动,轨迹如图中实线所示:
由图示知,三角形磁场区域面积最小值为S=R 2
2
在磁场中,洛伦兹力提供向心力,则有Bqv=mv 2
r
得r=mv Bq
设MN 下方磁场的磁感应强度为B 1,上方磁场的磁感应强度为B 2。

若粒子与MN 板只碰撞一次,则有R 1=R 2=mv B 1q
R 2=R=
mv
B 2q
故B 2B 1=R 1R 2=12
若粒子与MN 板碰撞n 次,则有R 1=R n+1=mv B 1q
R 2=R=
mv
B 2q
故B 2B 1=R 1R 2=
1
n+1
(3)粒子在电场中运动的时间t 1=2πR 4v =π2√mR
Eq
在MN 下方的磁场中运动的时间
t 2=n+12×2πR 1×1v =πR √m EqR =π√mR Eq
在MN 上方的磁场中运动的时间t 3=14×
2πR 2v =π2√mR Eq 总时间t=t 1+t 2+t 3=2π√mR Eq。