专题31 三角形外接圆-中考数学二轮复习之难点突破+热点解题方法

专题31 三角形外接圆
一、单选题
1．已知点O是ABC的外心，作正方形OCDE，下列说法：①点O是AEB
△的外心；①点O是ADC的
△的外心．其中说法一定正确的是（）
外心；①点O是BCE的外心；①点O是ADB
A．①①B．①①C．①①①D．①①①
【答案】B
【分析】
根据三角形的外心得出OA=OC=OB，根据正方形的性质得出OA=OC＜OD，求出OA=OB=OC=OE≠OD，再逐个判断即可．
【详解】
解：连接OB、OD、OA，
①O为三角形ABC的外心，
①OA=OC=OB，
①四边形OCDE为正方形，
①OE=OC＜OD，
①OA=OB=OC=OE≠OD，
①OA=OE=OB，即O是①AEB的外心，故①正确；
OA=OC≠OD，即O不是①ADC的外心，故①错误；
OB=OC=OE，即O是①BCE的外心，故①正确；
OB=OA≠OD，即O不是①ABD的外心，故①错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查了正方形的性质和三角形的外心与外接圆，能熟记知识点的内容是解此题的关键，注意：三角形的外心到三个顶点的距离相等，正方形的四边都相等．
2．如图，已知E是ABC的外心，P，Q分别是AB，AC的中点，连接EP，EQ，分别交BC于点F，
D ．若10BF =，6DF =，8CD =，则ABC 的面积为（ ）
A ．72
B ．96
C ．120
D ．144
【答案】B
【分析】 连接AF ，AD ，AE ，BE ，CE ，根据三角形外心的定义，可得PE 垂直平分AB ，QE 垂直平分AC ，进而求得AF ，DF ，AD 的长度，可知①ADF 是直角三角形，即可求出①ABC 的面积．
【详解】
如图，连接AF ，AD ，AE ，BE ，CE ，
①点E 是①ABC 的外心，
①AE=BE=CE ，
①①ABE ，①ACE 是等腰三角形，
①点P 、Q 分别是AB 、AC 的中点，
①PE①AB ，QE①AC ，
①PE 垂直平分AB ，QE 垂直平分AC ，
①AF=BF=10， AD=CD=8，
在①ADF 中，①2222286=100=AD DF AF +=+，
①①ADF 是直角三角形，①ADF=90°，
①S △ABC = ()()1122
=1068896BF DF CD AD ⨯++⨯++=， 故选：B ．
【点睛】
本题考查三角形外心的定义，勾股定理逆定理等知识点，解题的关键是得到①ADF 是直角三角形． 3．如图，在正六边形ABCDEF 中，连接BF ，BE ，则关于BFE 外心的位置，下列说法正确的是（ ）
A ．在ABF 内
B ．在BFE △内
C ．在线段BF 上
D ．在线段B
E 上 【答案】D
【分析】
先判断BFE 的形状，再确定外心的位置．
【详解】
解：①正六边形的每一个外角都是360606
︒=︒， ①正六边形的每一个内角都为18060120︒-︒=︒，
120A AFE ∴∠=∠=︒,
在正六边形ABCDEF 中，AB=AF ，
()1180120302
AFB ABF ∴∠=∠=︒-︒=︒， 1203090BFE AFE AFB ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，
BFE ∴是直角三角形，
BFE ∴的外心是BE 的中点，
故选：D
【点睛】
本题考查了正六边形的性质，三角形外心（三角形外接圆的圆心），等腰三角形的性质及直角三角形的判定，明确锐角三角形的外心在三角形的内，直角三角形的外心在斜边中点，钝角三角形的外心在三角形的外部是解题的关键．
4．如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 的坐标分别为(1,4)，(5,4)，(1,0)，则以A 、B 、C 为顶点的三角形外接圆的圆心坐标是（ ）
A ．(3,2)
B ．(2,3)
C ．(1,3)
D ．(3,1)
【答案】A
【分析】 根据垂径定理的推论“弦的垂直平分线必过圆心”作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心．
【详解】
如图，作弦AB 、AC 的垂直平分线，
①点A 、B 、C 的坐标分别为(1,4)，(5,4)，(1,0)， 所以弦514AB =-=，弦404AC =-=，
