【新教材精创】 5.2.3简单复合函数的导数(导学案)- (人教A版 高二 选择性必修第二册)

5.2.3简单复合函数的导数 导学案
1. 了解复合函数的概念．
2．理解复合函数的求导法则，并能求简单的复合函数的导数．
重点：复合函数的概念及求导法则 难点：复合函数的导数
1．复合函数的概念
一般地，对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过中间变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的复合函数，记作__________． y ＝f (g (x ))
思考：函数y ＝log 2(x ＋1)是由哪些函数复合而成的？ [提示] 函数y ＝log 2(x ＋1)是由y ＝log 2u 及u ＝x ＋1 两个函数复合而成的． 2．复合函数的求导法则
复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y ′x ＝______，即y 对x 的导数等于_________________________ _______． y ′u ·u ′x; y 对u 的导数与u 对x 的导数的; 乘积
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y ＝sin(πx )的复合过程是y ＝sin u ，u ＝πx ． ( ) (2)f (x )＝ln(3x －1)则f ′(x )＝
1
3x －1
． ( ) (3)f (x )＝x 2cos2x ，则f ′(x )＝2x cos2x ＋2x 2sin2x ． ( ) 2．函数y ＝
13x －1
2的导数是(
) A ．63x －13 B ．
63x －12
C ．－
63x －1
3
D ．－
63x －1
2
3．下列对函数的求导正确的是( )
A ．y ＝(1－2x )3，则y ′＝3(1－2x )2
B ．y ＝log 2(2x ＋1)，则y ′＝1
2x ＋1
ln 2
C ．y ＝cos x 3，则y ′＝13sin x
3
D ．y ＝22x －
1，则y ′＝22x ln 2
一、新知探究
探究1. 如何求y =(1+x)3导数呢？
若求y =(1+x)6的导数呢？还有其它求导方法吗？ 探究2. 如何求y =ln⁡(2x −1) 导数呢？
探究3： 求函数y =sin2x 的导数
三、典例解析 例6.求下列函数的导数 （1）y =（3x +5）3
; （2）y =e −0.05x+1; (3) y =ln⁡(2x −1)
1．解答此类问题常犯两个错误
(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；
(2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成． 2．复合函数求导的步骤
跟踪训练1 求下列函数的导数：
(1)y ＝e 2x ＋
1；(2)y ＝
12x －1
3；
(3)y ＝5log 2(1－x )；(4)y ＝ln 3x
e
x .
例7 某个弹簧振子在振动过程中的位移y (单位:mm),关于时间t (单位:s)的函数满足关系式y =18sin⁡(2π
3t −π
2) .
求函数在时的导数，并解释它的实际意义。

跟踪训练2 求下列函数的导数： (1)y ＝cos x
2⎝⎛⎭⎫sin x 2
－cos x 2； (2)y ＝x 2＋tan x . 三角函数型函数的求导要求
对三角函数型函数的求导，往往需要利用三角恒等变换公式，对函数式进行化简，再进行求导. 复合函数的求导法则熟悉后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外到内逐层求导.
1．函数y ＝(x 2－1)n 的复合过程正确的是(
)
A ．y ＝u n ，u ＝x 2－1
B ．y ＝(u －1)n ，u ＝x 2
C ．y ＝t n ，t ＝(x 2－1)n
D ．y ＝(t －1)n ，t ＝x 2－1 2．函数y ＝x 2cos 2x 的导数为( ) A ．y ′＝2x cos 2x －x 2sin 2x
B ．y ′＝2x cos 2x －2x 2sin 2x
C ．y ′＝x 2cos 2x －2x sin 2x
D ．y ′＝2x cos 2x ＋2x 2sin 2x
3．已知f (x )＝ln(3x －1)，则f ′(1)＝________.
4．已知f (x )＝x e －
x ，则f (x )在x ＝2处的切线斜率是________． 5．求下列函数的导数：
(1)y ＝103x －
2；(2)y ＝ln(e x ＋x 2)；(3)y ＝x 1＋x 2.
6.曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是?
1．求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁． 2
．和与差的运算法则可以推广
[f (x 1)±f (x 2)±…±f (x n )]′＝f ′(x 1)±f ′(x 2)±…±f ′(x n )．
参考答案：知识梳理
1．[提示](2)中f ′(x)＝
3
3x－1
. (3)中，f ′(x)＝2x cos 2x－2x2sin 2x.
[答案](1)√(2)×(3)×
2．C[∵y＝
1
3x－12，∴y′＝－2×
1
3x－13
×(3x－1)′＝－
6
3x－13
.]
3．D[A中，y′＝－6(1－2x)2，∴A错误；B中，y′＝
2
2x＋1ln 2，
∴B错误；C中，y′＝－1
3sin
x
3，
∴C错误；D中y′＝22x－1ln 2×(2x－1)′＝22x ln 2.故D正确．]
学习过程
一、新知探究
探究1.解析：方法一：y=(1+x)3=x3+3x2+3x+1
y′=(x3)′+(3x2)′+(3x)′+(1)′=3x2+6x+3
探究2. 分析：函数y=ln⁡(2x−1)不是由基本初等函数通过加、减、乘、除运算得到的，所以无法用现有的方法求它的导数，下面，我们分析这个函数的结构特点
若设u=2x−1(x>1
2
),则y=lnu，
从而y=ln(2x−1)可以看成是由y=lnu和u=2x−1(x>1 2 ),
经过“复合”得到的，即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数。

