广东省揭阳市2019-2020学年数学高二第二学期期末经典试题含解析

广东省揭阳市2019-2020学年数学高二第二学期期末经典试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）
1．利用独立性检验的方法调查高中生的写作水平与离好阅读是否有关，随机询问120名高中生是否喜好阅读，利用2×2列联表，由计算可得K 2＝4.236 P （K 2≥k 0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
参照附表，可得正确的结论是（ ）
A ．有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”
B ．有97.5%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”
C ．有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读无关”
D ．有97.5%的把握认为“写作水平与喜好阅读无关” 2．参数方程22x cos sin y cos sin θθ
θθ
=-⎧⎨=+⎩（θ∈R ）表示的曲线是（ ）
A ．圆
B ．椭圆
C ．双曲线
D ．抛物线
3．已知向量(2,3),(,4)a b x ==，若()a a b ⊥-，则x =（ ） A ．1
B ．
12
C ．2
D ．3
4．若,27m N m *∈<，则(27)(28)(34)m m m ---等于（ ）
A ．8
27m P -
B ．2734m
m P --
C ．7
34m P -
D ．8
34m P -
5．已知函数()3sin cos (0)f x wx wx w =+>在区间,43ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上恰有一个最大值点和一个最小值点，则实数ω的取值范围是（ ） A ．8,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭
B ．8,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C ．204,3⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
D ．20,73⎛⎫
⎪⎝⎭
6．如图，平行六面体中，若
，
，
，则下列向量中与
相等
的向量是( )
C ．
D ．
7．已知m 是实数，函数()()2
f x x
x m =-，若()11f '-=-，则函数()f x 的单调递增区间是（ ）
A ．()4,,0,3⎛
⎫-∞-+∞ ⎪⎝
⎭
B ．()4,0,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭
C ．4,03⎛⎫- ⎪⎝⎭
D ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
8．设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x ='的图象如图所示，则()y f x =的图象最有可能的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
9．若函数()y f x =在x a =处的导数为()f'a ，则()()
lim
f a x f a x x 0
x
+--→为( )
A ．()f'a
B ．()2f'a
C ．
()f'a 2
D ．0
10．函数()[]cos sin ,,=-∈-f x x x x x ππ的大致图象为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．4(2)x +的展开式中，3x 的系数为（ ） A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
A ．一
B ．二
C ．三
D ．四
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．设111
1()23
A n N n
+=+
+++
∈，()B n n N +=∈则A 与B 的大小关系是__． 14．如图，在长方形OABC 内任取一点(,)P x y ，则点P 落在阴影部分BCD 内的概率为________.
15．某校共有教师200人，男学生1200人，女学生1000人.现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本，已知从女学生中抽取的人数为50人，那么n 的值为______. 16．设随机变量ξ服从正态分布(
)2
2,N σ
，且(14)0.8P ξ-<<=，则(05)P ξ<<=__________．
三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．已知函数32()3f x x x x m =+-+，2()23g x x x -=+，若直线2y x a =-与函数()f x ，()g x 的图象均相切.
（1）求实数,a m 的值；
（2）当0m >时，求()()()F x f x g x =-在[]1,1-上的最值. 18．已知4a =，3b =，(23)(2)61a b a b -⋅+=.
()1求a 与b 的夹角
；
()2若OA a =， OB b =， 12
OC OA =， 23
OD OB =，且AD 与BC 交于点P ，求||OP .
19．（6分）证明：若a>02211
22a a a a
+≥+=. 20．（6分）已知复数212
12
1(10),(25)(0),z a i z a i a
z z R ．
（1）求实数a 的值； （2）若2,||2z
z
z C ，求||z 的取值范围．
21．（6分）设函数2
()e mx f x x mx =+-．
（2）若对于任意12,[1,1]x x ∈-，都有12|()()|1f x f x e -≤-，求m 的取值范围． 22．（8分）（1）求方程12345x x x x +++=的非负整数解的个数；
（2）某火车站共设有4个“安检”入口，每个入口每次只能进1个旅客求—个小组4人进站的不同方案种数，要求写出计算过程.
