2020-2021学年江苏省南京市联合体八年级(上)期中数学试卷

2020-2021学年江苏省南京市联合体八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）下列四个图形中，是轴对称图形的为（）
A．B．C．D．
2．（2分）下列各组数作为三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是（）A．2、3、4B．3、4、5C．4、5、6D．5、6、7
3．（2分）若等腰三角形的两边长为3和5，则该等腰三角形的周长为（）A．11B．13C．11或13D．12
4．（2分）如图，∠DAC＝∠BAC，下列条件中，不能判定△ABC≌△ADC的是（）
A．DC＝BC B．AB＝AD C．∠D＝∠B D．∠DCA＝∠BCA 5．（2分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AB＝15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG 的面积和为（）
A．150cm2B．200cm2C．225cm2D．无法计算6．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AB＝10，AD＝2，则CD的长度是（）
A．2B．3C．4.8D．4
7．（2分）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝9，DE＝2，AB＝5，则边AC的长是（）
A．3B．4C．5D．6
8．（2分）已知△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，D是AB边的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动，且保持AE＝CF．连接DE、DF、EF得到下列结论：①△DEF是等腰直角三角形；②△CEF面积的最大值是2；③EF的最小值是2．其中正确的结论是（）
A．②③B．①②C．①③D．①②③
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．（2分）角的内部到角的两边的距离相等的点，一定在．
10．（2分）已知△ABC≌△DEF，∠A＝40°，∠E＝80°，则∠C＝°．11．（2分）已知：如图，∠CAB＝∠DBA，只需补充条件，就可以根据“SAS”得到△ABC≌△BAD．
12．（2分）等腰三角形的一个内角为100°，则它的底角为．
13．（2分）在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，则△ABC的面积为＝．14．（2分）一个直角三角形的两边长分别是3和7，则第三边长的平方为．15．（2分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线l交BC于点D，BC＝7，AC＝4，则△ACD的周长为．
16．（2分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，AE⊥BD．若∠ABC＝30°，∠C＝50°，则∠CAE的度数为°．
17．（2分）把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB＝3cm，BC＝5cm，则重叠部分△DEF的面积是cm2．
18．（2分）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AC⊥CD，AC＝CD，若AB＝3，BC＝1，则点D到AB的距离是．
三、解答题（本大题共8小题，共64分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）如图，点C、E在边BF上，BE＝CF，AB∥DE，∠A＝∠D．求证：AC＝DF．
20．（8分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，AB＝13，BD＝5，AC＝15．（1）求AD的长；
（2）求BC的长．
21．（8分）证明：有两个角相等的三角形是等腰三角形．
已知：如图，在△ABC中，；
求证：；
证明：
22．（8分）如图，点B、D、C在一条直线上，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠EAC．（1）求证：BC＝DE；
（2）若∠B＝70°，求∠EDC．
23．（7分）如图，在△ABC中，D，E是BC边上两点，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE．求证：AB＝AC．
24．（9分）如图，在△ABC中，点D、E在边BC上，BD＝CE，DM⊥AC，垂足为M，EN ⊥AB，垂足为N，DM与EN交于点P，且BN＝CM．
（1）求证：PD＝PE；
（2）连接AP，并延长AP交BC于点Q，求证：过点A、P的直线垂直平分线段BC．
25．（6分）（1）如图，已知四边形ABCD，请用直尺和圆规在边BC上求作一点P，使∠APB ＝∠CPD（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）请根据（1）的作图过程，说明∠APB＝∠CPD的理由．
26．（12分）（1）如图①，△ABC是等边三角形，M为边BC的中点，连接AM，将线段AM 顺时针旋转120°，得到线段AD，连接BD；点N在BC的延长线上，且CN＝MC，连接AN．
求证：BD＝AN．
（2）若将问题（1）中的条件“M为边BC的中点”改为“M为边BC上的任意一点”，其他条件不变，结论还成立吗？如果成立，请画出图形并给出证明；如果不成立，请举出反例．
