上海市2018-2019学年建平中学高三上学期数学期中考试(解析版)

2018-2019学年上海市浦东新区建平中学高三（上）期中数学试
卷
一.填空题
1．（3分）设函数，则f（f（2））=
2．（3分）在各项为实数的等比数列{a n}中，a5+8a2=0，则公比q的值为
3．（3分）若，，，，则tanα= 4．（3分）设集合A={x|x2﹣2x≥0}，B={x|2x﹣1≤1}，则（∁R A）∩B=
5．（3分）某校邀请5位同学的父母共10人中的4位来学校介绍经验，如果这4位来自4个不同的家庭，那么不同的邀请方案的种数是
6．（3分）从原点O向圆x2+y2﹣12y+27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为．
7．（3分）已知数列{a n}的前n项和S n满足：对于任意m，n∈N*，都有S n+S m=S n
+2mn，若a1=1，则a2018=
+m
8．（3分）已知函数f（x）的定义域为R，当x＜0时，f（x）=x3﹣1；当﹣1≤x
≤1时，f（﹣x）=﹣f（x）；当x＞时，f（x+）=f（x﹣），则f（6）=．9．（3分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0]上单调递增，若实数a满足f（log2|a﹣1|）＞f（﹣2），则a的取值范围是
10．（3分）在锐角三角形ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，a2+b2=6abcosC，
则=
11．（3分）已知关于x的一元二次不等式ax2+2x+b＞0的解集为{x|x≠c}，则
（其中a+c≠0）的取值范围为．
12．（3分）若定义域均为D的三个函数f（x），g（x），h（x）满足条件：对任意x∈D，点（x，g（x）与点（x，h（x）都关于点（x，f（x）对称，则称
h（x）是g（x）关于f（x）的“对称函数”．已知g（x）=，f（x）=2x+b，h（x）是g（x）关于f（x）的“对称函数”，且h（x）≥g（x）恒成立，则实
数b的取值范围是．
二.选择题
13．（3分）已知实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（）
A．B．ln（x2+1）＞ln（y2+1）
C．sinx＞siny D．x3＞y3
14．（3分）已知点A（﹣2，0）、B（3，0），动点P（x，y）满足，则点P的轨迹是（）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线15．（3分）已知数列{a n}是公比为q（q≠1）的等比数列，则数列：①{2an}；
②{a n2}；③；④{a n a n+1}；⑤{a n+a n+1}；等比数列的个数为（）
A．2B．3C．4D．5
16．（3分）设函数f1（x）=x2，f2（x）=2（x﹣x2），，，i=0，1，2，…，99．记I k=|f k（a1）﹣f k（a0）|+|f k（a2）﹣f k（a1）丨+…+|f k （a99）﹣f k（a98）|，k=1，2，3，则（）
A．I1＜I2＜I3B．I2＜I1＜I3C．I1＜I3＜I2D．I3＜I2＜I1
三.解答题
17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，BC∥AD，AB⊥BC，∠ADC=45°，PA⊥平面ABCD，AB=AP=1，AD=3．
（1）求异面直线PB与CD所成角的大小；
（2）求点D到平面PBC的距离．
18．设函数f（x）=sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣），其中0＜ω＜3，已知f（）
=0．
（Ⅰ）求ω；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），
再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在
[﹣，]上的最小值．
19．某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路l1、l2，海岸边界MPN近似地看成一条曲线段．为开发旅游资源，需修建一条连接两条公路的直线型观光大道AB，且直线AB与曲线MPN有且仅有一个公共点P（即直线与曲线相
切），如图所示．若曲线段MPN是函数图象的一段，点M到l1、l2的距离分别为8千米和1千米，点N到l2的距离为10千米，以l1、l2分别为x、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy，设点P的横坐标为p．