参考答案
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．A 【解析】 【分析】
根据题意知观测值2K ，对照临界值得出结论. 【详解】
利用独立性检验的方法求得2 4.236 3.841K =>，
对照临界值得出：有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”． 故选A 项． 【点睛】
本题考查了独立性检验的应用问题，是基础题． 2．A 【解析】 【分析】
利用平方关系式消去参数θ可得2
2
5x y +=即可得到答案. 【详解】 由22x cos sin y cos sin θθθθ=-⎧⎨
=+⎩可得5cos 25sin 2x y
x y
θθ=+⎧⎨-=-⎩，
所以2
2
2
2
25(cos sin )(2)(2)x y x y θθ+=++-， 化简得2
2
5x y +=.
本题考查了参数方程化普通方程，考查了平方关系式，考查了圆的标准方程，属于基础题. 3．B 【解析】 【分析】
可求出()21a b x -=--，，根据()
a a
b ⊥-即可得出()
0a a b ⋅-=，进行数量积的坐标运算即可求出x ．
【详解】
()21a b x -=--，；
∵()
a a
b ⊥-；
∴()
()2230a a b x ⋅-=--=； 解得1
2
x =． 故选B. 【点睛】
本题考查向量垂直的充要条件，向量坐标的减法和数量积运算，属于基础题． 4．D 【解析】 【分析】
(27)(28)(34)m m m ---、、、中最大的数为()34m -，(27)(28)(34)m m m ---、、、包含
()342718-+=个数据，且8个数据是连续的正整数，由此可得到(27)(28)
(34)m m m ---的表示.
【详解】
因为(27)(28)
(34)(34)(28)(27)m m m m m m ---=---，
所以表示从()34m -连乘到()27m -，一共是8个正整数连乘， 所以8
34(27)(28)(34)m m m m P ----=.
故选：D. 【点睛】
本题考查排列数的表示，难度较易.注意公式：()()
!
!!n m
n n
P n P n m n m ==--的运用.
5．B 【解析】
的应用求出结果． 【详解】
由题意，函数()3sin cos 2sin()6
f x x x x π
ωωω=+=+，
令6
x t π
ω+
=，所以()2sin f x t =，
在区间上,43ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦恰有一个最大值点和最小值点， 则函数()2sin f x t =恰有一个最大值点和一个最小值点在区间,[43
6
]6πωππωπ
+-
+，
则32462
32
362π
πωππππωππ⎧-<-+≤-⎪⎪⎨⎪≤+<⎪⎩，解答8203314ωω⎧≤<⎪⎨⎪≤<⎩，即834ω≤<，
故选B ． 【点睛】
本题主要考查了三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型． 6．D 【解析】 【分析】 由题意可得
,化简得到结果．
【详解】 由题意可得
,故选D.
【点睛】
本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于基础题． 7．A 【解析】
分析：根据函数f （x ）=x 2（x ﹣m ），求导，把f′（﹣1）=﹣1代入导数f′（x ）求得m 的值，再令f′（x ）>0，解不等式即得函数f （x ）的单调增区间．
∴﹣2（﹣1﹣m ）+1=﹣1 解得m=﹣2，
∴令2x （x +2）+x 2>0，解得4
x 3
<-
,或x>0， ∴函数f （x ）的单调减区间是()4,,0,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝
⎭．
故选：A ．
点睛：求函数的单调区间的方法 (1)确定函数y ＝f(x)的定义域； (2)求导数y ′＝f ′(x)；
(3)解不等式f ′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f ′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 8．C 【解析】 【分析】
根据导函数图象，确定出函数的单调区间和极值，从而可得结论. 【详解】
根据()y f x ='的图象可知， 当0x <或2x >时，()0f x '>，
所以函数()y f x =在区间(),0-∞和()2,+∞上单调递增； 当02x <<时，()0f x '<，
所以函数()y f x =在区间()0,2上单调递减， 由此可知函数()y f x =在0x =和2x =处取得极值， 并且在0x =处取得极大值，在2x =处取得极小值， 所以()y f x =的图象最有可能的是C. 故选：C. 【点睛】