2020-2021学年江苏省南京市联合体八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）下列四个图形中，是轴对称图形的为（）
A．B．C．D．
【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
2．（2分）下列各组数作为三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是（）A．2、3、4B．3、4、5C．4、5、6D．5、6、7
【解答】解：A、22+32≠42，不符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
B、32+42＝52，符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意；
C、42+52≠62，不符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
D、52+62≠72，不符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意．
故选：B．
3．（2分）若等腰三角形的两边长为3和5，则该等腰三角形的周长为（）A．11B．13C．11或13D．12
【解答】解：由题意知，应分两种情况：
（1）当腰长为3时，周长＝2×3+5＝11；
（2）当腰长为5时，周长＝2×5+3＝13．
故选：C．
4．（2分）如图，∠DAC＝∠BAC，下列条件中，不能判定△ABC≌△ADC的是（）
A．DC＝BC B．AB＝AD C．∠D＝∠B D．∠DCA＝∠BCA 【解答】解：A、DC＝BC，∠DAC＝∠BAC，再加上公共边AC＝AC，不能判定△ABC ≌△ADC，故此选项符合题意；
B、AB＝AD，∠DAC＝∠BAC，再加上公共边AC＝AC，可利用SAS判定△ABC≌△ADC，
故此选项不合题意；
C、∠B＝∠D，∠DAC＝∠BAC，再加上公共边AC＝AC，能利用AAS判定△ABC≌△
ADC，故此选项不合题意；
D、∠DCA＝∠BCA，∠DAC＝∠BAC，再加上公共边AC＝AC，能利用ASA判定△ABC
≌△ADC，故此选项不合题意；
故选：A．
5．（2分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AB＝15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG 的面积和为（）
A．150cm2B．200cm2C．225cm2D．无法计算
【解答】解：正方形ADEC的面积为：AC2，
正方形BCFG的面积为：BC2；
在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，AB＝15，
则AC2+BC2＝225cm2．
故选：C．
6．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AB＝10，AD＝2，则CD的长度是（）
A．2B．3C．4.8D．4
【解答】解：如图，∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE为AB边上的中线，AB＝10，∴AE＝CE＝＝5，
∵AD＝2，
∴DE＝3．
∵CD为AB边上的高，
∴∠CDE＝90°，
∴由勾股定理，得CD＝＝＝4．
故选：D．
7．（2分）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝9，DE＝2，AB＝5，则边AC的长是（）
A．3B．4C．5D．6
【解答】解：过D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE＝DF＝2，
∵S△ADB＝AB×DE＝×5×2＝5，
∵△ABC的面积为9，
∴△ADC的面积为9﹣5＝4，
∴AC×DF＝4，
∴AC×2＝4，
∴AC＝4
故选：B．
8．（2分）已知△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，D是AB边的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动，且保持AE＝CF．连接DE、DF、EF得到下列结论：①△DEF是等腰直角三角形；②△CEF面积的最大值是2；③EF的最小值是2．其中正确的结论是（）
A．②③B．①②C．①③D．①②③
【解答】解：①∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠DCB＝∠A＝45°，CD＝AD＝DB；
∵AE＝CF，
∴△ADE≌△CDF（SAS）；
∴ED＝DF，∠CDF＝∠EDA；
∵∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠EDC+∠CDF＝∠EDF＝90°，
∴△DFE是等腰直角三角形．故此选项正确；
③由于△DEF是等腰直角三角形，因此当DF最小时，EF也最小；
即当DF⊥BC时，DF最小，此时DF＝BC＝2．
∴EF＝DF＝2．故此选项错误；
②∵△ADE≌△CDF，
∴S△CDF＝S△ADE，
∴S四边形CEDF＝S△ADC．
当△CEF面积最大时，此时△DEF的面积最小，
∵∠C＝90°，AC＝BC＝4，
∴AB＝＝4，
∴AD＝CD＝2，
此时S△CEF＝S四边形CEDF﹣S△DEF＝S△ADC﹣S△DEF＝﹣×2×2＝4﹣2＝2．故此选项正确；
故正确的有①②，