（1）求曲线段MPN的函数关系式，并指出其定义域；
（2）若某人从点O沿公路至点P观景，要使得沿折线OAP比沿折线OBP的路程更近，求p的取值范围．
20．对于函数，定义f1（x）=f（x），f n
（x）=f[f n（x）]（n∈N*），
+1
已知偶函数g（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），g（1）=0，当x＞0且x≠1时，g（x）=f2018（x）．
（1）求f2（x），f3（x），f4（x），f2018（x）；
（2）求出函数y=g（x）的解析式；
（3）若存在实数a、b（a＜b），使得函数g（x）在[a，b]上的值域为[mb，ma]，求实数m的取值范围．
21．对于无穷数列{a n}，记T={x|x=a j﹣a i，i＜j}，若数列{a n}满足：“存在t∈T，使得只要a m﹣a k=t（m，k∈N*，m＞k），必有a m+1﹣a k+1=t”，则称数列具有
性质P（t）．
（1）若数列{a n}满足，判断数列{a n}是否具有性质P（2）？是否具有性质P（4）？说明理由；
（2）求证：“T是有限集”是“数列{a n}具有性质P（0）”的必要不充分条件；（3）已知{b n}是各项均为正整数的数列，且{b n}既具有性质P（2），又具有性
质P（5），求证：存在正整数N，使得a N，a N
+1，a N
+2
，…，a N
+K
，…是等差数
列．
2018-2019学年上海市浦东新区建平中学高三（上）期中
数学试卷
参考答案与试题解析
一.填空题
1．（3分）设函数，则f（f（2））=﹣1
【分析】推导出f（2）=π（4﹣5）=﹣π，从而f（f（2））=f（﹣π）=cos（﹣π）=cosπ，由此能求出结果．
【解答】解：∵函数，
∴f（2）=π（4﹣5）=﹣π，
f（f（2））=f（﹣π）=cos（﹣π）=cosπ=﹣1．
故答案为：﹣1．
2．（3分）在各项为实数的等比数列{a n}中，a5+8a2=0，则公比q的值为﹣2【分析】由等比数列的性质知q3=﹣8，从而解得．
【解答】解：∵a5+8a2=0，
∴a2q3+8a2=0，
即q3=﹣8，
解得q=﹣2．
故答案为：﹣2．
3．（3分）若，，，，则tanα= 7
【分析】利用向量的数量积和三角函数同角公式可得．
【解答】解：因为•=（1，2）•（cosα，sinα）=cosα+2sinα，
3•=3（﹣2，1）•（cosα，sinα）=﹣6cosα+3sinα，
∴cosα+2sinα=﹣6cosα+3sinα，
∴sinα=7cosα，tanα=7，
故答案为：7．
4．（3分）设集合A={x|x2﹣2x≥0}，B={x|2x﹣1≤1}，则（∁R A）∩B=（0，1] 【分析】化简集合A、B，根据补集与交集的定义计算即可．
【解答】解：集合A={x|x2﹣2x≥0}={x|x≤0或x≥2}，
集合B={x|2x﹣1≤1}={x|x﹣1≤0}={x|x≤1}，
∴∁R A={x|0＜x＜2}，
∴（∁R A）∩B={x|0＜x≤1}=（0，1]．
故答案为：（0，1]．
5．（3分）某校邀请5位同学的父母共10人中的4位来学校介绍经验，如果这4位来自4个不同的家庭，那么不同的邀请方案的种数是80
【分析】用分步计数原理：①从5个家庭中选4个家庭；②从每个家庭中选出1个．然后相乘可得．
【解答】解：分步进行：
第一步：从5个家庭中选出4个家庭，有C=5种；
第二步：从选出的4个家庭的每个家庭的父母亲中选出1位来，有C×C×C×C=16；
根据分步计数原理得：不同的邀请方案的种数数：5×16=80．
故答案为：80．
6．（3分）从原点O向圆x2+y2﹣12y+27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为2π．
【分析】把圆的方程化为标准方程后，找出圆心C的坐标和圆的半径r，根据AC 与BC为圆的半径等于3，OC的长度等于6，利用直角三角形中一直角边等于斜边的一半得到角AOB等于2×30°，然后根据四边形的内角和定理求出角BCA 的度数，然后由角BCA的度数和圆的半径，利用弧长公式即可求出该圆夹在两条切线间的劣弧长．
【解答】解：把圆的方程化为标准方程为：x2+（y﹣6）2=9，
得到圆心C的坐标为（0，6），圆的半径r=3，
由圆切线的性质可知，∠CBO=∠CAO=90°，且AC=BC=3，OC=6，
则∠AOB=∠BOC+∠AOC=60°，所以∠ACB=120°，
所以该圆夹在两条切线间的劣弧长l==2π．
故答案为：2π
7．（3分）已知数列{a n}的前n项和S n满足：对于任意m，n∈N*，都有S n+S m=S n
+m
+2mn，若a1=1，则a2018=﹣4033