本题考查导数与函数单调性、极值的关系，考查数形结合思想和分析能力.解决此类问题，要根据导函数的图象确定原函数的单调区间和极值，一定要注意极值点两侧导数的符号相反. 9．B
根据函数的导数的极限定义进行转化求解即可． 【详解】
()()
()()()()
()()
()()
lim
lim
lim
lim
f a x f a x f a x f a f a f a x f a x f a f a x f a x 0
x 0
x 0
x 0
x
x
x
x
+--+-+--+---→=→=→+→-
()()()f'a f'a 2f'a =+=，
故选：B ． 【点睛】
本题主要考查函数的导数的计算，结合导数的极限定义进行转化是解决本题的关键． 10．D 【解析】 【分析】
判断函数的奇偶性和对称性，利用2f π⎛⎫
⎪⎝⎭
的符号进行排除即可． 【详解】
()()()cos sin cos sin f x x x x x x x f x -=-+=--=-，
函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除,A C
cos sin 1022
22f ππ
ππ⎛⎫=-=-< ⎪⎝⎭，排除B ，故选：D ．
【点睛】
本题考查函数的图象的判断与应用，考查函数的零点以及特殊值的计算，是中档题；已知函数解析式，选择其正确图象是高考中的高频考点，主要采用的是排除法，最常见的排出方式有根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，同时还有在特殊点处所对应的函数值或其符号，其中包括
,,0,0x x x x +-→+∞→-∞→→等.
11．D 【解析】 【分析】
由题意得到二项展开式的通项，进而可得出结果. 【详解】
因为4
(2)x +的展开式的第1r +项为41
42-+=r r r r T C x ，
令3x =，则3334
428==T C x x ，
【点睛】
本题主要考查求指定项的系数问题，熟记二项式定理即可，属于常考题型. 12．D 【解析】
分析：首先化简所给的复数，然后确定复数所在的象限即可. 详解：由题意可得：
()()()()2121313
111222
i i i i i i i i ----===-++-， 则复数对应的点为13,22⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，该点位于第四象限，
即复数
21i
i
-+对应复平面上的点在第四象限. 本题选择D 选项.
点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．A≥B. 【解析】 【分析】
，将A 放大，即可证明出A 、B 关系. 【详解】
由题意：1
A B =+⋅⋅⋅≥⋅⋅⋅+==， 所以A B ≥. 【点睛】
本题考查放缩法，根据常见的放缩方式，变换分母即可证得结果. 14．
1
e
【解析】 【分析】
利用微积分基本定理先计算出阴影部分的面积，根据几何概型的知识可知：阴影部分的面积与长方形面积比等于对应的概率，即可计算出概率值. 【详解】
由几何概型的知识可知：阴影部分的面积与长方形OABC 的面积之比等于所求概率，
所以()1
110
111x x
S e e dx e e e e =⨯-
=-=--=⎰
，21S e e =⨯=，
所以所求概率为121S P S e
=
=. 故答案为：1e
. 【点睛】
本题考查几何概型中的面积模型以及利用微积分基本定理求解定积分的值，属于综合型问题，难度一般.几何概型中的面积模型的计算公式：()A A P =构成事件的区域面积
全部试验结果所构成的区域面积
.
15．120 【解析】
分析：根据分层抽样的原则先算出总体中女学生的比例，再根据抽取到女学生的人数计算样本容量n 详解：因为共有教师200人,男学生1200人,女学生1000人 所以女学生占的比例为
10005
240012
= 女学生中抽取的人数为50人 所以5
n 5012
⨯
= 所以n=120
点睛：分层抽样的实质为按比例抽，所以在计算时要算出各层所占比例再乘以样本容量即为该层所抽取的个数. 16．0.8 【解析】
分析：根据随机变量ξ服从正态分布(
)2
2,N σ
，看出这组数据对应的正态曲线的对称轴2x =，根据正态
曲线的特点，得到()()1045P P ξξ-<<=<<，从而可得结果. 详解：
随机变量X 服从正态分布(
)2
2,N σ
，
2μ∴=，得对称轴是2x =，
所以()()1045P P ξξ-<<=<<，
可得(05)P ξ<<= ()04(45)P ξξ<<+<<
= ()04(10)(14)0.8P P ξξξ<<+-<<=-<<=，
故答案为0.8.