①弦AB 的垂直平分线与x 轴相交于点(30)，
，弦AC 的垂直平分线与y 轴相交于点(0)2，， ①两条垂直平分线的交点1O 即为三角形外接圆的圆心，且1O 点的坐标是(3,2)．
故选：A ．
本题考查了垂径定理，三角形的外接圆与圆心，熟知垂径定理是解题的关键．
5．下列命题中错误的是（）
A．经过三个点一定可以作圆B．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等
C．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等D．经过圆心垂直于切线的直线必经过切点
【答案】A
【分析】
A.根据不共线的三个点确定一个圆；
B.根据三角形外心的性质解题；
C.根据圆周角定理解题；
D.根据切线的性质解题．
【详解】
A.经过不共线的三个点可以确定一个圆，错误，故A符合题意；
B. 三角形的外心到三角形各顶点的距离相等，正确，故B不符合题意；
C. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，正确，故C不符合题意；
D. 经过圆心垂直于切线的直线必经过切点，正确，故D不符合题意，
故选：A．
【点睛】
本题考查命题与定理，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
6．如图，正方形ABCD和正①AEF都内接于①O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则EF
GH
的值是（）
A．
2
B C D．2
【答案】C
【分析】
连接AC、BD、OF，由角平分线性质解得①OAF＝30°，再根据等边对等角性质，解得①OFA＝①OAF＝30°，
继而得到①COF＝60°，再根据60°的正弦值解得FI的值，从而得到EI的值，继而得到
1
2
GH CI
BD CO
==，再
解得GH的值即可解题．
如图，连接AC 、BD 、OF ，
，
设①O 的半径是r ，
则OF ＝r ，
①AO 是①EAF 的平分线，
①①OAF ＝60°÷2＝30°，
①OA ＝OF ，
①①OFA ＝①OAF ＝30°，
①①COF ＝30°+30°＝60°，
①FI ＝r•sin60°，
①EF ＝r 22
⨯=， ①AO ＝2OI ，
①OI ＝
1r 2，CI ＝r ﹣1r 2＝1r 2
， ①12
GH CI BD CO ==， ①11GH=2r 22BD r =⨯=，
①GH EF =
即则GH
EF 故选：C ．
【点睛】
本题考查正多边形与外接圆的综合，涉及角平分线的性质、正方形的性质、正弦等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
7．如图，Rt①ABC中，①BCA＝90°，将Rt①ABC绕点A按逆时针方向旋转30°得到Rt AB C''
△，点B'在直线AC上，若BC＝1，则点C和AB C''
△外心之间的距离是（）
A．1B1C．2D
【答案】B
【分析】
设①AB'C′外心为点O，因为①AB'C′是直角三角形，所以外心在斜边AB′的中点，易求AO的长和AC的长，进而可求出OC的长，即点C和①AB'C′外心之间的距离．
【详解】
解：如图：
①将Rt①ABC绕点A按逆时针方向旋转30°得到Rt①AB′C′，点B'在直线AC上，
①①C′AB′＝①B′AB＝30°，
①BC＝1，
①AB＝AB′＝2，
①AC23
BC，
设①AB'C′外心为点O，①C′＝90°，
①外心O在斜边AB′的中点，
①AO＝1
2
AB′＝1，
①OC，故选：B．
【点睛】
本题主要考查了三角形的外接圆与外心以及旋转的性质和勾股定理的运用，熟知锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部，是解题的关键．
8．已知正三角形的边长为a ，其内切圆的半径为r ，外接圆的半径为R ，则r ：a ：R 等于（ ）
A ．1：2
B ．1：2：
C ．1：2
D ．12 【答案】A
【分析】
如图，根据等边三角形的性质可得①DAC=30°，AE=
12AC=12
a ，分别求出OE 和AO 的长即可得出结论． 【详解】
解：如图，AC=a ，OE=r ，AO=R ，
