季节模型实验

实验一季节模型
实验目的：
掌握季节调整的方法。

实验内容：
对时间序列进行季节调整。

知识准备：
经济时间序列的变化受许多因素的影响，概括地讲，可以将影响时间序列变化的因素分为四种，即长期趋势（T，随着时间的变化，按照某种规律稳步地增长、下降或保持在某一水平上）、季节变动因素（S，在一个年度内依一定周期规则性变化）、周期变动因素（C，以若干年为周期的波动变化）和不规则变动因素（I，许多不可控的偶然因素共同作用的结果）。

传统时间序列分析应是设法消除不规则变动，指拟合确定性趋势，因而形成了长期趋势分析、季节变动分析和循环波动测定等一系列确定型时间序列分析方法。

季节变动是一种较为普遍的现象，其按照一定的周期循环进行，而且每个周期变化强度大体一致。

研究季节变动的目的在于了解季节变动的规律，并进行季节预测。

分析季节变动的方法有很多，其中常用的方法有两类：一是不考虑长期趋势的影响；二是考虑长期趋势的影响，运用时间序列模型分解的方法来计算季节指数。

谓季节调整,就是将某一统计指标的时间序列中的季节性因素和偶然性因素剔除,从而使经过季节调整的时间序列能够较为准确地反映出社会经济运行基本态势。

本章主要介绍X11方法、Census X12方法和移动平均比率法等季节调整方法。

一、X11方法
X11的全称是“X11”变量的第二类调查统计方法季节调整方案，通常简称为X11方案。

其基本思想是利用一系列处理技术将不可比因素如季节、节假日、各月（季）的星期数量等分离，大大提高数据的可比性，以便于对系统作出正确的分析和客观的评价；同时，通过分离，获得关于系统动态结构和规律的大量信息。

X11季节调整方法包括乘法模型和加法模型。

乘法模型将时间序列分解为上述四个因素变动的乘积；加法模型则将序列分解为上述四个因素的和无约束样本回归模型。

乘法模型：
t t t t t I S C T Y ***= （1） 加法模型：t
t t t t I S C T Y +++= （2） 对于一个时间序列，采用哪种模型分析取决于各成分之间的关系。

一般来说，
若4种成分是相互独立的应用加法模型；若相互有关联则用乘法模型。

相对而言，乘法模型应用比较广泛。

在乘法模型中，时间序列值和长期趋势用绝对数表示，季节变动、周期变动和不规则变动用相对数（百分数）表示。

X11 是X12方法的核心，其目标旨在将经济时序Yt 分解为趋势循环成分
TCt 、季节成分S t 和不规则分成I t ，其中月度数据还需要分解出移动节日、交易日数等日历效应分量Dt 。

X11 可以估计趋势和季节因素，可以用自动过滤选择模式选择季节过滤和趋势过滤（对序列结尾有专门的过滤），还能够调整异常值。

设t Y 为原时间序列，现以乘法模型为例，说明X11季节调整方法的核心算法，
共分为三个阶段：
第一阶段，初步估计
(1)序列趋势循环的粗略估计，即对原序列作中心化移动平均
12/)2
1......21(6556++--++++++=t t t t t t Y Y Y Y Y TC （3） 4)5.05.0(2112--++++++=t t t t t t Y Y Y Y Y TC （4）
（3）式适用于月度数据，（4）式适用于季度数据。

该移动平均能够保留线
性趋势，消除季节性并减小不规则因素的方差。

(2)趋势因素过滤，计算得到仅包含季节和不规则因素变化新序列SI
t t t TC Y SI /)1(= （5）
(3)对序列)1(t SI 进行3*3项移动平均，得到初步的季节因素估计序列S
)(9/)232(ˆ)1(3*3)1(24
)1(12)1()1(12)1(24)1(t t t t t t t SI M SI SI SI SI SI S =++++=++-- （6）
对每个月的观测值分别应用3*3项移动平均，从而保留线性趋势。

(4)先将季节因素估计序列除以2*12的移动平均值，得到初步的无偏季节因
子，然后从中消除季节因子从而得到不规则因子
[]
)1(12*2)1()1(6)1(5)1(5)1(6)1()1(ˆˆ24/)ˆˆ2....ˆ2ˆ(ˆt t t t t t t t S M S S S S S S S -=++++-=++-- （7） 通过对季节因子进行标准化，使得因子之和在每个连续的12个月内都近似
为0。

