立体几何中的向量方法ppt4 人教课标版

P F
D A
E
C B
解：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点， 设DC=1 (1)证明：连结AC,AC交BD于点G,连结EG
依 题 意 得 A (1 ,0,0), P(0,0,1 ), 1 1 E(0, , ) 2 2
Z
P F
D
G
因为底面ABCD是正方形， 所以点G是此正方形的中心， 1 1 故点G的坐标为( , ， 0) 2 2
(3)求二面角C-PB-D的大小。
Z
P F
D A X B
E
C
Y
（ 3 ）解：已知 PB EF , 由（ 2 ）可知 PB DF , 故 EFD 是二面角 C PB D 的平面角。
设点 F 的坐标为 ( x , y , z ), 则 PF ( x , y , z 1 ) 因为 PF kPB
1 3 1 cos 60 ( x , y , z ) ( , , 0)① 2 2 2 ∴ cos 60 1 ( x , y , z ) (0,1 , 0) ② 2
由于 F1 与 AB , AC 的夹角均为 60 ，
又∵ x 2 y 2 z 2 1 ③
B
（ 2 ）证明：依题意得 B ( 1 , 1 ,0 ),PB ( 1 , 1 , 1 )
1 1 1 1 又 DE ( 0 , , ), 故 PB DE 0 0 2 2 2 2
所以 PB DE
由已知 EF PB , 且 EF DE E ,
所以 PB 平面 EFD
500 6
1 2 ,0 , ) 3 3 1 2 , 0 , ) 200(0,0, 6) 3 3
，
F2
F3
F1 A
F1
F3 F2 O C
B
500kg
F2 F3 F1
合力就是以 F1 、 F2 、 F3 为棱的平行六面体的对角线 向量(如图所示)
例4 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方 形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点， 作EF⊥PB交PB于点F. (1)求证：PA//平面EDB (2)求证：PB⊥平面EFD (3)求二面角C-PB-D的大小。
在 直 线 a 、 b 上 分 别 取 E 、 F ， 已 知 A ’ E = m ， A F = n ，
E A A A A F 2 ( E A A A E A A F A A A F )
2 2 2
A A E A , A A A F < EA , AF >=π —θ （或θ ），
3.2.5立体几何中的向量方法（五）
空间“综合”问题
复习引入
向量法解立体几何问题的优点: 1.思路容易找,甚至可以公式化； 一般充分结合图形发现向量关系或者求出 (找出)平面的法向量、直线的方向向量，利用这 些向量借助向量运算就可以解决问题. 2.不需要添辅助线和进行困难的几何证明; 3.若坐标系容易建立,更是水到渠成.
【课后作业】 如图，已知：直角梯形OABC中， OA∥BC,∠AOC=90°，SO⊥面 OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2。 求： (1)异面直线SA和OB所成的角的余 A 弦值 x (2)OS与面SAB所成角的余弦值 (3)二面角B－AS－O的余弦值
z
S
O C B
y
例1、如图,一块均匀的正三角形面的钢板的质量为 5 0 0 k g ， 在它的顶点处分别受力 F 1 、 F2、 F 3 ，每个力与同它相邻的 F F 2 0 0 k g 三角形的两边之间的夹角都是6 0 ，且 F . 1 2 3 这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动？这三个力最小 为多大时，才能提起这块钢板？ z F1
1 1 2 ∴由①②③可解得 x , y ,z . ∴ F 200( 1 , 1 , 2 ) 1 2 12 3 12 2 3
1 12 1 1 , , 合力 F1 F2 F3 200 ( 12 2
同法可求得 F2 200(
