(精校版)必修4三角函数的图像与性质1.41.6(含答案)

6
2
6
所以函数 f (x) 的解析式为 f (x) 3sin(2x π ) 2 6 分 6
（2）将函数 y f (x) 的图像向左平移 π 个单位后得到的函数解析式为 y 3sin[2(x π ) π ] 2
12
12 6
，即 y 3sin(2x π ) 2 ，再将图像上各点的横坐标扩大为原来的 4 倍，得 g(x) 3sin(1 x π ) 2
11．已知函数 f (x) cos(2x ) 2sin(x ) sin(x ) .
3
4
4
（1)求函数 f (x) 的最小正周期和图像的对称轴方程；
(2)求函数
f
(x) 在区间[
,
] 上的值域。
12 2
【答案】（1)T 2π π ， x kπ π (k Z) ；（2）[ 3 ，1]
长到原来的 2 倍(纵坐标不变)得到函数 f（x)的图象,则 f（－π)等于（ )
A. 3
B。 3
C. 1
2
2
2
【答案】D
D.－ 1 2
【解析】
试题分析：因为将函数 y sin x 的图像上所有的点向右平行移动 π 个单位长度,得到的函数解析 3
式为 y sin(x ) 。再把函数 y sin(x ) 各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)得到
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二：例题讲解
1．函数 f (x) sin(2x π ) 的最小正周期为( ）
3
A． 2π
B． π
C． π
2
【答案】 B.
D． π
4
【解析】
试题分析：由三角函数 y Asin(x ) 的最小正周期 T 2 得 T 2 .解决这类问题，须将函
| |
2
数化为
A sin( x
)
B
形式，在代 T
（1）求函数 f (x) 的解析式;
(2）将函数 y f (x) 的图像向左平移 个单位，再将所得图像上各点的横坐标扩大为原来的 4 12
倍，得到函数 y g(x) 的图像,求函数 g(x) 的单调递增区间.
【答案】（1） f (x) 3sin(2x π ) 2 ；（2)[4kπ 5π ，4kπ π ] ， k Z
数 y f (x) 的图象向左平移 个单位得到函数 y g(x) 的图象，则 y g(x) 是减函数的区间为 6
(）
A． ( , 0) 3
B． (
,
)
44
C． (0, ) 3
D．
(
,
)
43
【答案】D
【解析】
f (x) sinx 试题分析：因为
3
cos x
2 sin( x
3
)
T
,所以
2
.
由题意得
T 2
2
,
所以
2.
因此
g(x) 2sin(2(x ) ) 2sin 2x,
2k 2x 3 2k ,(k Z ),
63
其减区间满足： 2
2
即
k x 3 k ,(k Z ),
(
,
)
[
,
3
]
4
4
只有 4 3 4 4 ，所以选 D。
考点：三角函数图像变换
2
y
只需将 f (x) 的图象（ ）
1
A．向右平移 个单位
B．向右平移 个
3
6
O
C．向左平移 个单位 D．向左平移 个 6
3
3
6
单位 x
单位
【答案】B
【解析】
试题分析：观察图象可知, A 1 ，T ，∴ 2 ， f (x) sin(2x ) .
将 ( , 0) 代入上式得 sin( ) 0 ,由已知得 ,故 f (x) sin(2x ) .
⑵：伸缩变化
(1） ： 左 右 伸 缩 y sin x --—--————-———---——-—--——---—--—-————-—
——-————-—-—- y sin x
（2）：上下伸缩 y sin x -———-——--———-—--—-------------—-——----—--—-
--—-—-- y Asin x
2x 的图像向左平移 1 个单位，得 y＝cos 2
2
x
1 2
的图像,即
y＝cos(2x
＋1)的图像，因此选 C.
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4． 将函数 y sin x 的图像上所有的点向右平行移动 π 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸 3
3． y Asinx k 图像的一般变化顺序 y sin x 左右平移 y sin(x ) 左右伸缩 y sinx 上下伸缩 y Asinx 上
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下平移 y Asinx k
B。向右平移 个单位长度 2
C.向左平移 个单位长度 4
D。向右平移 个单位长度 4
【答案】C。
【解析】
试题分析：因为函数
f
x
cosBiblioteka 2x3sin[(2x
3
)
2
]
sin[2( x
5 12
)] ，
所以将函数
g
x
sin
2
x
3
的图象向左平移
4
个单位长度，
即可得到函数 y sin[2(x ) ] sin(2x 5 ) 的图像.故应选 C。
43
6
考点：函数 y Asin(x ) 的图像变换。
6．如图所示是函数 f (x) sin( x )( 0,| | ) 的部分图像,则 f (x) 的解析式为
.