故选：B．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．（2分）角的内部到角的两边的距离相等的点，一定在这个角的平分线上．【解答】解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴角的内部到角的两边的距离相等的点，一定在这个角的平分线上．
故答案为：这个角的平分线上．
10．（2分）已知△ABC≌△DEF，∠A＝40°，∠E＝80°，则∠C＝60°．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∠E＝80°，
∴∠B＝∠E＝80°，
在△ABC中，∠C＝180°﹣40°﹣80°＝60°，
故答案为：60．
11．（2分）已知：如图，∠CAB＝∠DBA，只需补充条件AC＝BD，就可以根据“SAS”
得到△ABC≌△BAD．
【解答】解：补充条件AC＝BD．
理由：在△ABC和△BAD中，
，
△ABC≌△BAD（SAS）．
故答案为：AC＝BD．
12．（2分）等腰三角形的一个内角为100°，则它的底角为40°．【解答】解：①当这个角是顶角时，底角＝（180°﹣100°）÷2＝40°；
②当这个角是底角时，另一个底角为100°，因为100°+100°＝200°，不符合三角形
内角和定理，所以舍去．
故答案为：40°．
13．（2分）在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，则△ABC的面积为＝30．【解答】解：在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，
∴AC2+BC2＝52+122＝132＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，
∴△ABC的面积＝，
故答案为：30．
14．（2分）一个直角三角形的两边长分别是3和7，则第三边长的平方为58或40．【解答】解：当第三边是斜边时，则有第三边的平方＝32+72＝58；
当第三边是直角边时，则有第三边的平方＝72﹣32＝40．
则第三边长的平方为58或40．
故答案是：58或40．
15．（2分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线l交BC于点D，BC＝7，AC＝4，则△ACD的周长为11．
【解答】解：∵AB的垂直平分线l交BC于点D，
∴DA＝DB，
∴△ACD的周长＝AC+CD+AD＝AC+CD+DB＝AC+BC＝4+7＝11．
故答案为11．
16．（2分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，AE⊥BD．若∠ABC＝30°，∠C＝50°，则∠CAE的度数为25°．
【解答】解：∵∠ABC＝30°，BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABC＝＝15°，
又∵AE⊥BD，
∴∠BEA＝90°﹣15°＝75°，
∵∠AEB是△ACE的外角，
∴∠CAE＝∠AEB﹣∠C＝75°﹣50°＝25°，
故答案为：25．
17．（2分）把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB＝3cm，BC＝5cm，则重叠部分△DEF的面积是 5.1cm2．
【解答】解：设AE＝A′E＝x，则DE＝5﹣x；
在Rt△A′ED中，A′E＝x，A′D＝AB＝3cm，ED＝AD﹣AE＝5﹣x；
由勾股定理得：x2+9＝（5﹣x）2，解得x＝1.6；
∴①S△DEF＝S梯形A′DFE﹣S△A′DE＝（A′E+DF）•A′D﹣A′E•A′D
＝×（5﹣x+x）×3﹣×x×3
＝×5×3﹣×1.6×3＝5.1（cm2）；
或②S△DEF＝ED•AB÷2＝（5﹣1.6）×3÷2＝5.1（cm2）．
故答案为：5.1
18．（2分）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AC⊥CD，AC＝CD，若AB＝3，BC＝1，则点D到AB的距离是4．
【解答】解：在△ABC中，AB⊥BC，AB＝3，BC＝1，
∴AC＝＝，
∵AC⊥CD，AC＝CD，
∴CD＝，
∴AD＝AC＝2，
过D点作DE⊥AB于E，
设AD＝x，则BE＝3﹣x，DE＝，
依题意有×3×1+××＝x+（1+）（3﹣x），
解得x1＝2，x2＝﹣4（负值舍去），
则DE＝＝＝16．
故点D到AB的距离是4．
故答案为：4．
三、解答题（本大题共8小题，共64分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）如图，点C、E在边BF上，BE＝CF，AB∥DE，∠A＝∠D．求证：AC＝DF．
【解答】证明：∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
∴BC＝EF．
∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF，
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
∴AC＝DF．
20．（8分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，AB＝13，BD＝5，AC＝15．（1）求AD的长；
（2）求BC的长．
【解答】解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠CDA＝90°．
在Rt△ADB中，∵∠ADB＝90°，
∴AD2+BD2 ＝AB2，
∴AD2＝AB2﹣BD2＝144．
∵AD＞0，
∴AD＝12．
（2）在Rt△ADC中，∵∠CDA＝90°，
∴AD2+CD2 ＝AC2 ，