【分析】根据题意，在S n+S m=S n+m+2mn中，用特殊值法分析：令m=1可得：
S n+S1=S n
+1+2n，变形可得S n
+1
﹣S n=1﹣2n，再令n=2018计算可得答案．
【解答】解：根据题意，在S n+S m=S n+m+2mn中，
令m=1可得：S n+S1=S n+1+2n，
又由a1=1，即S1=a1=1，则有S n+1=S n+1+2n，
变形可得：S n
+1
﹣S n=1﹣2n，
则a2018=S2018﹣S2017=1﹣2×2017=﹣4033；
故答案为：﹣4033．
8．（3分）已知函数f（x）的定义域为R，当x＜0时，f（x）=x3﹣1；当﹣1≤x
≤1时，f（﹣x）=﹣f（x）；当x＞时，f（x+）=f（x﹣），则f（6）= 2．
【分析】求得函数的周期为1，再利用当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x），得到f（1）=﹣f（﹣1），当x＜0时，f（x）=x3﹣1，得到f（﹣1）=﹣2，即可得出结论．
【解答】解：∵当x＞时，f（x+）=f（x﹣），
∴当x＞时，f（x+1）=f（x），即周期为1．
∴f（6）=f（1），
∵当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x），
∴f（1）=﹣f（﹣1），
∵当x＜0时，f（x）=x3﹣1，
∴f（﹣1）=﹣2，
∴f（1）=﹣f（﹣1）=2，
∴f（6）=2；
故答案为：2
9．（3分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0]上单调递增，若实数a满足f（log2|a﹣1|）＞f（﹣2），则a的取值范围是（3，）
∪（，5）
【分析】根据题意，分析可得f（x）在[0，+∞）上为减函数，结合函数的奇偶性分析可得f（log2|a﹣1|）＞f（﹣2）可以转化为﹣2＜log2|a﹣1|＜2，解可得a的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0]上单调递增，
则f（x）在[0，+∞）上为减函数，
则f（log2|a﹣1|）＞f（﹣2）⇒f（|log2|a﹣1||）＞f（2）⇒|log2|a﹣1||＜2⇒﹣2＜log2|a﹣1|＜2，
变形可得：＜|a﹣1|＜4，
解可得：﹣3＜a＜或＜x＜5；
即不等式的解集为（﹣3，）∪（，5）；
故答案为：（﹣3，）∪（，5）．
10．（3分）在锐角三角形ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，a2+b2=6abcosC，
则=4
【分析】由题意利用余弦定理可得c2=（a2+b2），再利用行列式的运算、同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．
【解答】解：在锐角三角形ABC中，∵a2+b2=6abcosC=6ab•，∴c2=（a2+b2）．
则=+=tanC（+）=•（+）
=•====4，
故答案为：4．
11．（3分）已知关于x的一元二次不等式ax2+2x+b＞0的解集为{x|x≠c}，则
（其中a+c≠0）的取值范围为（﹣∞，﹣6]∪[6，+∞）．
【分析】由条件利用二次函数的性质可得ac=﹣1，ab=1，再根据则=
（a﹣b）+，利用基本不等式求得它的范围．
【解答】解：根据关于x的一元二次不等式ax2+2x+b＞0的解集为{x|x≠c}，
可得a＞0，对应的二次函数的图象的对称轴为x=﹣=c，△=4﹣4ab=0，∴ac=
﹣1，ab=1，∴c=﹣，b=．
则==（a﹣b）+，
当a﹣b＞0时，由基本不等式求得（a﹣b）+≥6，
当a﹣b＜0时，由基本不等式求得﹣（a﹣b）﹣≥6，即（a﹣b）+≤﹣6
故（其中a+c≠0）的取值范围为：（﹣∞，﹣6]∪[6，+∞），
故答案为：（﹣∞，﹣6]∪[6，+∞）．
12．（3分）若定义域均为D的三个函数f（x），g（x），h（x）满足条件：对任意x∈D，点（x，g（x）与点（x，h（x）都关于点（x，f（x）对称，则称
h（x）是g（x）关于f（x）的“对称函数”．已知g（x）=，f（x）=2x+b，h（x）是g（x）关于f（x）的“对称函数”，且h（x）≥g（x）恒成立，则实
数b的取值范围是[，+∞）．
【分析】根据对称函数的定义，结合h（x）≥g（x）恒成立，转化为点到直线的距离d≥1，利用点到直线的距离公式进行求解即可．
【解答】解：解：∵x∈D，点（x，g（x））与点（x，h（x））都关于点（x，f（x））对称，∴g（x）+h（x）=2f（x），∵h（x）≥g（x）恒成立，