【答案】 f (x) sin(2x ) 3
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增区间
⑴：平移变换
(1）：左右平移 y sin x -—--—-—————-——-——-—-----—-—-----—---—-——-
--——-—-— y sinx
（2）：上下平移 y sin x -————--—--————-——--—-—-———-——————-—
—-——-—-———--—- y sin x k
1
10．若将函数 y＝2sin（x＋ 4 ）的图像上各点的横坐标缩短为原来的 2 倍（纵坐标不变），
再向右平移 4 个单位，则所得图像的一条对称轴的方程为：（ ）
A．x＝－ 8
B．x＝－ 4
C．x＝ 8
D．x＝ 4
【答案】A
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【解析】
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6
3
3
3
由 f (x) sin 2(x ) 知，为了得到 y sin 2x 的图象，只需将 f (x) 的图象向右平移 个单位.
6
6
故选 B．
考点:正弦型函数,函数图象像的平移.
8．已知函数 f (x) Asin(x ) b ( A、 0, 0 ， b 为常
数)一段图像如图所示．
2
2
1 cos 2x 3 sin 2x sin2 x cos2 x
2
2
1 cos 2x 3 sin 2x cos 2x sin(2x π )
2
2
6
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所以函数 f (x) 的周期T 2π π 2
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三角函数的图像与性质 1.4-1.6
一：知识点 1。基本性质
函数
定义 域
奇
最
值域
周期 偶
值
性
对称轴
对称中 心
单调性
Y=sinx
增区间 减区间
Y=cosx
增区间 减区间
Y=tanx
2： y Asinx k 图像的变化类型
2
23
2
【解析】
试题分析：（1)先利用两角和与差的三角函数将式子展开合并，再利用二倍角公式、辅助角公
式化简得到 f (x) sin(2x π ) ，再结合正弦函数的性质，由 T 2 、 2x k , k Z 可得
6
62
函 数 f (x) 的 最 小 正 周 期 与 对 称 轴 的 方 程 ； （ 2） 将 2x 当 成 整 体 ， 由 6
T= 2 2
．故选 C．
考点：1。三角函数的周期性；2。函数的奇偶性。
3．要得到函数 y＝cos（2x＋1)的图像，只要将函数 y＝cos 2x 的图像( )
A．向左平移 1 个单位 B．向右平移 1 个单位
C．向左平移 1 个单位 D．向右平移 1 个单位
2
2
【答案】C
【解析】把函数 y＝cos
试题分析：函数
y
2
sin
x
4
的图像上各点的横坐标缩短为原来的
1 2
倍(纵坐标不变），得
到函数
y
2
sin
2x
4
，
所
的
函
数
再
向
右
平
移
4 个 单 位 ,得 到 函 数
y
2sin
2
x
4
4
2 sin
2x
4
，
x
8
代入得
y
2
，故
x
8
是所得函数图像的一
条对称轴的方程．
考点：三角函数图像与性质,三角函数图像变化．
【解析】由图像得函数周期T 4( ) 12 6
又T
2
，所以
2 ,即
f
(x)
sin(2x
)
由图像知
f
(
)
1，所以
2k
(k
Z ) ，解得
2k (k
Z)
12
6
2
3
又| | ,所以 3
故答案为 f (x) sin(2x ) 3
【考点】三角函数的性质；三角函数的解析式。
7．函数 f (x) Asin(x ) ( A 0, 0, ) 的部分图象如图所示,为了得到 y sin 2x 的图象，
由 2x π kπ π (k Z) ，得 x kπ π (k Z)
x 2x 5 ，利用正弦函数的单调性可得 3 sin(2x ) 1，即 f (x) 的
12
23
66
2
6
值域.
试题解析：（1) f (x) cos(2x π ) 2sin(x π ) sin(x π )
3
4
4
1 cos 2x 3 sin 2x (sin x cos x)(sin x cos x)
3
3
f (x) sin(1 x ) 。所以 f ( ) sin(1 ( ) ) sin( 5 ) 1 。
23
2
3
62
考点：1.三角函数的左右平移。2。三角函数的伸缩变换.
5．要得到函数
f
x
cos
2x
3
的图象,只需将函数
g
x
sin
2
x
3
的图象(
)
A.向左平移 个单位长度 2
6
3
3
【解析】
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解析：(1）由已知， A 5 (1) 3 ， b 5 (1) 2 ，因为T (5π π ) 4 π ，所以 2
2
2
12 6
由“五点法”作图, π 2 π ，解得 π
2 | |
时，必须注意取
的绝对值，因为是求最小正周期。
考点：三角函数的周期计算
2．函数
y
sin
2
2x
，
x
R
是(
）
A.最小正周期为 的奇函数 C。最小正周期为 的偶函数
B。最小正周期为 的奇函数 2
D。最小正周期为 的偶函数 2
【答案】C
【解析】
试题分析：函数
y
sin
2
2x
=cos2x,显然函数是偶函数，函数的周期是
3
23
由 2kπ π 1 x π 2kπ+ π ,得 4kπ 5π x 4kπ π
22 3
2
3
3
故 g(x) 的单调递增区间为[4kπ 5π ，4kπ π ] ， k Z
3
3
10 分.
考点:1。三角函数的图像与性质；2。三角函数的图像变换。
9．已知函数 f (x) sin x 3 cosx( 0) 的图象与 x 轴的两个相邻交点的距离等于 ,若将函 2