(一轮)数列第3讲等比数列及其前n项和课件

提醒：前两种方法常用于解答题中，而后两种方法常用于选择、填
空题中．
〔变式训练 1〕 已知数列{an}的首项 a1>0，an＋1＝2a3na＋n 1(n∈N*)，且 a1＝32. (1)求证：a1n－1是等比数列，并求出{an}的通项公式； (2)求数列a1n的前 n 项和 Tn.
6．(2018·北京，5)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉 最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十 二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二
个单音起，每个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于12 2.若
第一个单音的频率为 f，则第八个单音的频率为
Sn
为等比数列{an}的前
n
项和．若
a1＝31，a24＝
a6，则 S5＝__3___.
[解析] 解法一：设等比数列{an}的公比为 q，因为 a24＝a6，所以(a1q3)2 ＝a1q5，所以 a1q＝1，又 a1＝13，所以 q＝3，所以 S5＝a111－－qq5＝13×1－1－335
＝1321.
4．(必修 5P62B 组 T2 改编)等比数列{an}的首项 a1＝－1，前 n 项和 为 Sn，若SS150＝3312，则{an}的通项公式 an＝___－__－__21__n－_1_.
[解析] 因为SS150＝3312，所以S10S－5 S5＝－312，因为 S5，S10－S5，S15－
S10 成等比数列，且公比为 q5，所以 q5＝－312，q＝－21，则 an＝－1×－12
(C )
A．2B．3ຫໍສະໝຸດ C．4D．5(4)(2020·课标Ⅱ，6,5 分)记 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和．若 a5－a3
＝12，a6－a4＝24，则Sann＝ A．2n－1
B．2－21－n
(B )
C．2－2n－1
D．21－n－1
[解析] (1)设等比数列{an}的公比为 q，由 a1＝14，a3a5＝4(a4－1)， 知 q≠1，则 a1q2×a1q4＝4(a1q3－1)，∴116×q6＝414×q3－1，∴q6－16q3 ＋64＝0，∴(q3－8)2＝0，即 q3＝8，∴q＝2，∴a2＝12，故选 C．
(4)设等比数列{an}的公比为 q，则aa65－ －aa43＝a5a·q5－ －aa33·q＝q＝2142＝2，∴
a11－2n
Sann＝
1－2 a1×2n－1
＝2－21－n.故选
B．
等比数列基本量的求法
等 比 数 列 的 计 算 涉 及 五 个 量 a1 ， an ， q ， n ， Sn ， 知 其 三 就 能 求 其 二，即根据条件列出关于a1，q的方程组求解，体现了方程思想的应用．
(3)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}， {pan·qbn}和pqabnn(其中 b，p，q 是非零常数)也是等比数列．
(4)当 q≠－1 或 q＝－1 且 k 为奇数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…是 等比数列．当 q＝－1 且 k 为偶数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…不是等比 数列．
__公__比___，通常用字母__q__表示． 符号语言：__a_an＋_n 1_＝__q_(n∈N*，q为非零常数)．
(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么__G__叫做a与b的等比 中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝__a_b__.
注意：任意两数的等差中项都唯一存在；但只有两个数满足ab>0 时，a、b才有等比中项，且有互为相反数的两个．
(2)由(1)知，an＋bn＝2n1－1，an－bn＝2n－1， 所以 an＝21[(an＋bn)＋(an－bn)]＝21n＋n－12， bn＝21[(an＋bn)－(an－bn)]＝21n－n＋12.
等比数列的判定方法
(1)定义法：若aan＋n1＝q(q 为非零常数，n∈N*)或aan－n1＝q(q 为非零常数 且 n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列．
＝4(a4－1)，则 a2＝ A．2
B．1
( C)
C．21
D．18
(2)(2019·全国卷Ⅰ)记 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和．若 a1＝1，S3
＝34，则
5 S4＝__8___.
(3)(2020·课标Ⅱ，6,5 分)数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman.若 ak＋1＋ak
＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则 k＝
(2)等比中项公式法：若数列{an}中，an≠0 且 a2n＋1＝an·an＋2(n∈N*)， 则数列{an}是等比数列．
(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常 数，n∈N*)，则{an}是等比数列．
(4) 前 n 项 和 公 式 法 ： 若 数 列 {an} 的 前 n 项 和 Sn ＝ k·qn － k(k 为 常 数 且 k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列．
n－1＝－－21n－1.
题组三 走向高考
5．(2020·课标Ⅰ，10,5分)设{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2
＋a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8＝
(D )
A．12
B．24
C．30
D．32
[解析] 设等比数列{an}的公比为q， 故a2＋a3＋a4＝q(a1＋a2＋a3)， 又a2＋a3＋a4＝2，a1＋a2＋a3＝1，∴q＝2， ∴a6＋a7＋a8＝q5(a1＋a2＋a3)＝25＝32，故选D．
解法三：设等比数列{an}的公比为 q，由题意易知 q≠1.设数列{an}的 前 n 项和 Sn＝A(1－qn)(其中 A 为常数)，则 a1＝S1＝A(1－q)＝1 ①，S3＝ A(1－q3)＝34 ②，由①②可得 A＝23，q＝－12.所以 S4＝23×1－－124＝58.
(3)由 am＋n＝aman，令 m＝1 可得 an＋1＝a1an＝2an，∴数列{an}是公比 为 2 的等比数列，∴an＝2×2n－1＝2n，则 ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝2k＋1＋2k ＋2＋…＋2k＋10＝2k＋111－－2210＝2k＋11－2k＋1＝215－25，∴k＝4.故选 C．
(2)解法一：设等比数列{an}的公比为 q，由 a1＝1 及 S3＝34，易知 q≠1. 把 a1＝1 代入 S3＝a111－－qq3＝43，得 1＋q＋q2＝34，解得 q＝－21，所以 S4 ＝a111－－qq4＝1×1－1－－－21124＝58.