(5)将原序列除以季节因子，从而得到初步季节调整后的序列
)1()1(/t t t S Y TCI = （8）
这是初次估计的季节调整后序列，所包含的季节性因素已经很少。

接下来将
基于)1(t TCI 序列继续进行移动平均。

第二阶段 进一步估计和过滤
（1）利用长度为2H+1Henderson 过滤来计算趋势（循环）成分
∑-=++=
H H j j t H j TCI h TCt )1()12()2( （9）
其中H 值由信噪比标注I/C （C 代表趋势）确定，j h 为各平滑数据的权数。

X-12选择H 的标准：当I/C< 时，用9（即H=4）次过滤；当=I/C<，用13（即H=6）次过滤；当=I/C 时，用23（即H=12）次过滤。

(2)计算最后的季节-不规则因素的比率
)2()2(/t t t TC Y SI = （10）
(3)通过3*5项移动平均计算出最后的季节因素，再对其进行收敛得到无偏
季节因素
[])2(5*3)2(36)2(24)2(12
)2()2(12)2(24)2(36)2(15/)23332(ˆt t It t t t t t t SI M SI S SI SI SI SI SI S =++++++=+++---
(11)
对每月（季）的观测值分别应用3*5项移动平均，从而保留线性趋势。

(4)计算最终的季节因子
24/)ˆˆ2....ˆ2ˆ(ˆ)2(6
)2(5)2(5)2(6)2()2(++--++++-=t t t t t t S S S S S S (12) 上式对季节因子进行标准化，使得因子之和在每一个连续的12月（4季度）
内都近似为零。

（5）第二步季节调整后的序列
)2()2(/t t t S Y TCI = (13)
第三阶段 最终估计与过滤
（1）利用Henderson 移动平均公式计算最终的趋势循环因素
∑-=++=
H H j j t H j TCI h TCt )2()12()3( (14)
上式表示2H+1项Henderson 移动平均，其移动平均的项数由数据决定，可
能会第二阶段步骤一有所不同。

（2）计算最终的不规则因素
)3()2()3(/t t t TC TCT I = (15)
从而得到分解序列的乘法模型：)3()2()3(t t t t I S TC Y **=
至此，季节调整完毕。

季节调整加法模型等其他季节调整模型的步骤与乘法
模型类似。

由此可以看出，X11是基于移动平均的季节调整方法，用户可以根据各种季
节调理的目的不同自主地选择计算公式，从而适应序列的特征。

系统也会自动地根据随机因素的大小确定移动平均的长度。

在X11 中，趋势过滤包括2×12（或2×4）初步的趋势估计和最终趋势估计的Handerson 过滤两个环节，季节（自动）过滤包括3×3 初步的季节估计和3×3、3×5 或3×9 的最终季节过滤两个环节。

多数情况下可选择3×5，季节模式迅速变化时用3×3，季节模式不是正在变化或不规则因素影响很大时用3×9。

趋势估计或季节估计都采用平滑方法。

X11方法是通过几次迭代来进行分解的，每一次对组成因子的估算都进一步
准确化。

应当注意，X11只能作用于含季节因素的序列，季节调整的观测值的个数是有限制的，最少需要4个整年的数据，最多能调整20年的月度数据及30年的季度数据。

二、Census X12季节调整方法
Census X12是美国人口普查局关于季节调整的最新研究成果，X11 是X12
方法的核心。

其主要的变化在于可以对数据作更加丰富的预处理，检测和修正
不同类型的离群值，估计并消除日历因素的影响，对季节调整的效果进行更严格的诊断检验。

其是一种基于给定序列进行成分提取的季节调整方法，是一种基于移动平均的非参数方法提取成分。

1、X12季节调整的模型选择
X12保留了基本的加法和乘法模型，而且还可以计算另一种乘法模型，即把
被调整序列取对数后进行加法分解再指数化，这被称为对数加法模型。

它适合于对模型的趋势估计进行偏差修正，同时还可对对数正态分布识别的极端值进行修正。

伪加法模型是由英国国家统计办公室开发。

时序季节调整方法有如下四种：
加法模型：t t t t I S TC Y ++= （16）
乘法模型：t t t t I S TC Y **= （17）
利用对数变换可将乘法模型转换成加法模型，即对数加法模型：
t t t t I S TC Y ln ln ln ln ++= （18）
伪加法模型：)1(-+*=t t t t I S TC Y （19）
其中，t TC 表示趋势循因素；t S 表示季节因素；t I 表示不规则因素。