①①ABC 是正三角形，AD①BC ，
①①DAC=30°，
①OE①AC ，AC=a ①AE=12
a 在Rt①AOE 中，①DAC=30°，
①AO=2OE ，
由勾股定理得，222AE OE AO +=，即()2
22122a OE OE ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
解得，，
①AO=3
a
即：，
①r ：a ：R=1：2．
故选：A ．
【点睛】
本题考查了正多边形和圆，解决本题的关键是构造直角三角形，把半径和边心距用边长表示出来． 9．如图，ABC 中，AB =AC ，AD 是①BAC 的平分线，EF 是AC 的垂直平分线，交AD 于点O .若OA =3，则ABC 外接圆的面积为（ ）
A ．3π
B ．4π
C ．6π
D ．9π
【答案】D
【分析】 先根据等腰三角形的三线合一可得AD 是BC 的垂直平分线，从而可得点O 即为ABC 外接圆的圆心，再利用圆的面积公式即可得．
【详解】
AB AC =，AD 是BAC ∠的平分线
AD BC ∴⊥，且AD 是BC 边上的中线（等腰三角形的三线合一）
AD ∴是BC 的垂直平分线 EF 是AC 的垂直平分线
∴点O 为ABC 外接圆的圆心，OA 为外接圆的半径
3OA =
ABC ∴外接圆的面积为29OA ππ=
故选：D ．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的三线合一、三角形外接圆，正确找出三角形外接圆的圆心是解题关键． 10．如图，已知,PA PB 是O 的两条切线，A ，B 为切点，线段OP 交O 于点M ．给出下列四种说法：
①PA PB
=；①OP AB
⊥；①四边形OAPB有外接圆；①M是AOP外接圆的圆心，其中正确说法的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】
由切线长定理判断①，结合等腰三角形的性质判断①，利用切线的性质与直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，判断①，利用反证法判断①．
【详解】
解：如图，,
PA PB是O的两条切线，
,,
PA PB APO BPO
∴=∠=∠故①正确，
,,
PA PB APO BPO
=∠=∠
,
PO AB
∴⊥故①正确，
,
PA PB是O的两条切线，
90,
OAP OBP
∴∠=∠=︒
取OP的中点Q，连接,
AQ BQ，
则
1
,
2
AQ OP BQ
==
所以：以Q为圆心，QA为半径作圆，则,,,
B O P A共圆，故①正确，
M是AOP外接圆的圆心，
,
MO MA MP AO
∴===
60,
AOM
∴∠=︒
与题干提供的条件不符，故①错误，
综上：正确的说法是3个，
故选C ．
【点睛】
本题考查的是切线长定理，三角形的外接圆，四边形的外接圆，掌握以上知识是解题的关键．
11．有一题目：“已知；点O 为ABC ∆的外心，130BOC ∠=︒，求A ∠．”嘉嘉的解答为：画ABC ∆以及它的外接圆O ，连接OB ，OC ，如图．由2130BOC A ∠=∠=︒，得65A ∠=︒．而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，A ∠还应有另一个不同的值．”，下列判断正确的是（ ）
A ．淇淇说的对，且A ∠的另一个值是115°
B ．淇淇说的不对，A ∠就得65°
C ．嘉嘉求的结果不对，A ∠应得50°
D ．两人都不对，A ∠应有3个不同值
【答案】A
【分析】
直接利用圆内接四边形的性质结合圆周角定理得出答案．
【详解】
解：如图所示：
①①BOC=130°，
①①A=65°，
①A 还应有另一个不同的值①A′与①A 互补．
故①A′＝180°−65°＝115°．
故选：A ．
【点睛】
此题主要考查了三角形的外接圆，正确分类讨论是解题关键．
12．10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，A 、B 、C 、D 、E 、O 均是正六边形的顶点．则点O 是下列哪个三角形的外心（ ）．
A ．AED
B ．ABD △
C ．BC
D △ D ．ACD △
【答案】D
【分析】 根据三角形外心的性质，到三个顶点的距离相等，可以依次判断．