解法二：设等比数列{an}的公比为 q，因为 S3＝a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋ q2)＝43，a1＝1，所以 1＋q＋q2＝43，解得 q＝－12，所以 a4＝a1·q3＝－123＝ －18，所以 S4＝S3＋a4＝34＋－81＝58.
(5)等比数列{an}的单调性
①满足a1>0， q>1
或a1<0， 0<q<1
时，{an}是递增数列．
②满足a1>0， 0<q<1
或a1<0， q>1
时，{an}是递减数列．
③当aq1＝≠10， 时，{an}为常数列． ④当 q<0 时，{an}为摆动数列．
1．等比数列的概念的理解 (1)等比数列中各项及公比都不能为零． (2)由 an＋1＝qan(q≠0)，并不能断言{an}为等比数列，还要验证 a1≠0. (3)等比数列中奇数项的符号相同，偶数项的符号相同． (4)Sm＋n＝Sn＋qnSm＝Sm＋qmSn；若数列{an}的项数为 2n，则SS偶奇＝q； 若项数为 2n＋1，则S奇S－偶a1＝q.
解法二：设等比数列{an}的公比为 q，因为 a24＝a6，所以 a2a6＝a6， 所以 a2＝1，又 a1＝31，所以 q＝3，所以 S5＝a111－－qq5＝31×1－1－335＝1321.
2 考点突破·互动探究
考点一
等比数列的基本运算——自主练透
例 1 (1)(2015·新课标全国Ⅱ，9)已知等比数列{an}满足 a1＝41，a3a5
特别提醒：在使用等比数列的前n项和公式时，q的值除非题目中给 出，否则要根据公比q的情况进行分类讨论，切不可忽视q的取值而盲目 用求和公式.
考点二
等比数列的判定与证明——师生共研
例 2 (2019·全国卷Ⅱ)已知数列{an}和{bn}满足 a1＝1，b1＝0,4an＋1 ＝3an－bn＋4,4bn＋1＝3bn－an－4.
(1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列； (2)求{an}和{bn}的通项公式．
[解析] (1)证明：由题设得 4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)， 即 an＋1＋bn＋1＝21(an＋bn)． 又因为 a1＋b1＝1， 所以{an＋bn}是首项为 1，公比为21的等比数列． 由题设得 4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8， 即 an＋1－bn＋1＝an－bn＋2. 又因为 a1－b1＝1， 所以{an－bn}是首项为 1，公差为 2 的等差数列．
必考部分
第五章 数列
第三讲 等比数列及其前n项和
1 知识梳理·双基自测 2 考点突破·互动探究 3 名师讲坛·素养提升
1 知识梳理·双基自测
知识点一 等比数列的概念
(1)等比数列的定义 如 果 一 个 数 列 _从__第__2_项__起__，__每__一__项__与___它__的__前__一__项__的__比__等__于__同__一__常__ _数_(_不__为__零__)__，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的
(5)若{an}是等比数列，且 an>0(n∈N*)，则{logaan}(a>0 且 a≠1)成等 差数列，反之亦然．
(6)若{an}是等差数列，则{aan}(a>0，a≠1)成等比数列，反之亦然． (7)三个数成等比数列可设三数为bq，b，bq，四个数成等比数列且公 比大于 0 时，可设四个数为qb3，bq，bq，bq3. 2．等比数列前 n 项和公式的推导方法__错__位__相__减__法___.
知识点二 等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝___a_1q__n－__1 __＝__a_m_q_n_－_m___. (2)前 n 项和公式：Sn＝a__1n__1a__1－1__－__q__q， _n_q_a＝_11－_1－_，a_qn_q_，q≠1.
知识点三 等比数列的主要性质
设数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和． (1)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*，特别地， 若2s＝p＋r，则apar＝a，其中p，s，r∈N*. (2) 相 隔 等 距 离 的 项 组 成 的 数 列 仍 是 等 比 数 列 ， 即 ak ， ak ＋ m ， ak ＋ 2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*)．
题组一 走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．( × )
(2)如果数列{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比
数列．
(×)
(3)如果数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列． ( × )
A．－12
B．－2
C．2
D．12
[解析] 由题意知 q3＝aa25＝81，即 q＝12.
3．(必修5P54A组T8改编)在3与192中间插入两个数，使它们同这两 个数成等比数列，则这两个数为__1_2_,_4_8___.
[解析] 设该数列的公比为q，由题意知，192＝3×q3，q3＝64，所 以q＝4.所以插入的两个数分别为3×4＝12,12×4＝48.
(4)数列{an}的通项公式是 an＝an，则其前 n 项和为 Sn＝a11－－aan. (× )
(5)数列{an}为等比数列，则 S4，S8－S4，S12－S8 成等比数列． (× )
题组二 走进教材
2．(必修 5P46T4 改编)已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝14，则公比 q
等于
( D)
( D)
A．3 2f
B．3 22f
C．12 25f
D．12 27f
[解析] 本题主要考查等比数列的概念和通项公式，数学的实际应 用．
由题意知十三个单音的频率依次构成首项为 f，公比为12 2的等比数 列，设此数列为{an}，则 a8＝12 27f，即第八个单音的频率为12 27f，故选 D．
7．(2019·全国卷Ⅰ)记 121