∴2f（x）=g（x）+h（x）≥g（x）+g（x）=2g（x），即f（x）≥g（x）恒成立，作出g（x）和f（x）的图象，
若h（x）≥g（x）恒成立，
则h（x）在直线f（x）的上方，
即g（x）在直线f（x）的下方，
则直线f（x）的截距b＞0，且原点到直线y=2x+b的距离d≥1，
d=⇒b≥或b（舍去）
即实数b的取值范围是[，+∞），
二.选择题
13．（3分）已知实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（）
A．B．ln（x2+1）＞ln（y2+1）
C．sinx＞siny D．x3＞y3
【分析】实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），可得x＞y，对于A．B．C分别举反例即可否定，对于D：由于y=x3在R上单调递增，即可判断出正误．
【解答】解：∵实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），
∴x＞y，
A．取x=2，y=﹣1，不成立；
B．取x=0，y=﹣1，不成立
C．取x=π，y=﹣π，不成立；
D．由于y=x3在R上单调递增，因此正确
故选：D．
14．（3分）已知点A（﹣2，0）、B（3，0），动点P（x，y）满足，则点P的轨迹是（）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
【分析】由题意知（﹣2﹣x，y）•（3﹣x，y）=x2，化简可得点P的轨迹．
【解答】解：∵动点P（x，y）满足，
∴（﹣2﹣x，﹣y）•（3﹣x，﹣y）=x2，
∴（﹣2﹣x）（3﹣x）+y2=x2，解得y2=x+6．
∴点P的轨迹方程是抛物线．
故选：D．
15．（3分）已知数列{a n}是公比为q（q≠1）的等比数列，则数列：①{2an}；
②{a n2}；③；④{a n a n+1}；⑤{a n+a n+1}；等比数列的个数为（）
A．2B．3C．4D．5
【分析】利用等比数列的定义通项公式即可得出．
【解答】解：数列{a n}是公比为q（q≠1）的等比数列，
则①=，不是等比数列；
②=q2；
③是公比为的等比数列；
④{a n a n+1}是公比为q2的等比数列；
}不一定是等比数列，例如（﹣1）n．
⑤{a n+a n
+1
综上：等比数列的个数为3．
故选：B．
16．（3分）设函数f1（x）=x2，f2（x）=2（x﹣x2），，，i=0，1，2，…，99．记I k=|f k（a1）﹣f k（a0）|+|f k（a2）﹣f k（a1）丨+…+|f k （a99）﹣f k（a98）|，k=1，2，3，则（）
A．I1＜I2＜I3B．I2＜I1＜I3C．I1＜I3＜I2D．I3＜I2＜I1
【分析】根据记I k=|f k（a1）﹣f k（a0）|+|f k（a2）﹣f k（a1）丨+…+|f k（a99）﹣f k （a98）|，分别求出I1，I2，I3与1的关系，继而得到答案
【解答】解：由，故
==1，
由，故×
=×＜1，
+
=，
故I2＜I1＜I3，
故选：B．
三.解答题
17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，BC∥AD，AB⊥BC，∠ADC=45°，PA⊥平面ABCD，AB=AP=1，AD=3．
（1）求异面直线PB与CD所成角的大小；
（2）求点D 到平面PBC 的距离．
【分析】（1）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PB 与CD 所成角大小．
（2）求出平面PBC 的一个法向量，利用向量法能求出点D 到平面PBC 的距离． 【解答】解：（1）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则P （0，0，1），B （1，0，0），C （1，2，0）D （0，3，0），
∴
=（1，0，﹣1），
=（﹣1，1，0），……（3分）
设异面直线PB 与CD 所成角为θ，
则cosθ=
=，……（6分）
所以异面直线PB 与CD 所成角大小为
．……（7分）
（2）设平面PBC 的一个法向量为=（x ，y ，z ），
=（1，0，﹣1），=（0，2，0），
=（﹣1，1，0），
则
，取x=1，得=（1，0，1），……（4分）
∴点D 到平面PBC 的距离d==．……（7分）
18．设函数f （x ）=sin （ωx ﹣）+sin （ωx ﹣），其中0＜ω＜3，已知f （）
=0．
（Ⅰ）求ω；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），
再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在