【详解】
答：因为三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，所以由正六边形性质可知，点O 到A ，B ，C ，D ，E 的距离中，只有OA=OC=OD ．
故选：D ．
【点睛】
此题主要考查了三角形外心的性质，即到三角形三个顶点的距离相等．
13．下列命题中正确的个数是（ ）
①过三点可以确定一个圆
①直角三角形的两条直角边长分别是5和12，那么它的外接圆半径为6.5
①如果两个半径为2厘米和3厘米的圆相切，那么圆心距为5厘米
①三角形的重心到三角形三边的距离相等．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】A
【分析】 ①根据圆的作法即可判断；
①先利用勾股定理求出斜边的长度，然后根据外接圆半径等于斜边的一半即可判断；
①根据圆与圆的位置关系即可得出答案；
①根据重心的概念即可得出答案．
【详解】
①过不在同一条直线上的三点可以确定一个圆，故错误；
①①直角三角形的两条直角边长分别是5和12，
①13= ,
①它的外接圆半径为.113652
⨯=，故正确； ①如果两个半径为2厘米和3厘米的圆相切，那么圆心距为5厘米或1厘米，故错误；
①三角形的内心到三角形三边的距离相等，故错误；
所以正确的只有1个，
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查直角三角形外接圆半径，圆与圆的位置关系，三角形内心，重心的概念，掌握直角三角形外接圆半径的求法，圆与圆的位置关系，三角形内心，重心的概念是解题的关键．
14．三角形的外心是（ ）
A ．三角形三条边上中线的交点
B ．三角形三条边上高线的交点
C ．三角形三条边垂直平分线的交点
D ．三角形三条内角平分线的交点
【答案】C
【分析】
根据三角形外心的定义即可判断.
【详解】
解：三角形的外心是三角形中三边垂直平分线的交点，
故选C．
【点睛】
本题考查了三角形的相关知识，正确区分三角形的外心、内心、垂心、重心是解题的关键.外心：三角形中三边垂直平分线的交点；内心：三角形三条内角平分线的交点;垂心: 三角形三条边上高线的交点;重心: 三角形三条边上中线的交点.
15．如图，在4×4的网格图中，A、B、C是三个格点，其中每个小正方形的边长为1，①ABC的外心可能是（）
A．M点B．N点C．P点D．Q点
【答案】D
【分析】
由图可知，①ABC是锐角三角形，于是得到①ABC的外心只能在其内部，根据勾股定理得到BP＝CP
≠PA，于是得到结论．
【详解】
解：由图可知，①ABC是锐角三角形，
①①ABC的外心只能在其内部，
由此排除A选项和B选项，
由勾股定理得，BP＝CP≠PA，
①排除C选项，
故选D．
【点睛】
本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，熟练掌握三角形的外心的性质是解题的关键．
16．有下列四个命题：①直径是弦；①经过三个点一定可以作圆；①三角形的外心到三角形各顶点的距离都
相等；①半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【解析】
分析：根据圆中的有关概念、定理进行分析判断．
解答：解：①经过圆心的弦是直径，即直径是弦，弦不一定是直径，故正确；
①当三点共线的时候，不能作圆，故错误；
①三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，故正确；
①在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，所以半径相等的两个半圆是等弧，故正确．
故选B．
17．过钝角三角形的三个顶点作圆，其圆心在（）
A．三角形内B．三角形上C．三角形外D．以上都有可能
【答案】C
【分析】
根据过三角形的三个顶点的圆是三角形外接圆①再利用锐角三角形①直角三角形①钝角三角形外心位置不同得出答案.
【详解】
过三角形的三个顶点的圆是三角形外接圆，
当过锐角三角形三个顶点①圆心在三角形内部①
当过直角三角形三个顶点①圆心在三角形斜边上①
当过钝角三角形三个顶点①圆心在三角形外部.
故选①C.
【点睛】
此题主要考查了三角形的外心位置确定的应用，根据三角形形状不同得出不同的结论是解题关键.