乘法模
型应用最为广泛。

伪加法模型主要用来对在每年相同月份取值很小、接近于零的非负时间序列进行季节调整。

X12季节调整方法的基本过程和步骤与X-11方法的原理相同，在此就不再
重述。

但其在X-11方法的基础上，增加了交易日的调整。

2、交易日影响
月度（季度）时间序列中循环出现的星期构成效应称为交易日影响。

Yong
（1965）讨论了流量交易日的影响，Cleveland and Grupe （1983）讨论了存量贸易日的影响。

与季节效应类似，交易日效应也使得序列的跨月比较或者两个序列之间运动规律的比较显得困难。

因此，在执行季节调整时如果估计的交易日效应应具有统计显著性，通常要将它们从序列中调整出去。

为了从月度流量序列中得到交易日效应模型，设一周中第i 天的效应记为
)7,...,2,1(=i i α,it d 表示月份t 中星期i 的个数，则该月贸易日的累积效应可表示为：
∑=71i it i
d α (20) 记α为平均日度效应，t N 该月的长度，∑∑===7
1
,7/i it t i d N αα，则上式可
以表示为：
∑∑∑===--+=-+=6
177171))(()(i t it i t i i it i t it i
d d N d N d ααααααα 累积的月度效应可以分解为月份长度效应和日度对立变量的净效应，因此式
（20）的季节成分和水平成分归于日历月均值t N *α表示，其中：
∑=+=4
11241*k k t N Nt
(21)
至于这些成分如何从模型中消除，取决于用以得到不规则成分的季节分解的
类型。

对于乘法分解模型，在方程（20）两端同时除以t N *α以消除对交易日效应的去季节化和退势。

令1)/(-=a i i αβ，得到
*7161*7*)1()(t i it i i t t it i t
t
N d N d d N N ∑∑==+=-+ββ
(22) 这就是Yong （1965）没有推导而直接给出的交易日效应模型。

设ID 表示包
括贸易日影响的不规则因素的初步估计，则其估计可通过最小二乘法拟合下面的模型得到回归系数的估计值)6,...,2,1(=i i β(其中∑=-=6
17i i ββ)：
t t it i i d d εβ+-∑=)(761 (23)
同样地，对于加法模型对应于式（23），是由式（20）两端同时减去t N *α，从而得到
t t i it i t t d d N N εββ+-+-∑=)()(771*
(24) 其中：ααβαβ-==i i ，0，61≤≤i ；然后与乘法模型类似，建立回归方
程
t i it i t t t d N N ID εββ++-=∑=7
1*
0)( （25） 利用普通最小二乘法估计上式中的参数)7,...,2,1(ˆ=i i
β,从而求得的估计结果t
D I ˆ是乘法模型下贸易日因素影响的估计值，而残差序列是不规则因素变动的估计值。

除了上面介绍的去季节化和退势方法之外，还有一种主要用于加法分解的方
法。

这就是SABL 季节调整来进行交易日回归的匹配过滤法，在这种方法中，先将不规则滤子施用于式（20）中的回归经过dit ，再用不规则序列对它们进行回归。

显然这是对交易日效应进行去季节化和退势的另一种方法。

但匹配过滤法如何应用于乘法模型或伪加法模型的分解还不清楚。

三、移动平均比率法
如果时间序列包含有明显的上升或下降趋势或循环变动，为了准确地计算季
节指数，就应当首先设法从序列中消除趋势和循环变动因素，然后用平均的方法消除不规则变动，从而较准确地分解出季节变动成分。

下面主要分析采用移动平均法拟合长期趋势，从而确定季节变动的过程：
现以加法模型为例，来说明移动平均下加法模型进行季节调整的步骤：
（1）首先对时间序列进行中心化移动平均，其目的是消除各年同一季节数
据的不规则变动和季节变动，从而得到趋势循环序列TCt ，其只包含趋势变动T 和循环变动C 。

12)5.0......5.0(66-+++++=t t t t Y Y Y TC (26)
4)5.05.0(2112--++++++=
t t t t t t Y Y Y Y Y TC
(27) (25)式适用于月度数据，（26）适用于季度数据。

（2）为了剔除原序列中的趋势变动和循环变动，将原时间序列减去移动平
均序列对应时间的各项数据TCt ，从而计算序列SI 。

t t t TC Y SI -=
(28)
(3)将序列SI 各年同月或同季的比率数据平均，以消除不规则变动I ，再分
别除以全部SI 数据的总平均数，得到季节因子
j s 。