1 2 , ) , F3 200( 2 3 2 1 1 2 ) ( , , ) ( 3 12 2 3 ,
所 以 (x , yz , 1 ) k ( 1 ,1 , 1 ) ( kk , , k )
Z
即 x k , y k , z 1 k
因为 PB DF 0
P F
D B
所以 ( 1 , 1 , 1 ) ( k ,k , 1 k ) k k 1 k 3 k 1 0 1 所以k 3 A
D
C
A
D A
B
C B
•
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
46．凡事不要说＂我不会＂或＂不可能＂，因为你根本还没有去做！ 47．成功不是靠梦想和希望，而是靠努力和实践． 48．只有在天空最暗的时候，才可以看到天上的星星． 49．上帝说：你要什么便取什么，但是要付出相当的代价． 50．现在站在什么地方不重要，重要的是你往什么方向移动。 51．宁可辛苦一阵子，不要苦一辈子． 52．为成功找方法，不为失败找借口． 53．不断反思自己的弱点，是让自己获得更好成功的优良习惯。 54．垃圾桶哲学：别人不要做的事，我拣来做！ 55．不一定要做最大的，但要做最好的． 56．死的方式由上帝决定，活的方式由自己决定！ 57．成功是动词，不是名词！ 28、年轻是我们拼搏的筹码，不是供我们挥霍的资本。 59、世界上最不能等待的事情就是孝敬父母。 60、身体发肤，受之父母，不敢毁伤，孝之始也； 立身行道，扬名於后世，以显父母，孝之终也。——《孝经》 61、不积跬步，无以致千里；不积小流，无以成江海。——荀子《劝学篇》 62、孩子：请高看自己一眼，你是最棒的！ 63、路虽远行则将至，事虽难做则必成！ 64、活鱼会逆水而上，死鱼才会随波逐流。 65、怕苦的人苦一辈子，不怕苦的人苦一阵子。 66、有价值的人不是看你能摆平多少人，而是看你能帮助多少人。 67、不可能的事是想出来的，可能的事是做出来的。 68、找不到路不是没有路，路在脚下。 69、幸福源自积德，福报来自行善。 70、盲目的恋爱以微笑开始，以泪滴告终。 71、真正值钱的是分文不用的甜甜的微笑。 72、前面是堵墙，用微笑面对，就变成一座桥。 73、自尊，伟大的人格力量；自爱，维护名誉的金盾。 74、今天学习不努力，明天努力找工作。 75、懂得回报爱，是迈向成熟的第一步。 76、读懂责任，读懂使命，读懂感恩方为懂事。 77、不要只会吃奶，要学会吃干粮，尤其是粗茶淡饭。 78、技艺创造价值，本领改变命运。 79、凭本领潇洒就业，靠技艺稳拿高薪。 80、为寻找出路走进校门，为创造生活奔向社会。 81、我不是来龙飞享福的，但，我是为幸福而来龙飞的！ 82、校兴我荣，校衰我耻。 83、今天我以学校为荣，明天学校以我为荣。 84、不想当老板的学生不是好学生。 85、志存高远虽励志，脚踏实地才是金。 86、时刻牢记父母的血汗钱来自不易，永远不忘父母的养育之恩需要报答。 87、讲孝道读经典培养好人，传知识授技艺打造能人。 88、知技并重，德行为先。 89、生活的理想，就是为了理想的生活。 —— 张闻天 90、贫不足羞，可羞是贫而无志。 —— 吕坤
b
n
C A
CD为a,b的公垂线
A，B分别在直线a,b上 则 | CD |
D
B

a
n AB |n|
即 l1 , l 2 间的距离可转化为向量 CD 在n上的射影长，
例 . 已 知 ： 直 三 棱 柱 A B C A B C 的 侧 棱底 A A 4 ,面 A B C 中 , 1 1 1 1
X
E
C
Y
11 1 1 2 又点 E 的坐标为 ( 0 , , ) 点 F 的坐标为 (， ， ) 22 333
11 1 所以 FE ( , , ) 36 6
因为 cos EFD FE FD FE FD
1 1 1 1 1 2 1 ( , , ) ( , , ) 1 3 6 6 3 3 3 6 1 2 6 6 3 6 3
A X
E
C B
Y
1 1 且 PA ( 1 , 0 , 1 ), EG (, 0 , )所以 PA 2 EG ，即 PA // EG 2 2
而 EG 平面 EDB , 且 PA 平面 EDB
所以， PA // 平面 EDB