如果把y与u的关系记作y=f(u)，u和x的关系记作u=g(x)，
那么这个“复合”过程可表示为
若设y=f(u)=f(g(x))=ln(2x−1)
探究3：分析：令u=2x,得y=sinu
以y x′表示y对x的导数，y u′表示y对u的导数，一方面，
y x′=(sin2x)’=(2sinx cosx)’=2[(sinx)’∙cosx+sinx∙(cosx)’]
=2[cosx∙cosx+sinx∙(−sinx)]=2(cos2x−sin2x)=2cos2x
另一方面y u′=(sin u)’= cosu，u x′=(2x)’=2
可以发现y x′=2cos2x
=cosu∙2=y u′∙u x′
二、 典例解析
例6.解：（1）函数y =（3x +5）3
可以看作函数y =u 3和y =3x +5 的复合函数，根据复合函数求导法则，有
y x ′=y u ′ ∙u x ′=(u 3)’ ∙(3x +5)’=3u 3 ×3=9（3x +5）3
（2）函数y =e −0.05x+1可以看作函数y =e u 和u =−0.05x +1 的复合函数，根据复合函数求导法则，有
y x ′=y u ′ ∙u x ′=(e u )’ ∙(−0.05x +1)’=−0.05e u =−0.05e −0.05x+1
（3）函数y =ln (2x −1)可以看成是由y =lnu 和u =2x −1的复合函数，根据复合函数求导法则，有
y x ′=y u ′ ∙u x ′=(lnu)’ ∙(2x −1)’=2×1
u =2
2x−1
跟踪训练1 [解] (1)函数y ＝e 2x ＋1可看作函数y ＝e u 和u ＝2x ＋1的复合函数，
∴y ′x ＝y ′u ·u x ′＝(e u )′(2x ＋1)′＝2e u ＝2e 2x ＋
1. (2)函数y ＝
1
2x －1
3可看作函数
y ＝u
－3
和u ＝2x －1的复合函数，
∴y ′x ＝y ′u ·u x ′＝(u －
3)′(2x －1)′＝－6u －
4 ＝－6(2x －1)－
4＝－
62x －1
4.
(3)函数y ＝5log 2(1－x )可看作函数y ＝5log 2u 和u ＝1－x 的复合函数，
∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(5log 2u )′·(1－x )′＝－5
u ln 2＝
5
x －1ln 2
.
(4)∵(ln 3x )′＝13x ×(3x )′＝1
x .
∴y ′＝
ln 3x ′e x －ln 3x
e x ′
e x 2
＝1
x －ln 3x e x
＝1－x ln 3x x e x
. 例7 解：函数y =18sin⁡(2π3
t −π2
) 可以看作函数y =18sinu 和u =
2π3
t −π
2
的复合函数，根据复合
函数的求导法则，有
y t ′=y u ′
∙u t ′=(18sinu)’ ∙(2π
3t −π
2)’
=18cosu ×
2π
3
= 12πcos⁡(2π3t −π
2) 当t =3时，y t ′
=12πcos⁡(3π
2)=0
它表示当t =3s 时，弹簧振子振动的瞬时速度为0mm/s
跟踪训练2 [思路探究] 先将给出的解析式化简整理，再求导． [解] (1)∵y ＝cos x 2⎝⎛⎭⎫sin x 2－cos x 2＝cos x 2sin x 2－cos 2x 2 ＝12sin x －12(1＋cos x )＝12(sin x －cos x )－1
2
， ∴y ′＝⎣⎡⎦⎤12sin x －cos x －12′
＝12(sin x －cos x )′＝1
2(cos x ＋sin x )． (2)因为y ＝x 2＋sin x
cos x
，
所以y ′＝(x 2)′＋⎝⎛⎭⎫
sin x cos x ′
＝2x ＋cos 2x －sin x －sin x cos 2
x ＝2x ＋1cos 2x . 达标检测 1．[答案] A
2．B [y ′＝(x 2)′cos 2x ＋x 2(cos 2x )′
＝2x cos 2x ＋x 2(－sin 2x )·(2x )′
＝2x cos 2x －2x 2sin 2x .] 3．
32 [f ′(x )＝13x －1×(3x －1)′＝33x －1，∴f ′(1)＝33×1－1＝32
.] 4． －1e 2 [∵f (x )＝x e －x ，∴f ′(x )＝e －x －x e －x ＝(1－x )e －
x ，∴f ′(2)＝－1e 2.根据导数的几何意义知f (x )
在x ＝2处的切线斜率为k ＝f ′(2)＝－1e 2.]
5．[解] (1)令u ＝3x －2，则y ＝10u .
所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝10u ln 10·(3x －2)′＝3×103x －
2ln 10. 2)令u ＝e x ＋x 2，则y ＝ln u . ∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝1u ·(e x ＋x 2
)′＝e x ＋2x e x ＋x 2.
(3)y ′＝(x 1＋x 2)′＝1＋x 2＋x (1＋x 2)′
＝
1＋x 2＋
x 2
1＋x 2
＝错误!.
6.解：设曲线y ＝ln(2x －1)在点(x 0，y 0)处的切线与直线2x －y ＋3＝0平行．
∵y ′＝
22x －1，∴y ′|x ＝x 0
＝22x 0－1
＝2， 解得x 0＝1， ∴y 0＝ln(2－1)＝0， 即切点坐标为(1，0)．
∴切点(1，0)到直线2x －y ＋3＝0的距离为d ＝|2－0＋3|
4＋1＝5，
即曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是 5.。