(2021年整理)高中数学1.3.1利用导数判断函数的单调性学案新人教B版选修2-2

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1．3.1 利用导数判断函数的单调性
1．理解导数与函数的单调性的关系．（易混点）
2．掌握利用导数判断函数单调性的方法．(重点）
3．会用导数求函数的单调区间．(重点、难点)
［基础·初探]
教材整理函数的单调性与导数之间的关系
阅读教材P24,完成下列问题．
用函数的导数判定函数单调性的法则
(1）如果在（a，b)内，________，则f(x）在此区间是增函数，（a，b)为f(x）的单调增区间;
(2）如果在（a，b）内,________，则f(x）在此区间是减函数,(a,b)为f（x）的单调减区间．
【答案】f′（x)>0 f′(x）〈0
判断（正确的打“√"，错误的打“×")
（1)函数f（x)在定义域上都有f′（x)〉0，则函数f（x)在定义域上单调递增．（)（2）函数在某一点的导数越大,函数在该点处的切线越“陡峭"．（)
(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．（)
【答案】（1)×（2）×(3)√
［质疑·手记］
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流:
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
[小组合作型］
单调性与导数的关系
（1)。

3。

1所示，给出以下说法：
图1.3。

1
①函数y＝f（x)的定义域是
［－1，5]；
②函数y＝f（x)的值域是
（－∞，0]∪[2，4］;
③函数y＝f（x)在定义域内是增函数；
④函数y＝f（x）在定义域内的导数f′(x)〉0。

其中正确的序号是（）
A．①②B．①③
C．②③D．②④
（2）设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图1­ 3.2所示，则导函数y＝f′(x）的图象可能为( )
图1。

3.2
【精彩点拨】研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时,注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增,在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致．
【自主解答】（1）由图象可知,函数的定义域为[－1，5］，值域为（－∞，0］∪[2，4］,故①②正确，选A.
(2)由函数的图象可知:当x<0时，函数单调递增,导数始终为正；当x〉0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选D。

【答案】(1)A (2)D
1．利用导数判断函数的单调性比利用函数单调性的定义简单的多，只需判断导数在该区间内的正负即可．
2．通过图象研究函数单调性的方法
(1）观察原函数的图象重在找出“上升”“下降”产生变化的点，分析函数值的变化趋势;
(2)观察导函数的图象重在找出导函数图象与x轴的交点,分析导数的正负．
［再练一题]
1．（1)设f′（x)是函数f(x）的导函数,将y＝f（x）和y＝f′（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不正确的是( ）
A B C D
（2)若函数y＝f（x)的导函数在区间［a，b]上是增函数，则函数y＝f（x）在区间[a，b］
上的图象可能是( ）
A B C D
【解析】（1)A，B，C均有可能；对于D,若C1为导函数,则y＝f（x)应为增函数，不符合；若C2为导函数，则y＝f(x)应为减函数，也不符合．
（2)因为y＝f（x）的导函数在区间[a,b］上是增函数,则从左到右函数f(x）图象上的点的切线斜率是递增的．
【答案】（1)D (2)A
利用导数求函数的单调区间
求函数f（x)＝x＋a
x
(a≠0)的单调区间．
【精彩点拨】求出导数f′(x），分a〉0和a〈0两种情况．由f′（x）〉0求得单调增区间，由f′（x)<0求得单调减区间．
【自主解答】f（x）＝x＋错误!的定义域是
（－∞,0）∪（0，＋∞)，f′（x）＝1－错误!。

当a〉0时,
令f′(x)＝1－错误!〉0，解得x>错误!或x<－错误!；
令f′（x）＝1－错误!<0，解得－错误!<x〈0或0<x<错误!；
当a〈0时，f′(x）＝1－错误!〉0恒成立，
所以当a>0时，f（x)的单调递增区间为（－∞,－错误!）和（错误!，＋∞）；单调递减区间为（－错误!，0）和（0，错误!）．
当a<0时，f(x)的单调递增区间为(－∞,0)和(0，＋∞)．
利用导数求函数单调区间的步骤
1．确定函数f(x)的定义域．
2．求导数f′（x）．
3．由f′（x)〉0（或f′（x)<0)，解出相应的x的范围．当f′（x）>0时，f(x）在相应的区间上是增函数;当f′(x)〈0时,f(x)在相应区间上是减函数．
4．结合定义域写出单调区间．
[再练一题]
2．（1）函数f（x)＝e x－e x，x∈R的单调递增区间为（) 【导学号：05410017】A．（0，＋∞）B．（－∞，0)
C．（－∞，1）D．（1，＋∞）
(2)函数f（x）＝ln x－x的单调递增区间是( )
A．（－∞,1)B．(0，1）
C．（0，＋∞)D．(1，＋∞）
【解析】（1）∵f′(x）＝（e x－e x）′＝e x－e，
由f′（x）＝e x－e>0，可得x>1。