18和1，那么它的外接圆的直径是（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】
根据勾股定理求出斜边AB，即可求出答案．
【详解】
在Rt①ACB中，
由勾股定理得：=2①
即直角三角形ACB的外接圆的直径是2.
故选B①
【点睛】
本题考查了直角三角形的外接圆与外心及勾股定理，熟知直角三角形的外接圆的直径等于斜边是解决问题的关键①
19．如图，在等边三角形网格中，①ABC的顶点都在格点上，点P①Q①M是AB与格线的交点，则①ABC 的外心是① ①
A．点P B．点Q C．点M D．点N
【答案】B
【分析】
首先证明①ACB是直角三角形，根据直角三角形的外心是斜边的中点即可解决问题．
【详解】
由题意可知，①BCN=60°①①ACN=30°①
①①ACB=①ACN+①BCN=90°①
①①ABC是直角三角形，
①①ABC的外心是斜边AB的中点，
①点Q是AB中点，
①①ABC 的外心是点Q①
故选B①
【点睛】
本题考查三角形的外心与外接圆、等边三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
20．如图，已知①ABC 的内切圆①O 与各边分别相切于点D ，E ，F ，那么点O 是①DEF 的( )
A ．三条中线的交点
B ．三条高线的交点
C ．三边的垂直平分线的交点
D ．三条角平分线的交点
【答案】C
【解析】
分析：三角形外接圆的圆心是中垂线的交点；三角形内切圆的圆心是角平分线的交点①
详解：①圆O 是①DEF 的外接圆， ①点O 是三边的垂直平分线的交点， 故选C①
点睛：要考查你对三角形的内心、外心等考点的理解，属于基础题型．理解定义是解题的关键． 21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 为（0，3），点B 为（2，1），点C 为（2，-3）．则经画图操作可知：①ABC 的外心坐标应是（ ）
A ．()0,0
B ．()1,0
C ．()2,1--
D ．()2,0
【解析】
外心在BC的垂直平分线上，则外心纵坐标为-1.故选C.
22．如图，地面上有三个洞口A、B、C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞口（到A、B、C三个点的距离相等），尽快抓到老鼠，应该蹲守在（）
A．①ABC三边垂直平分线的交点
B．①ABC三条角平分线的交点
C．①ABC三条高所在直线的交点
D．①ABC三条中线的交点
【答案】A
【分析】
根据题意，知猫应该到三个洞口的距离相等，则此点就是三角形三边垂直平分线的交点．
【详解】
解：①三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，
①猫应该蹲守在①ABC三边垂直平分线的交点处．
故选A．
【点睛】
本题考查线段垂直平分线的性质，掌握三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等是本题的解题关键．
二、填空题
23．设两直角边分别为3、4的直角三角形的外接圆和内切圆的半径长分别为R和r，则R—r =______．【答案】1.5
【分析】
通过勾股定理计算出斜边的长，得到三角形的外接圆半径；再利用内切圆半径等于两直角边的和与斜边的差的一半，计算出内切圆半径，最后求它们的差．
①直角三角形的斜边5
=，
①三角形的外接圆半径R=2.5，内切圆半径r=(3＋4−5)÷2＝1，
①R−r＝1.5，
故填1.5．
【点睛】
本题主要考查勾股定理，三角形的外接圆和内切圆半径，掌握直角三角形外接圆半径等于其斜边的一半，其内切圆半径等于两直角边的和与斜边的差的一半，是解题的关键．
24．在平面直角坐标系xOy中，A（5，6），B（5，2），C（3，0），①ABC的外接圆的圆心坐标为____．
【答案】(1，4)
【分析】
如图，作AB和BC的垂直平分线，它们的交点为①ABC的外接圆的圆心，然后直接读出①ABC的外接圆的圆心坐标．
【详解】
解：如图所示：点P即为所求；
所以点P的坐标为（1,4）．
故答案为（1,4）．
【点睛】