（4）调整季节因子
j s 使得它们的和等于零： ∑=-=k
j j j j s k s S 11
(29)
j S 为标准化的季节因子，对于季度数据j=1,2,3,4,k=4，即同一季度的季节
因子相同；对于月度数据j=1,2,…,12,k=12,即同一月份的季节因子相同。

（5）计算季节调整的最终结果，从而从序列中消除季节变动的影响：
j t t S Y TCI -= (30)
上式中，j S 应与t Y 所在的月份（季度）对应。

乘法模型的季节调整过程原理与加法模型类似。

实验背景：
现获得某企业1995-1998年各月的销售额数据资料如下：
3017.6
要求采用X12和移动平均比率法对该企业的销售额进行季节调整。

实验步骤：
一、X12季节调整方法
点击Proc/Seasonal Adjustment/Census X12,打开季节调整对话框，如图
所示：
图
Seasonal Adjustment复选框：用于选择季节调整方法。

其主要包括四种模型供选择：Multiplicative(乘法)、Additive(加法)、Pseudo-additive(伪加法)、Log-additive(对数加法)。

Seasonal Filter：用于选择季节移动平均滤波（又称为月别移动平均项数），缺省时由X12 default自动确定。

Trend Filter(Henderson)复选框：使用Henderson移动平均进行趋势滤波。

在估计趋势循环分量时，允许按指定Henderson移动平均的项数，其取值为大于
1且小于等于101的奇数，缺省时由X12自动选择项数。

Component Series to Save：用于存储调整后的分量序列。

X12方法将被调整的序列名作为缺省列在Base name文本框中，可以改变序列名。

X12方法将序列名加上相应的后缀存在工作文件中：Final seasonally adjusted series(-SA)，最终的季节调整后的序列；Final seasonal factor(-SF)，最终的季节因子；Final trend-cycle（-TC），最终的趋势循环序列；Final irregular component(-IR)，最终的不规则因素分量；Combined seasonal/trading day factor(-D16)，季节、贸易日因子；Combined holiday/trading day factor（-D18）,假日、贸易日因子。

ARIMA Options：用于选择ARIMA模型。

在此不作介绍。

单击Trading Day/Holiday，打开贸易日和节假日调整框，如图所示：
图
用于选择Adjustment Options，决定是否进行贸易日和节假日调整。

None,表示不进行调整；Adjust in ARIMA step表示在ARIMA步骤进行调整；Adjust in X11 step表示在X11步骤进行调整。

Trading Day Effects：用于贸易日影响调整。

Flow day-of –week/leap year effects(流量序列对周工作日影响进行调整）、Flow weekday-weekend/leap year effects(流量序列仅对周日-周末影响进行调整)、Stock day-of week of month(存量序列仅对月度序列调整而且还需给出被调整序列的月天数)。

Holidays：用于节假日调整，由于只针对美国，不能应用于其它国家，因此不作介绍。

对于除季节调整和交易日调整外的其它功能在此不作介绍。

在本例中，点击View/graph/line,得到序列的趋势图如下：
图
从趋势图可以很明显地看到该企业的季度销售额呈现出季节性。

因此,选择Census X12 乘法模型，按系统默认确定调整后的序列名,不进行间距诊断，不进行贸易日调整、节假日及外部影响调整，不考虑ARIMA模型，点击“确定”，从而得到最终的季节调整后的序列xsa，最终的季节因子xsf，最终的不规则因素分量xir及最终的趋势循环分量xtc等序列。

如图所示：
图
二、移动平均比率法
在序列窗口点击Proc/Seasonal Adjustment/Moving Average Method ，打开移动平均比率对话框，如图所示：
图
Adjustment method：用于选择调整所适用的模型，其包括Ratio to moving
average-Multiplicative(乘法模型)和Difference from moving average-Additive(加法模型)。

Series to calculate：用于定义计算后的序列名。

Adjusted用于定义调整后的序列名；Factors用于定义季节调整因子序列名。

在本例中，选择Ratio to moving average-Multiplicative(乘法模型)，默认系统确认的调整后的序列名，季节调整因子序列名为ss，然后点击OK，得到如下结果：
图
从Eviews输出结果知，该企业销售额各月的季节因子。

然后打开调整后的序列xsa,观察其折线图，如图所示：
图
可以很明显地看到季节调整后的序列明显地消除了原序列的季节性。