[﹣，]上的最小值．
【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化函数f（x）为正弦型函数，根据f（）=0求出ω的值；
（Ⅱ）写出f（x）解析式，利用平移法则写出g（x）的解析式，求出x∈[﹣，
]时g（x）的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣）
=sinωxcos﹣cosωxsin﹣sin（﹣ωx）
=sinωx﹣cosωx
=sin（ωx﹣），
又f（）=sin（ω﹣）=0，
∴ω﹣=kπ，k∈Z，
解得ω=6k+2，
又0＜ω＜3，
∴ω=2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=sin（2x﹣），
将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到
函数y=sin（x﹣）的图象；
再将得到的图象向左平移个单位，得到y=sin（x+﹣）的图象，
∴函数y=g（x）=sin（x﹣）；
当x∈[﹣，]时，x﹣∈[﹣，]，
∴sin（x﹣）∈[﹣，1]，
∴当x=﹣时，g（x）取得最小值是﹣×=﹣．
19．某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路l1、l2，海岸边界MPN近似地看成一条曲线段．为开发旅游资源，需修建一条连接两条公路的直线型观光大道AB，且直线AB与曲线MPN有且仅有一个公共点P（即直线与曲线相
切），如图所示．若曲线段MPN是函数图象的一段，点M到l1、l2的距离分别为8千米和1千米，点N到l2的距离为10千米，以l1、l2分别为x、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy，设点P的横坐标为p．
（1）求曲线段MPN的函数关系式，并指出其定义域；
（2）若某人从点O沿公路至点P观景，要使得沿折线OAP比沿折线OBP的路程更近，求p的取值范围．
【分析】（1）由题意得M（1，8），则a=8，故曲线段MPN的函数关系式为，可得其定义域；
（2），设与联立求出A，B的坐标，即可求出最短长度p的取值范围．
【解答】解：（1）由题意得M（1，8），则a=8，故曲线段MPN的函数关系式
为，（4分）
又得，所以定义域为[1，10]．…（6分）
（2），设
由得kpx2+（8﹣kp2）x﹣8p=0，
△=（8﹣kp2）2+32kp2=（kp2+8）2=0，…（8分）
∴kp2+8=0，∴，得直线AB方程为，…（10分）
得，故点P为AB线段的中点，
由即p2﹣8＞0…（12分）
得时，OA＜OB，
所以，当时，经点A至P路程最近．（14分）
20．对于函数，定义f1（x）=f（x），f n
（x）=f[f n（x）]（n∈N*），
+1
已知偶函数g（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），g（1）=0，当x＞0且x≠1时，g（x）=f2018（x）．
（1）求f2（x），f3（x），f4（x），f2018（x）；
（2）求出函数y=g（x）的解析式；
（3）若存在实数a、b（a＜b），使得函数g（x）在[a，b]上的值域为[mb，ma]，求实数m的取值范围．
【分析】（1）根据函数关系代入计算进行求解即可；
（2）由偶函数的定义，计算可得所求解析式；
（3）根据函数奇偶性和单调性的性质，结合函数的值域关系进行求解即可．
【解答】解：（1）因为函数，
（x）=f[f n（x）]（n∈N*），f1（x）=，
定义f1（x）=f（x），f n
+1
f2（x）=f[f1（x）]==，（x≠0且x≠1），
f3（x）=f[f2（x）]==x，（x≠0且x≠1），
f4（x）=f[f3（x）]=，（x≠0且x≠1），
（x）=f i（x）（i=2，3，4），
故对任意的n∈N•，有f3n
+i
=f2（x）=1﹣，（x≠0且x≠1）；
于是f2018（x）=f3
×672+2
（2）当x＞0且x≠1时，g（x）=f2018（x）=1﹣，
又g（1）=0，
由g（x）为偶函数，当x＜0时，﹣x＞0，g（x）=g（﹣x）=1+，
可得g（x）=；
（3）由于y=g（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），
又a＜b，mb＜ma，可知a与b同号，且m＜0，
进而g（x）在[a，b]递减，且a＜b＜0，
当a，b∈（0，1）时，g（x）=1﹣为增函数，
故，即m==，
得a﹣1=b﹣1，即a=b，与a＜b矛盾，∴此时a，b不存在；