本题主要考查了三角形的外接圆与外心，掌握三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点是解答本题的关键．
25．如图，在平面直角坐标系xoy 中，点A 的坐标为()0,3，点B 的坐标为()2,1，点C 的坐标为()2,3-．经画图操作可知ABC 的外心坐标可能是( )
【答案】（−2，−1）
【分析】
首先由①ABC 的外心是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作AB 与BC 的垂直平分线，它们的交点即为①ABC 的外心．
【详解】
解：①①ABC 的外心是三角形三边垂直平分线的交点，
①如图，AB 和BC 的垂直平分线的交点O′即为所求的①ABC 的外心，
①①ABC 的外心坐标是（−2，−1），
故答案为：（−2，−1）．
【点睛】
此题考查了三角形外心的知识．注意三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点．解此题的关键是数形结合思想的应用．
26．已知①ABC 的一边长为 10，另两边长分别是方程 x 2 - 14 x + 48 = 0 的两个根若用一圆形纸片将此三角
形完全覆盖，则该圆形纸片的最小半径是_______________．
【答案】5
【分析】
求出方程的解，根据勾股定理的逆定理得出三角形ABC是直角三角形，根据已知得出圆形正好是①ABC的外接圆，即可求出答案．
【详解】
解：解方程x2-14x+48=0得：x1=6，x2=8，
即①ABC的三边长为AC=6，BC=8，AB=10，
①AC2+BC2=62+82=100，AB2=100，
①AB2=AC2+BC2，
①①C=90°
①若用一圆形纸片将此三角形完全覆盖，
则该圆形纸片正好是①ABC的外接圆，
①①ABC的外接圆的半径是1
2
AB=5，
故答案为5．
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理，三角形的外接圆与外心，解一元二次方程的应用．
27．直角三角形的两直角边分别3，4；则它的外接圆半径R=___________．
【答案】2.5
【分析】
利用勾股定理易得直角三角形的斜边，它外接圆的半径为斜边的一半
【详解】
①直角三角形的两直角边分别为3和4，
①，
①它的外接圆半径为5÷2=2.5
①①①①①2.5
【点睛】
本题考查了求直角三角形外接圆的半径；用到的知识点为：直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半
三、解答题
28．如图，①ABC的顶点坐标分别为：A（1，0），B（3，0），C（0，1）．
（1）①ABC的外接圆圆心M的坐标为；
（2）①以点M为位似中心，画出①DEF，使它与①ABC位似（点D与A对应），且相似比为2：1；
①①DEF的面积为个平方单位．
【答案】（1）（2，2）；（2）见解析；（3）4
【分析】
（1）根据三角形的外接圆圆心是三边中垂线的交点，则可画出三边中垂线交于M点，得出坐标即可；（2）①连接MA并反向延长至D，使得MD=2MA，同理构造ME和MF，顺次连接D、E、F，则①DEF即为所求；
①从图中可得出，以ED为底边，F到ED的距离为高即可求出①DEF的面积．
【详解】
（1）如图所示，分别作①ABC三边的中垂线，交于M点，坐标为（2，2），
故答案为：（2，2）；
（2）①如图，连接MA并反向延长至D，使得MD=2MA，
同理构造出E、F，顺次连接D、E、F，则①DEF即为所求；
①
1
424
2
DEF
S=⨯⨯=
△
，
故答案为：4．
【点睛】
本题主要考查三角形的外心，以及位似图形的作图，理解三角形外心的定义以及作位似图形的方法是解题关键．
⨯网格中（每个小正方形的边长都是1），线段AB的两个端点都在格点上．将线段AB绕29．如图，在54
点B顺时针旋转90°，得到线段BC．
（1）旋转过程中点A的运动路径长为；
（2）在网格中用无刻度直尺作图：（不写作法，保留作图痕迹）
①画出线段BC；
①作出①ABC的外心O．
【答案】（1）
；（2）①见解析：①见解析
2
【分析】
