立体几何定理总结

立体几何定理总结
一、三类关系
1、线线关系：
不垂直
异面
a⊥）
垂直（异面直线b 直线与直线不垂直
相交
a⊥）
共面垂直（b
a//）
平行（b
2、线面关系：
直线与平面平行
直线与平面直线与平面相交
直线在平面内
3、面面关系：
二、平行
定义：在同一个平面内没有公共点
1、直线与直线 三角形中位线定理
判定：平行四边形
面面平行
定义：直线与平面没有公共点
2、直线与平面
判定定理：
性质定理：
定义：两平面没有公共点
3、平面与平面 判定定理：a b a b A a b αααβββ⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭
⊂⊂⋂=⇒//////
性质定理：a b a b αβαγβγ⎫⎪⎬⎪⎭
//⋂=⇒⋂=//
三、垂直勾股定理
相交垂直⇐三线合一定理
菱形
1、直线与直线正方形
异面垂直线面垂直⇐线面垂直
定义：一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线
2、直线与平面判定定理：
性质定理：
定义：两平面成直二面角
3、平面与平面判定定理：
性质定理：
四、空间角度
1、异面直线所成的角：通过直线的平移，把异面直线所成的角转化为平面内相交直线所成的角。

异面直线所成角的范围：o
o
2、线面所成的角：①线面平行或直线在平面内：线面所成的角为o0；
②线面垂直：线面所成的角为o
90；
③斜线与平面所成的角：就是斜线与它在平面内的射影所成的角。

线面所成的角范围090
o o
α
≤≤
3、二面角：关键是找出二面角的平面角。

方法有：①定义法；②三垂线定理法；③垂面法；
二面角的平面角的范围：0180
o o
α
≤≤；
五、空间距离
1、点点、点线、点面距离：点与点之间的距离就是两点之间线段的长、点与线、面间的距离是点到线、面垂足间线段的长。

求它们首先要找到表示距离的线段，然后再计算。

注意：求点到面的距离的方法：
①直接法：直接确定点到平面的垂线段长（垂线段一般在二面角所在的平面上）；
②转移法：转化为另一点到该平面的距离（利用线面平行的性质）；
③体积法：利用三棱锥体积公式。

2、线线距离：关于异面直线的距离，常用方法有：
①定义法，关键是确定出b
a,的公垂线段；
②转化为线面距离，即转化为a与过b而平行于a的平面之间的距离，
关键是找出或构造出这个平面；③转化为面面距离；
3、线面、面面距离：线面间距离面面间距离与线线间、点线间距离常常相互转化；
六、一些结论
1.经过平面外一点，有无数条直线和已知平面平行。

2.经过平面外一点，有且只有一个平面和已知平面平行。

3.经过平面外一点，有且只有一条直线和已知平面垂直。

4.经过平面外一点，有无数个平面和已知平面垂直。

5.经过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行。

6.经过直线外一点，有无数个平面和已知直线平行。

7.经过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线垂直。

8.经过直线外一点，有无数个平面和已知直线垂直。

9.如果平面的一条斜线和这个平面内以斜足为顶点的角的两边成等角，那么这条斜线在这个平面上的射影是这个角的平分线所在直线。