函数y=g（x）的图象，如图所示．由题意，有，
故a，b是方程1+=mx的两个不相等的负实数根，
即方程mx2﹣x﹣1=0在（﹣∞，0）上有两个不相等的实根，
于是，解得﹣＜m＜0．
综合上述，得实数m的取值范围为（﹣，0）．
21．对于无穷数列{a n}，记T={x|x=a j﹣a i，i＜j}，若数列{a n}满足：“存在t∈T，
使得只要a m﹣a k=t（m，k∈N*，m＞k），必有a m+1﹣a k+1=t”，则称数列具有性质P（t）．
（1）若数列{a n}满足，判断数列{a n}是否具有性质P（2）？是否具有性质P（4）？说明理由；
（2）求证：“T是有限集”是“数列{a n}具有性质P（0）”的必要不充分条件；（3）已知{b n}是各项均为正整数的数列，且{b n}既具有性质P（2），又具有性
质P（5），求证：存在正整数N，使得a N，a N
+1，a N
+2
，…，a N
+K
，…是等差数
列．
【分析】（1）由，可得a2﹣a1=2，但a3﹣a2=﹣1≠2，数列{a n}不具有性质P（2）；同理可判断数列{a n}具有性质P（4）；
（2）举例“周期数列1，1，2，2，1，1，2，2，…，T={﹣1，0，1}是有限集，利用新定义可证数列{a n}不具有性质P（0），即不充分性成立；再证明其必要性即可；
（3）依题意，数列{b n}是各项为正整数的数列，且{b n}既具有性质P（2），又
具有性质P（5），可证得存在整数N，使得b N，b N
+1，b N
+2
，…，b N
+k
，…是等
差数列．
【解答】解：（1）∵，
a2﹣a1=2，但a3﹣a2=﹣1≠2，数列{a n}不具有性质P（2）；
同理可得，数列{a n}具有性质P（4）．
（2）证明：（不充分性）对于周期数列1，1，2，2，1，1，2，2，…，T={﹣1，0，1}是有限集，但是由于a2﹣a1=0，a3﹣a2=1，
所以不具有性质P（0）；
（必要性）因为数列{a n}具有性质P（0），
所以一定存在一组最小的且m＞k，满足a m﹣a k=0，即a m=a k
由性质P（0）的含义可得a m
+1=a k
+1
，a m
+2
=a k
+2
，…，a2m
﹣k﹣1
=a m
﹣1
，a2m
﹣k
=a m，…
所以数列{a n}中，从第k项开始的各项呈现周期性规律：a k，a k
+1，…，a m
﹣1
为一
个周期中的各项，
所以数列{a n}中最多有m﹣1个不同的项，
所以T 最多有个元素，即T 是有限集；
（3）证明：因为数列{b n }具有性质P （2），数列{b n }具有性质P （5）， 所以存在M′、N′，使得b M'+p ﹣b M '=2，b N'+q ﹣b N '=5， 其中p ，q 分别是满足上述关系式的最小的正整数，
由性质P （2），P （5）的含义可得，b M'+p +k ﹣b M'+k =2，b N'+q +k ﹣b N'+k =5， 若M'＜N'，则取k=N'﹣M'，可得b N'+p ﹣b N '=2； 若M'＞N'，则取k=M'﹣N'，可得b M'+q ﹣b M '=5．
记M=max {M'，N'}，则对于b M ，有b M +p ﹣b M =2，b M +q ﹣b M =5，显然p ≠q ， 由性质P （2），P （5）的含义可得，b M +p +k ﹣b M +k =2，b N +q +k ﹣b N +k =5， 所以b M +qp ﹣b M =（b M +qp ﹣b M +（q ﹣1）p ）+（b M +（q ﹣1）p ﹣b M +（q ﹣2）p ） +…+（b M +p ﹣b M ）=2qb M +qp ﹣b M =（b M +pq ﹣b M +（p ﹣1）q ）+ （b M +（p ﹣1）q ﹣b M +（p ﹣2）q ）+…+（b M +q ﹣b M ）=5p 所以b M +qp =b M +2q=b M +5p ． 所以2q=5p ，
又p ，q 是满足b M +p ﹣b M =2，b M +q ﹣b M =5的最小的正整数， 所以q=5，p=2，b M +2﹣b M =2，b M +5﹣b M =5， 所以，b M +2+k ﹣b M +k =2，b M +5+k ﹣b M +k =5，
所以，b M +2k =b M +2（k ﹣1）+2=…=b M +2k ，b M +5k =b M +5（k ﹣1）+5=…=b M +5k ， 取N=M +5，
若k 是偶数，则b N +k =b N +k ；
若k 是奇数，则b N +k =b N +5+（k ﹣5）=b N +5+（k ﹣5）=b N +5+（k ﹣5）=b N +k ， 所以，b N +k =b N +k ，
所以b N ，b N +1，b N +2，…，b N +k ，…是公差为1的等差数列。