高考数学一轮复习第五章平面向量复数55复数课件文

第
五
平面向量、复数
章
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第一页，共四十页。
第五节
复数
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高考概览 1.理解复数的基本概念；2.理解复数相等的充要条件；3.了解 复数的代数表示法及其几何意义；4.会进行复数代数形式的四则 运算；5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.
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[跟踪演练]
1．(2018·辽宁沈阳二中一模)设 i 是虚数单位，若复数 a－41－7 i
(a∈R)是纯虚数，则实数 a 的值为( )
A．－4
B．－1
C．4
D．1
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[解析] 因为 a－41－7 i＝a－41－7i4＋4＋i i＝(a－4)－i 是纯虚 数，所以 a＝4.故选 C.
＝－1.
[答案] (1)A (2)－1
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复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求 某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者 用向量相等直接给出结论即可．
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[跟踪演练]
1．设复数 z1，z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2
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[温馨提示] 复数有关概念的三个误区：纯虚数；虚部；共 轭复数．
如：(1)已知复数 z＝m2－1＋(m－1)i 是纯虚数，则实数 m＝ －1 .
(2)复数 2－5i 的虚部为 －5 . (3)复数－3＋4i 的共轭复数是 －3－4i .
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2．复数的几何意义 (1)复平面的概念 建立 直角坐标系 来表示复数的平面叫做复平面． (2)实轴、虚轴 在复平面内，x 轴叫做 实轴 ，y 轴叫做 虚轴 ，实轴上的 点都表示 实数 ；除原点以外，虚轴上的点都表示 纯虚数．
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(3)复数的几何表示
复数 z＝a＋bi
值范围是( )
A.－2，12 C．(－∞，－2)
B.－12，2 D.12，＋∞
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[解析] ∵z＝a2＋－ii＝a2＋－ii22＋＋ii＝2a－1＋5a＋2i，又－z 在第
三象限，∴2－a－52＋51<a<0，0，
解得－2<a<12，故选 A.
[答案] A
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[小题速练]
1．(2016·北京卷)复数12＋－2ii＝(
)
A．i
B．1＋i
C．－i
D．1－i
[解析] 由复数运算可知12＋－2ii＝12＋－2ii22＋＋ii＝55i＝i.故选 A.
[答案] A
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2．(2017·全国卷Ⅰ)下列各式的运算结果为纯虚数的是( )
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③乘法：z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ (ac－bd)＋(ad＋bc)i ；
④除法：zz12＝ac＋＋dbii＝ac＋＋dbiicc－－ddii＝ acc2＋＋bdd2 ＋bcc2－＋add2 i (c＋ di≠0)．
(2)复数的加法运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何 z1、z2、z3∈C， 有 z1＋z2＝ z2＋z1 ，(z1＋z2)＋z3＝ z1＋(z2＋z3)．
[答案] (1)D (2)A
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(1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的四则运算，可将含 有虚数单位 i 的看作一类同类项，不含 i 的看作另一类同类项， 分别合并即可．
(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复 数，解题中要注意把 i 的幂写成最简形式．
[解析] z＝i(－2＋i)＝－2i＋i2＝－1－2i，故复平面内表示复 数 z＝i(－2＋i)的点位于第三象限，故选 C.
[答案] C
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5．(2015·重庆卷)设复数 a＋bi(a，b∈R)的模为 3，则(a＋bi)(a －bi)＝__________.
[解析] 设 z＝a＋bi，则(a＋bi)(a－bi)＝z z ＝|z|2＝3. [答案] 3
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(3)复数相等 a＋bi＝c＋di⇔ a＝c 且 b＝d (a，b，c，d∈R)． (4)共轭复数 a＋bi 与 c＋di 共轭⇔ a＝c 且 b＝－d (a，b，c，d∈R)． (5)复数的模 向量O→Z的模叫做复数 z＝a＋bi 的模，记作 |z| 或 |a＋bi| ， 即|z|＝|a＋bi|＝r＝ a2＋b2(r≥0，a、b∈R)．
＋i，则 z1z2＝( )
A．－5
B．5
C．－4＋i
D．－4－i
[解析] 由题意可知 z2＝－2＋i，所以 z1z2＝(2＋i)·(－2＋i/2021
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2．(2017·武汉市武昌区高三调研)已知复数 z＝a2＋ －ii(i 为虚数
单位)的共轭复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数 a 的取
复平面内的点 Z(a，b)
应平面向量
→ OZ
.
3．复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则： ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝ (a＋c)＋(b＋d)i ； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝ (a－c)＋(b－d)i ；
(1)(2016·全国卷Ⅱ)已知 z＝(m＋3)＋(m－1)i 在复
平面内对应的点在第四象限，则实数 m 的取值范围是( )
A．(－3,1)
B．(－1,3)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)
(2)(2016·北京卷)设 a∈R，若复数(1＋i)(a＋i)在复平面内对应
的点位于实轴上，则 a＝________.
[答案] D
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2．(2016·全国卷Ⅲ)若 z＝1＋2i，则 z
z4－i 1＝(
)
A．1
B．－1
C．i
D．－i
[解析]
由 z＝1＋2i，得 z－z ＝5，∴ z
z4－i 1＝44i＝i.