即函数f(x)＝e x－e x，x∈R的单调增区间为
(1,＋∞)，故选D.
（2）函数的定义域为（0，＋∞），又f′(x）＝错误!－1,
由f′（x）＝1
x
－1〉0，得0<x〈1，
所以函数f（x）＝ln x－x的单调递增区间是（0，1），故选B。

【答案】（1）D (2)B
［探究共研型］
已知函数的单调性求参
数的取值范围
探究1 已知函数的取值范围．【提示】由已知得f′（x）＝3x2－a，
因为f(x）在(－∞，＋∞）上是单调增函数，
所以f′（x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞）上恒成立，
即a≤3x2对x∈R恒成立，因为3x2≥0,所以只需a≤0。

又因为a＝0时，f′（x)＝3x2≥0,
f(x）＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0.
探究2 若函数f（x)＝x3－ax－1的单减区间为(－1,1)，如何求a的取值范围．【提示】由f′(x)＝3x2－a,
①当a≤0时，f′（x)≥0，
∴f(x）在（－∞,＋∞）上为增函数．
②当a＞0时，令3x2－a＝0，得x＝±错误!,
当－错误!＜x＜错误!时，f′(x)＜0.
∴f(x)在错误!上为减函数,
∴f（x)的单调递减区间为错误!，
∴错误!＝1，即a＝3。

已知关于x的函数y＝x3－ax＋b.
（1)若函数y在(1，＋∞)内是增函数，求a的取值范围;
(2）若函数y的一个单调递增区间为(1，＋∞），求a的值．
【精彩点拨】（1)函数在区间（1，＋∞）内是增函数，则必有y′≥0在（1,＋∞)上恒成立，由此即可求出a的取值范围．
(2)函数y的一个单调递增区间为(1，＋∞），即函数单调区间的端点值为1,由此可解得a 的值．
【自主解答】y′＝3x2－a。

（1）若函数y＝x3－ax＋b在（1，＋∞)内是增函数．
则y′＝3x2－a≥0在x∈（1，＋∞)时恒成立，
即a≤3x2在x∈（1,＋∞）时恒成立，
则a≤(3x2)最小值．
因为x>1，所以3x2〉3.
所以a≤3，即a的取值范围是(－∞，3］．
（2)令y′〉0,得x2〉错误!.
若a≤0，则x2〉错误!恒成立,即y′〉0恒成立，
此时，函数y＝x3－ax＋b在R上是增函数,与题意不符．
若a〉0，令y′>0，得x>错误!或x<－错误!.
因为（1，＋∞）是函数的一个单调递增区间，所以错误!＝1,即a＝3.
1．解答本题注意：可导函数f(x）在(a,b）上单调递增(或单调递减）的充要条件是f′(x）≥0（或f′（x)≤0）在(a,b)上恒成立，且f′(x)在（a,b）的任何子区间内都不恒等于0.
2．已知f（x）在区间（a,b)上的单调性,求参数范围的方法
（1）利用集合的包含关系处理f(x)在(a，b）上单调递增（减）的问题，则区间（a，b)是相应单调区间的子集;
（2)利用不等式的恒成立处理f(x)在（a，b）上单调递增(减)的问题，则f′(x）
≥0(f′(x)≤0）在（a，b)内恒成立,注意验证等号是否成立．
[再练一题]
3．将上例（1）改为“若函数y在(1，＋∞)上不单调”,则a的取值范围又如何?
【解】y′＝3x2－a,
当a<0时，y′＝3x2－a〉0，函数在(1,＋∞）上单调递增，不符合题意．
当a〉0时，函数y在（1,＋∞）上不单调，即y′＝3x2－a＝0在区间（1，＋∞）上有根．由3x2－a＝0可得x＝错误!或x＝－错误!（舍去）．
依题意，有错误!〉1，∴a〉3，
所以a的取值范围是(3，＋∞）．
[构建·体系]
1．函数y＝f(x)的图象如图1。