相交，因此说明曲线在正负两个方向都是以x 轴为渐近线的.
三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．（1）1a =，2m =或20227m =-
；（2）min ()1F x =-，max ()1F x =. 【解析】
【分析】
（1）由直线与二次函数相切，可由直线方程与二次函数关系式组成的方程组只有一个解，然后由判别式等于零可求出a 的值，再设出直线与函数32()3f x x x x m =+-+图像的切点坐标，由切点处的导函数值等于切线的斜率可求出切点坐标，从而可求出m 的值；
（2）对函数()()()F x f x g x =-求导，使导函数为零，求出极值点，然后比较极值和端点处的函数值大小，可求出函数的最值.
【详解】
（1）联立2223y x a y x x =-⎧⎨=-+⎩可得2430x x a -++=，164(3)0a ∆=-+=，1a
设直线与()f x 的图象相切于点00(,)x y ，则2000()3232f x x x '=+-=，01x ∴=或05=3x -
当01x =时，01y =，11312m m ∴+-+=⇒= 当05=3x -时，0133y =-，12525132025279327
m m ∴-+++=-⇒=- 2m ∴=或20227m =-
（2）由（1）2m =，3()1F x x x ∴=--，2()31F x x '∴=-
令()0F x '≥则x -≤≤11x ≤≤；令()0F x '<则x <<
()F x ∴在1,3⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝
⎭和⎫⎪⎪⎝⎭上单调递增，在⎡⎢⎣⎦上单调递减
又(1)(1)1F F -==-，(139F -－＝，139⎛ ⎝⎭
＝-
min ()139F x F ∴==--，max ()(139
F x F =-=- 【点睛】 此题考查导数的几何意义，利用导数求最值，属于基础题.
18．()123πθ=
；()272
OP =. 【解析】
【分析】 ()1化简(23)(2)61a b a b -⋅+=得到6a b ⋅=-，再利用夹角公式得到答案.
()22(1)(1)3x OP xOA x OD xa b -=+-=+，根据向量关系化简得到1142OP a b =+，再平方得到27||4OP =得到答案. 【详解】
()1(23)(2)61a b a b -⋅+=，∴224||43||61a a b b -⋅-=.
又||4a =，||3b =，∴6442761a b -⋅-=，∴6a b ⋅=-.
∴61cos 43
2a b a b θ⋅-===-⨯. 又0θπ≤≤，∴23
πθ=. ()2 2(1)(1)3x OP xOA x OD xa b -=+-=+
1(1)2
y OP yOB y OC yb a -=+-=+
∴11,22y x y -==，∴12,(1)43x y x ==-， ∴1142
OP a b =+， ∴2221117||16444OP a a b b =+⋅+=， ∴7OP =
. 【点睛】
本题考查了向量的计算，将1142OP a b =+表示出来是解题的关键，意在考查学生对于向量公式的灵活运用和计算能力.
19．见解析
【解析】
试题分析:用分析法证明不等式成立的充分条件成立,要证原命题,12a a ≥+即
只要证2212a a ⎫⎛≥++⎪ ⎪⎝⎭
，进而展开化简,可得只要证明210a a ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，故得证.
试题解析:12a a
≥+-
12a a
≥++因为0a >，所以不等式两边均大于零
因此只需证2
212a a ⎫⎛≥+⎪ ⎪⎝⎭，
即证222211144a a a a a a ⎫+++≥++++⎪⎭
12a a ⎫≥+⎪⎝⎭ 只需证222211122a a a a ⎛⎫+≥++ ⎪⎝⎭，即证2212a a +≥ 只需证210a a ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，而210a a ⎛⎫-≥ ⎪⎝
⎭显然成立，所以原不等式成立. 点睛: 从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件，定理，定义，公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．综合法是利用已知条件和某些数学定义，公理，定理等，经过一系列推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的方法． 20．（1）3a =；（2）[1,3]．
【解析】
【分析】
（1）根据题意，先计算出12z z +，再由12z z R +∈即可求出结果；
（2）先由（1）知2z i =，再由复数的几何意义即可求出结果.