（1）由于线段AB在变换到BC的过程中，A点走过的路程为以B为圆心，AB为半径，圆心角为90度的弧，于是利用弧长公式可计算出A点的运动路径长；
（2）①根据旋转方向和旋转角度作图即可；
①根据直角三角形的外心在斜边中点利用网格作图确定AC的中点即可．
【详解】
解：（1）由勾股定理可得：AB=
①点A ；
故答案为：2
（2）①如图线段BC 即为所求：
①如图点O 即为所求：
【点睛】
本题考查了作图-旋转变换，弧长公式及三角形的外心，掌握相关概念正确作图是解题关键．
30．如图，在平面直角坐标系xOy 中，ABC ∆的三个顶点坐标分别为()()()2,0,3,1,1,3A B C ．
（1）按下列要求画图；
①将ABC ∆沿x 轴向左平移2个单位长度，得到111A B C ∆，请画出111A B C ∆；
①将111A B C ∆绕点О逆时针旋转90︒，得到222A B C ∆，请画出222A B C ∆．
（2）12BC C ∆是 三角形，其外接圆的半径R = ．
【答案】（1）①如图111A B C △即为所画，见解析；①如图222A B C △即为所画，见解析；（2．
【分析】
（1）①根据平面直角坐标系中图形平移规律向左平移2个单位长度，即A 、B 、C 三点的横坐标均减2，得到的新坐标点111A B C 、、，并把其首尾相连即可得到平移后111A B C ∆；
①根据图形旋转的特点，逆时针旋转90°，旋转后的图形与原来图全等，且对应边相互垂直，依据此作图即
可；
（2）连接12B C C 、、，得到三角形12BC C ，在网格中，利用勾股定理逆定理，可证明12BC C 为等腰直角三角形；本等腰直角三角形外接圆的直径是该三角形的斜边，则半径为斜边的一半，即可求出其外接圆的半径．
【详解】
（1）①()()()2,0,3,1,1,3A B C 向左平移2个单位后，可得1110,01,11
3A B C -（）、（）、（，），然后在坐标系中描点、连线，如图111A B C △即为所画.
①如图222A B C △即为所画.
()
2
解：①12C C ==
1BC ==，
①112BC C C =，
①12BC C 为等腰三角形
又①2BC ==
①22112=40BC C C +，222=40BC =（
①2221122=BC BC C C +
①12BC C 为等腰直角三角形
①等腰直角三角形外接圆的直径是该三角形的斜边，则半径为斜边的一半，
①212
R BC ==
R
即外接圆的半径=
【点睛】
本题考查了平面直角坐标系中的图形平移与旋转，勾股定理逆定理以及三角形外接圆的有关知识，解答关键是利用数形结合思想解决问题．
31．如图1，等边ABC内接于①O，连接CO并延长交①O于点D．
（1）可以证明CD垂直平分AB，写出AD与DB的数量关系：___．
（2）请你仅使用无刻度的直尺按要求作图：
①在图1中作出一个正六边形，保留作图痕迹（作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）．
①请在图2中作出①O的内接正六边形ADBECF的一条不经过顶点的对称轴，保留作图痕迹(作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）．
【答案】（1）AD DB
=；（2）①见解析，①见解析
【分析】
（1）结合外心的定义和等边三角形的性质推断出CD垂直平分AB，从而利用垂径定理得出结论即可；（2）①结合（1）的结论，可直接连接AO，BO，分别延长与圆相交，再顺次连接各交点即可；
①如图，延长AF，EC，交于一点，此时可构成等边三角形，从而连接交点与圆心的直线即为所求的对称轴．【详解】
（1）AD DB
=，
①O为三角形的外心，
①O为三角形三边中垂线的交点，
又①三角形为等边三角形，
①可得CD垂直平分AB，
根据垂径定理可得：AD DB
=；
（2）①如图所示，在（1）的基础之上，连接AO，并延长至E，连接BO，并延长至F，顺次连接圆周上各点即可；
①如图所示：（方法不唯一）
【点睛】
本题主要考查复杂作图，以及正多边形与圆之间的关系，熟练掌握正多边形的性质是解题关键．
32．如图，在①O中，两条弦AC，BD垂直相交于点E，等腰①CFG内接于①O，FH为①O直径，且AB＝6，CD＝8．