[答案] C
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考点三 复数的几何意义——常考点
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考点二 复数的运算——热考点
(1)11＋ －ii32＝(
)
A．1＋i
B．1－i
C．－1＋i
D．－1－i
(2)(2017·山东卷)已知 a∈R，i 是虚数单位．若 z＝a＋ 3i，z·－z
＝4，则 a＝( )
A．1 或－1
B. 7或－ 7
C．－ 3
D. 3
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)
A．1＋2i
B．1－2i
C．2＋i
D．2－i
[解析] 31＋＋ii＝31＋＋ii11－－ii＝4－2 2i＝2－i，选择 D.
[答案] D
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4．(2017·全国卷Ⅲ)复平面内表示复数 z＝i(－2＋i)的点位于
() A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
A．i(1＋i)2
B．i2(1－i)
C．(1＋i)2
D．i(1＋i)
[解析] i(1＋i)2＝i·2i＝－2，不是纯虚数，排除 A；i2(1－i) ＝－(1－i)＝－1＋i，不是纯虚数，排除 B；(1＋i)2＝2i,2i 是纯虚 数．故选 C.
[答案] C
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3．(2017·全国卷Ⅱ)31＋＋ii＝(
A．p1，p3
B．p1，p4 C．p2，p3 D．p2，p4
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(2)(2016·全国卷Ⅰ)设(1＋i)x＝1＋yi，其中 x，y 是实数，则|x
＋yi|＝( )
A．1
B. 2
C. 3
D．2
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[解析] (1)设复数 z＝a＋bi(a，b∈R)，对于 p1，∵1z＝a＋1 bi ＝aa2－＋bbi2∈R，∴b＝0，∴z∈R，∴p1 是真命题；对于 p2，∵z2 ＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi∈R，∴ab＝0，∴a＝0 或 b＝0，∴p2 不是真命题；对于 p3，设 z1＝x＋yi(x，y∈R)，z2＝c＋di(c，d∈ R)，则 z1z2＝(x＋yi)(c＋di)＝cx－dy＋(dx＋cy)i∈R，∴dx＋cy＝0， 取 z1＝1＋2i，z2＝－1＋2i，z1≠－z 2，∴p3 不是真命题；对于 p4， ∵z＝a＋bi∈R，∴b＝0，∴－z ＝a－bi＝a∈R，∴p4 是真命题．故 选 B.
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[ 解 析 ] (1) ∵ z 在 复 平 面 内 对 应 的 点 在 第 四 象 限 ， ∴
m＋3>0， m－1<0，
解得－3<m<1.故选 A.
(2)由题可知(1＋i)(a＋i)＝a＋i＋ai－1＝(a－1)＋(a＋1)i.因为
(1＋i)(a＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，所以 a＋1＝0，即 a
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[跟踪演练]
1．(2017·广东省五校一诊)已知 a 为实数，若复数 z＝(a2－1)
＋(a＋1)i 为纯虚数，则a＋1＋i20i16＝(
)
A．1
B．0
C．1＋i
D．1－i
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[解析] z＝(a2－1)＋(a＋1)i 为纯虚数，则有 a2－1＝0，a＋ 1≠0，得 a＝1，则有1＋1＋i20i16＝11＋＋1i ＝1＋21i－1－i i＝1－i，选 D.
[解析] (1)11＋－ii32＝1＋－i21i＋i2＝1－＋2ii2i＝1－i i＝－1－i.故 选 D.
(2)解法一：由题意可知－z ＝a－ 3i，∴z·－z ＝(a＋ 3i)(a－ 3 i)＝a2＋3＝4，故 a＝1 或－1.
解法二：z·－z ＝|－z |2＝a2＋3＝4，故 a＝1 或－1.
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考点突破 提能力
研一研 练一练 考点通关
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考点一 复数的有关概念——热考点 (1)(2017·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题
p1：若复数 z 满足1z∈R，则 z∈R；
p2：若复数 z 满足 z2∈R，则 z∈R； p3：若复数 z1，z2 满足 z1z2∈R，则 z1＝－z 2； p4：若复数 z∈R，则－z ∈R. 其中的真命题为( )
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3．已知复数 z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应 的点分别为 A，B，C.O 为坐标原点，若O→C＝xO→A＋yO→B，则 x＋ y 的值是________．
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[解析] 由已知得 A(－1,2)，B(1，－1)，C(3，－2)， ∵O→C＝xO→A＋yO→B， ∴(3，－2)＝x(－1,2)＋y(1，－1)＝(－x＋y,2x－y)， ∴－2x－x＋y＝y＝－3，2， 解得xy＝＝14，， 故 x＋y＝5.
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(2)由(1＋i)x＝1＋yi 得 x＋xi＝1＋yi，∵x，y 是实数，∴x＝1， y＝1.
∴|x＋yi|＝|1＋i|＝ 12＋12＝ 2.故选 B.
[答案] (1)B (2)B
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处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚 部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．
[答案] C
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第二十四页，共四十页。
2．(2017·全国卷Ⅲ)设复数 z 满足(1＋i)z＝2i，则|z|＝( )
1 A.2 C. 2
2 B. 2 D．2
[解析] z＝12＋i i＝12＋ii1－ 1－i i＝i(1－i)＝1＋i，所以|z|＝ 2.
[答案] C
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吃透教材 夯双基
填一填 记一记 厚积薄发
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[知识梳理] 1．复数的有关概念 (1)复数的定义 形如 a＋bi(a、b∈R)的数叫做复数，其中实部是 a ，虚部 是b .
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(2)复数的分类 复数 z＝a＋bi(a，b∈R) 实数b＝0， 虚数b≠0纯 非虚 纯数 虚数 a＝a0≠，0b，≠b0≠，0.