【详解】
（1）因为()21110z a
i =+-，()225(0)z a i a =->， 所以()()()
2212=110251215z z a i a i a a i +--+-=++-， 因为12z z R +∈，所以2215=0a a +-，
解得5a =-或3a =，
因为0a >，所以3a =．
（2）由（1）知2z i =， 因为22z z -=，所以z 在复平面内对应点的轨迹为以（0,1）为圆心，以2为半径的圆．
故||z 在复平面内表示z 对应的点到坐标原点的距离，
所以||z 的取值范围即：以（0,1）为圆心，以2为半径的圆上的点到坐标原点的距离，
所以21||21z -≤≤+，即1||3z ≤≤．
故||z 的取值范围为[]1,3．
【点睛】
本题主要考查复数的运算以及复数的几何意义，熟记概念和几何意义即可求解，属于基础题型. 21．（1）()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增；（2）[1,1]-.
【解析】
（Ⅰ）()(1)2mx f x m e x -'=+．
若0m ≥，则当(,0)x ∈-∞时，10mx e -≤，()0f x '<；当(0,)x ∈+∞时，10mx e -≥，()0f x '>． 若0m <，则当(,0)x ∈-∞时，10mx e ->，()0f x '<；当(0,)x ∈+∞时，10mx e -<，()0f x '>． 所以，()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，对任意的m ，()f x 在[1,0]-单调递减，在[0,1]单调递增，故()f x 在0x =处取得最小值．所以对于任意12,[1,1]x x ∈-，12()()1f x f x e -≤-的充要条件是：(1)(0)1,
{(1)(0)1,f f e f f e -≤---≤-即
1,{1,
m m e m e e m e --≤-+≤-①，设函数()1t g t e t e =--+，则()1t g t e =-'．当0t <时，()0g t '<；当0t >时，()0g t '>．故()g t 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增．又(1)0g =，1(1)20g e e --=+-<，故当[1,1]t ∈-时，()0g t ≤．当[1,1]m ∈-时，()0g m ≤，()0g m -≤，即①式成立．当1m >时，由()g t 的单调性，()0g m >，即1m e m e ->-；当1m <-时，()0g m ->，即1m e m e -+>-．综上，m 的取值范围是[1,1]-．
考点：导数的综合应用．
22．（1）56；（2）840种，计算过程见解析
【解析】
【分析】
（1）利用隔板法求结果；
（2）将问题分4种情况分别得出其方案数，可求得结果，注意需考虑从同一个安检口的旅客的通过顺序.
【详解】
（1）若定义()()12341234:,,,,,,f x x x x y y y y →，其中()11,2,3,4i i y x i =+=，
则f 是从方程12345x x x x +++=的非负整数解集到方程12349y y y y +++=的正整数解集的映射，利
用隔板法得，方程12349y y y y +++=正整数解得个数是38C 56=
从而方程12345x x x x +++=的非负整数解得个数也是56；
（2）这4名旅客通过安检口有4种情况：从1个安检口通过，从2个安检口通过，从3个安检口通过，从4个安检口通过。

从1个安检口通过共有：144496C A ⋅=种方案；
从2个安检口通过，可能有1个安检口通过1人，另一个安检口通过3人有：323443288C A A ⋅⋅=种方案；
从2个安检口通过，可能每一个安检口都通过2人有：2222442222
144C A A A A ⋅⋅⋅=种方案； 从3个安检口通过，可能有2个安检口各通过1人，有1个安检口通过2人有：232442288C A A ⋅⋅=种方案；
从4个安检口通过共有：4424A =种方案，
所以这4个旅客进站的不同方案有：96+288+144+288+24=840种.
【点睛】
本题考查利用隔板法解决不定方程非负整数解问题，考查综合分析求解能力，属中档题.。