∴CD2＝AC2﹣AD2＝81．
∵CD＞0，
∴CD＝9．
∴BC＝BD+CD＝5+9＝14．
21．（8分）证明：有两个角相等的三角形是等腰三角形．已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C；
求证：△ABC为等腰三角形；
证明：
【解答】∠B＝∠C，AB＝AC；
证明：过点A作AD⊥BC，垂足为D．
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在△ABD与△ACD中，
∵∠B＝∠C，∠ADB＝∠ADC，AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD（AAS）．
∴AB＝AC，
∴△ABC为等腰三角形．
22．（8分）如图，点B、D、C在一条直线上，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠EAC．（1）求证：BC＝DE；
（2）若∠B＝70°，求∠EDC．
【解答】解：（1）∵∠BAD＝∠EAC，
∴∠BAD+∠CAD＝∠EAC+∠CAD，
∴∠BAC＝∠DAE，
在△ABC与△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴BC＝DE；
（2）∵△ABC≌△ADE，
∴∠B＝∠ADE＝70°，
∵AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB＝70°，
∵∠ADB+∠ADE+∠EDC＝180°，
∴∠EDC＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB＝40°．
23．（7分）如图，在△ABC中，D，E是BC边上两点，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE．求证：AB＝AC．
【解答】解：∵AD＝AE，
∴∠1＝∠2，
∴180°，﹣∠1＝180°﹣∠2．
即∠3＝∠4，
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（ASA），
∴AB＝AC．
24．（9分）如图，在△ABC中，点D、E在边BC上，BD＝CE，DM⊥AC，垂足为M，EN ⊥AB，垂足为N，DM与EN交于点P，且BN＝CM．
（1）求证：PD＝PE；
（2）连接AP，并延长AP交BC于点Q，求证：过点A、P的直线垂直平分线段BC．
【解答】证明：（1）∵DM⊥AC，EN⊥AB，
∴∠BNE＝∠DMC＝90°．
∵BD＝CE，
∴BD+DE＝CE+DE，
∴BE＝CD．
在Rt△BNE与Rt△CMD中，
∵，
∴Rt△BNE≌Rt△CMD（HL）．
∴∠NED＝∠MDC．
∴PD＝PE．
（2）如图，
∵Rt△BNE≌Rt△CMD，
∴∠B＝∠C，NE＝MD．
∵∠B＝∠C，
∴AB＝AC．
∵NE＝MD，PD＝PE，
∴NE﹣PE＝MD﹣PD，
∴PN＝PM．
∵PN＝PM，PN⊥AB，PM⊥AC，
∴AP平分∠BAC．
即AQ平分∠BAC．
∵AB＝AC，
∴AQ⊥BC，BQ＝CQ，
即过点A、P的直线垂直平分BC．
25．（6分）（1）如图，已知四边形ABCD，请用直尺和圆规在边BC上求作一点P，使∠APB ＝∠CPD（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）请根据（1）的作图过程，说明∠APB＝∠CPD的理由．
【解答】解：（1）如图，点P即为所求．
（2）根据作图，可知点A和A1点关于直线BC对称，
∴∠APB＝∠A1PB，
∵∠A1PB与∠CPD是对顶角，
∴∠A1PB＝∠CPD，
∴∠APB＝∠CPD．
26．（12分）（1）如图①，△ABC是等边三角形，M为边BC的中点，连接AM，将线段AM 顺时针旋转120°，得到线段AD，连接BD；点N在BC的延长线上，且CN＝MC，连接AN．
求证：BD＝AN．
（2）若将问题（1）中的条件“M为边BC的中点”改为“M为边BC上的任意一点”，其他条件不变，结论还成立吗？如果成立，请画出图形并给出证明；如果不成立，请举出反例．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝BC＝AC，
∵又M是BC的中点，
∴∠AMB＝∠AMN＝90°，BC＝2BM＝2MC，∠BAM＝∠BAC＝30°，
∵AM顺时针旋转120°得到线段AB，
∴∠MAD＝120°，AD＝AM，
∴∠BAD＝∠MAD﹣∠BAM＝120°﹣30°＝90°，
∴∠BAD＝∠AMN＝90°，
∵MC＝CN，
∴MN＝2MC＝BC＝AB，
在△DBA和△ANM中，
，
∴△DBA≌△ANM（SAS），
∴BD＝AN．
（2）结论成立，理由如下：
①如图②﹣1中，当BM＞BC时，分别过点A、点D作AG⊥BM、DH⊥BA垂足分别为G、H．
∴∠DHA＝∠AGM＝90°，
∵∠AMG+∠BAM+∠ABC＝180°，∠ABC＝160°，∴∠AMG＝180°﹣∠ABC﹣∠BAM＝120°﹣∠BAM，∵AM顺时针旋转120°得到线段AB，
∴∠MAD＝120°，AD＝AM，
∴∠DAB＝120°﹣∠BAM，
∴∠DAB＝∠AMB，
在△DAH和△AMG中，
，
∴△DAH≌△AMG（AAS），
∴DH＝AG，AH＝GM，
又∵△ABC是等边三角形，AG⊥BM，
∴BG＝GC，
∴GN＝GC+CN＝GC+CM＝BG+GC﹣GM＝BC﹣GM，又∵BH＝AB﹣HA，AH＝GM，AB＝BC，
∴BH＝GN．
∵DH＝AG，∠DHA＝∠AGM＝90°，BH＝GN，
在△DBH和△ANG中，
∴△DBH≌△ANG（SAS），
∴BD＝AN．
②当BM＜BC时，同法可得BD＝AN．。