（1）求①O的半径；
（2）若CF＝CG＝9，求图中四边形CFGH的面积．
【答案】（1）①O的半径为5；（2）S四边形CFGH
25
【分析】
（1）作DM＝AB，连接CM．则AB DM
=，只要证明CM是圆的直径即可解决问题；（2）设直径CM交FG于点N，设FN＝x，ON＝y，构建方程组求出x、y即可解决问题．【详解】
解：（1）如图作DM＝AB，连接CM．则AB DM
=，
①AD BM
=，
①①ABD＝①MDB，
①①ABD+①BAE＝90°，①BAE＝①BDC，
①①MDB+①BDC＝90°，
①①CDM＝90°，
①CM是直径，
①
CM==10，①①O的半径为5．
（2）①FH是直径，
①①FCH＝90°，
①
CH==
设直径CM交FG于N，设FN＝x，ON＝y，
则有
22
22
25
(5)81 x y
x y
⎧+=
⎨
++=
⎩
，
解得
10
31
10
x
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，
可得GH＝2ON
31
5
=，FG＝2
FN=，
①S四边形CFGH＝S①CFH+S①
FGH
25
=．
【点睛】
本题考查三角形的外接圆与圆心，等腰三角形的性质，圆的有关知识，解题的关键是学会添加辅助线，根据直角三角形的性质解决问题，难度适中．
33．如图，D 是ABC 的边BC 的中点，过AD 延长线上的点E 作AD 的垂线EF ，E 为垂足，EF 与AB 的延长线相交于点F ，点O 在AD 上，AO ＝CO ，//BC EF ．
（1）证明：AB ＝AC ；
（2）证明：点O 是ABC 的外接圆的圆心．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】
（1）先根据平行线的性质可得AD BC ⊥，再根据线段垂直平分线的判定与性质即可得证；
（2）如图（见解析），先根据线段垂直平分线的性质可得BO CO =，从而可得AO CO BO ==，由此即可得证．
【详解】
（1）//,BC EF AD EF ⊥，
AD BC ∴⊥， 又点D 是ABC 的边BC 的中点，
AD ∴垂直平分BC ，
AB AC
∴=；
（2）如图，连接BO，
由（1）已证：AD垂直平分BC，
点O在AD上，
BO CO
∴=，
又AO CO
=，
AO CO BO
∴==，
①点O是ABC的外接圆的圆心．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、线段垂直平分线的判定与性质、三角形外接圆的圆心，熟练掌握线段垂直平分线的判定与性质是解题关键．
34．①ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，①O是①ABC的外接圆．
（1）如图①，求①O的半径；
（2）如图①，①ABC的平分线交半径OA于点E，交①O于点D．求OE的长．
【答案】（1）①O的半径为25
8
；（2）OE
5
8
=
【分析】
(1)过A点作AH①BC于H，如图①，利用等腰三角形的性质得BH=CH=3，根据垂径定理的推论可判断点O
在AH上，则利用勾股定理可计算出AH=4，连接OB，设①O的半径为r，在Rt①OBH中利用勾股定理得到32+（4-r）2=r2，然后解方程即可；
(2)作EF①AB于F，如图，根据角平分线的性质得到EH=EF，利用面积法得到
3
5
EH BH
AE AB
==，所以EH
3
8
=
AH
3
2
=，然后利用（1）得OH
7
8
=,从而计算EH-OH得到OE的长．
【详解】
解：（1）过A点作AH①BC于H，如图①，
①AB＝AC＝5，BC＝6，
①BH＝CH
1
2
=BC＝3，
即AH垂直平分BC，
①点O在AH上，
在Rt①ABH中，AH==4，
连接OB，设①O的半径为r，则OB＝r，OH＝AH﹣OA＝4﹣r，
在Rt①OBH中，32+（4﹣r）2＝r2，解得r
25
8 =，
即①O的半径为25 8
；
（2）作EF①AB于F，如图①
①BD平分①ABC，
①EH＝EF，
①S①ABE
1
2
=BH•AE
1
2
=AB•EF，。