(2)求证：PB⊥平面EFD
Z
P F
D
E
C
G
A X
Y
2 lE A A A A F 2 E A A F 2 2 2 m d nm 2 n c o s 2 2 2

当E,F在公垂线同一侧时取负号 当d等于0是即为“余弦定理”
2 2 2 d l mn 2 m n c o s
异面直线间的距离
已知a,b是异面直线，n为的 法向量
0 A C B C 2 , B C A 9 0 , E 为 A B 的 中 点 。 求 C E 与 A B 的 距 离 。 1
解：如图建立坐标系 C xyz , 则 C ( 0 , 0 , 0 ), E ( 1 , 1 , 0 ), A ( 2 , 0 , 0 ), B ( 0 , 2 , 4 ). 1 C E ( 1 , 1 , 0 ), A B ( 2 , 2 , 4 ), z 1 C 1 设 C E , A B 的公垂线的方向向量 n ( x , y , z ). 则 1 A1 B1 x y 0 n CE 0 即 2x2y4z 0 n AB1 0 C
分析:钢板所受重力的大 小为 500kg ，垂直向下作用在 三角形的中心 O ，如果能将各 顶点出所受的力 F1 、F2 、F3 用 A 向量形式表示，求出其合力， x 就能判断钢板的运动状态.
F3
F2
O
C
B
500kg
y
解： 如图， 以点 A 为原点,平面 ABC 为 xAy 坐标平面，AB 方向为 y 轴正方向, AB 为 y 轴的单位长度，建立空间直角坐标系 A─xyz ,则正三角形的顶点坐标分别为 3 1 A(0,0 , 0) , B(0,1, 0) , C ( , , 0) 设 F1 方向上的单位向量坐标为 ( x , y , z ) ， 2 2
( 1 , 1 , 1 ) 取x=1,则y=-1,z=1,所以 n
E y 在两直线上各取点 C , A , C A ( 1 , 0,0 ). x | n C A | 2 3 C E 与 A B 的距离 d . 1 | n | 3
A
B
2、如图，四面体DABC中，AB，BC，BD两两垂直， 且AB=BC=2，点E是AC中点；异面直线AD与BE所成 角为
这说明，作用在钢板的合力方向向上,大小为 200 6kg ,作用点为 O . 由于 200 6 500 ,所以钢板仍静止不动
要提起这块钢板,设 F1 F2 F3 = x ,则需 6 x 500 ,解得 x 500 kg ． 因此,要提起这块钢板, F1 、 F2 、 F3 均要大
F
4、如图6，在棱长为 a 的正方体OABC O ' A ' B ' C '中，
E 、 F 分别是棱AB,BC上的动点，且 AE 。 BF
C’ A’
B’
（1）求证： A ； ' F C ' E （2）当三棱锥 B 的体积取最大值时，求二 ' BEF 面角 B 的正切值。 ' EF B
所以 EFD 60 , 即二面角 C PB D 的大小 60 .
1 ． 如 图 3 5 ， 已 知 两 条 异 面 直 线 所 成 的 角 为 θ， E F = l ， 求 公 垂 线 A A ′ 的 长 d .
2 E F ( E A A A A F ) 解 ： E F E A A A A F 2
10 ，且 co s ，求四面体DABC的体积。 10
z
D
B
A
y
C
E
x
3、在如图的实验装置中，正方形框架的边长都是1， 且平面ABCD与平面ABEF互相垂直。活动弹子M，N 分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的 长度保持相等，记CM=BN= a(0 a 2).
（1）求MN的长； （2）a 为何值时？MN的长最小？ （3）当MN的长最小时， 求面MNA与面MNB所成 二面角的余弦值。 A D
O’
C F O
图6
E A
B
C’ O’ A’
B’
C F O
图6
E A
B
B C D A B C D 5、如图，平行六面体 A 中，底面ABCD是边长 0 A A B A A D 1 2 0 . 为a的正方形，侧棱 A A 的长为b ,且
求（1）A C 的长； （2）直线 B D 与AC夹角的余弦值。