3。

3所示，则导函数y＝f′（x)的图象可能是（)
图1。

3­3
【解析】∵函数f（x)在（0，＋∞)，(－∞，0)上都是减函数，∴当x＞0时，f′（x）＜0，当x＜0时，f′（x)＜0.
【答案】D
2．已知函数f(x)＝x＋ln x，则有( )
A．f（2）＜f(e）＜f（3）B．f（e)＜f（2）＜f（3)
C．f(3）＜f（e）＜f(2）D．f(e)＜f（3)＜f(2）
【解析】因为在定义域（0，＋∞）上,f′(x)＝错误!＋错误!＞0，所以f（x）在(0，＋∞）上是增函数，所以有f(2）＜f(e）＜f(3)．故选A。

【答案】A
3．函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋1的单调减区间是________．
【解析】f′(x）＝6x2－18x＋12,令f′（x）＜0，即6x2－18x＋12＜0,解得1＜x＜2。

【答案】（1,2)
4．已知函数f(x）＝错误!在（－2,＋∞)内单调递减,则实数a的取值范围为________.
【解析】f′（x）＝错误!，由题意得f′（x）≤0在(－2，＋∞)内恒成立,∴解不等式得a≤错误!，但当a＝错误!时，f′（x）＝0恒成立，不合题意，应舍去，所以a的取值范围是错误!.
【答案】错误!
5．已知函数f(x）＝ln x,g(x）＝错误!ax2＋2x,a≠0。

若函数h（x)＝f(x）－g（x）在［1，4］上单调递减,求a的取值范围．
【解】h(x）＝ln x－错误!ax2－2x，x∈(0,＋∞),
所以h′（x）＝错误!－ax－2.
因为h(x）在［1，4］上单调递减,
所以x∈［1，4］时，
h′（x)＝错误!－ax－2≤0恒成立，
即a≥错误!－错误!恒成立，
所以a≥G（x）最大值,而G(x)＝错误!2－1.
因为x∈[1，4］，所以错误!∈错误!，
所以G(x)最大值＝－错误!（此时x＝4),
所以a≥－错误!.
当a＝－错误!时，
h′（x）＝错误!＋错误!x－2＝错误!
＝错误!.
因为x∈[1，4]，
所以h′（x）＝错误!≤0，
即h(x)在［1,4]上为减函数．
故实数a的取值范围是错误!.
我还有这些不足：（1）
（2）
我的课下提升方案：
(1）
（2)
学业分层测评
(建议用时：45分钟）
[学业达标］
一、选择题
1．函数y＝x＋x ln x的单调递减区间是( )
A．（－∞，e－2）B．（0，e－2）C．（e－2，＋∞)D．（e2，＋∞）
【解析】因为y＝x＋x ln x，所以定义域为(0，＋∞)．
令y′＝2＋ln x<0，解得0<x<e－2,
即函数y＝x＋x ln x的单调递减区间是(0,e－2),
故选B.
【答案】B
2．（2016·深圳高二检测）如图1­3­4是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象,则下面判断正确的是( ）
图1­3­4
A．在区间（－2，1）上f(x)是增函数
B．在区间(1，3)上f（x）是减函数
C．在区间（4，5)上f（x）是增函数
D．在区间(3，5)上f（x）是增函数
【解析】由导函数f′（x）的图象知在区间（4,5）上，f′(x）>0，所以函数f（x)在（4，5）上单调递增．故选C.
【答案】C
3．若函数f(x）＝ax3－x在R上是减函数，则( ）
A．a≤0B．a〈1
C．a<2 D．a≤错误!
【解析】f′（x）＝3ax2－1。

因为函数f（x)在R上是减函数，所以f′（x)＝3ax2－1≤0恒成立，所以a≤0。

故选A。

【答案】A
4．函数f（x）的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R,f′（x）〉2.则f（x)〉2x＋4的解集为（)
【导学号：05410019】A．(－1,1) B．（－1，＋∞）
C．(－∞，－1）D．(－∞，＋∞）
【解析】构造函数g（x)＝f（x）－（2x＋4),
则g(－1)＝2－（－2＋4)＝0，又f′(x）>2。

∴g′(x)＝f′（x)－2>0，∴g（x）是R上的增函数．
∴f（x）〉2x＋4⇔g(x）>0⇔g（x)>g(－1)，
∴x〉－1。

【答案】B
5．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的取值范围是（)
A．（－∞，－错误!)∪［错误!,＋∞)
B．[－错误!,错误!］
C．（－∞，－错误!)∪（错误!，＋∞)
D．(－错误!，错误!)
【解析】f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞,＋∞)上恒成立且不恒为0，Δ＝4a2－12≤0⇒－错误!≤a≤错误!。

【答案】B
二、填空题
6．函数f(x)＝x－2sin x在(0，π)上的单调递增区间为
__________。

【解析】令f′(x）＝1－2cos x〉0，则cos x〈错误!，又x∈（0，π），解得错误!〈x<π,所以函数的单调递增区间为错误!.
【答案】错误!
7．（2016·佛山高二检测）函数y＝错误!x3－ax2＋x－2a在R上不是单调函数，则a的取值范围是________．
【解析】y′＝x2－2ax＋1有两个不相等零点，得Δ＝（－2a)2－4〉0,得a2〉1，解得a 〈－1或a〉1。

【答案】(－∞，－1）∪（1，＋∞)
8．若函数y＝－错误!x3＋bx有三个单调区间，则b的取值范围是__________.
【导学号：05410020】
【解析】若函数y＝－4
3
x3＋bx有三个单调区间，则y′＝－4x2＋b＝0有两个不相等的实
数根,所以b>0.
【答案】（0，＋∞)
三、解答题
9．（2016·吉林高二检测)定义在R上的函数f(x）＝ax3＋bx2＋cx＋3同时满足以下条件：
①f（x）在(－∞，－1）上是增函数，在(－1，0)上是减函数;
②f(x)的导函数是偶函数；
③f(x）在x＝0处的切线与第一、三象限的角平分线垂直．
求函数y＝f（x)的解析式．
【解】f′（x）＝3ax2＋2bx＋c，
因为f(x)在（－∞，－1）上是增函数，在（－1,0）上是减函数,
所以f′(－1）＝3a－2b＋c＝0。

①
由f(x)的导函数是偶函数，得b＝0,②
又f（x)在x＝0处的切线与第一、三象限的角平分线垂直,所以f′(0)＝c＝－1，③
由①②③得a＝错误!,b＝0,c＝－1，
即f(x)＝错误!x3－x＋3.
10．若函数f（x）＝x3－mx2＋2m2－5的单调递减区间是(－9，0），求m的值及函数的其他单调区间．
【解】因为f′（x）＝3x2－2mx,
所以f′(x)〈0,即3x2－2mx〈0。

由题意，知3x2－2mx〈0的解集为（－9,0)，
即方程3x2－2mx＝0的两根为x1＝－9，x2＝0.
由根与系数的关系，
得－错误!＝－9，即m＝－错误!。

所以f′（x）＝3x2＋27x.
令3x2＋27x〉0,解得x〉0或x<－9。

故（－∞，－9)，(0，＋∞)是函数f（x)的单调递增区间．
综上所述,m的值为－错误!，函数f(x）的单调递增区间是(－∞，－9)，（0，＋∞)．
[能力提升]
1．已知函数y＝f(x)，y＝g(x）的导函数的图象如图1。

3。

5所示,那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是（)
图1。

3。

5
【解析】由题图,知函数g′(x）为增函数，f′(x)为减函数，且都在x轴上方，所以g(x）的图象上任一点的切线的斜率都大于0且在增大，而f（x)的图象上任一点的切线的斜率都大于0且在减小．又由f′(x0）＝g′（x0),知选D。

【答案】D
2．设f（x)，g（x）是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f′（x）g(x)－f（x)g′（x)<0，则当a〈x〈b时有（）
A．f(x）g（x)>f（b)g（b）
B．f（x）g（a)>f（a)g（x)
C．f(x）g(b)〉f(b）g（x)
D．f(x)g（x）〉f（a）g(a)
【解析】因为错误!′＝
错误!。

又因为f′(x）g（x)－f(x)g′（x)<0,所以错误!在R上为减函数．又因为a<x〈b,所以错误!〉错误!〉错误!,又因为f(x)〉0，g(x)>0，所以f（x)g(b）>f(b)g(x）．因此选C。

【答案】C
3．(2016·亳州高二检测）若函数f（x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则实数m的取值范围为________．
【解析】f′(x）＝3x2＋2x＋m，由于f(x)是R上的单调函数，所以f′(x)≥0或f′（x)≤0恒成立．
由于导函数的二次项系数3〉0，所以只能有f′(x)≥0恒成立．
法一 由上述讨论可知要使f ′(x ）≥0恒成立，只需使方程3x 2
＋2x ＋m ＝0的判别式Δ＝4－12m ≤0，故m ≥错误!。

经检验，当m ＝错误!时，只有个别点使f ′(x )＝0，符合题意．
所以实数m 的取值范围是m ≥错误!.
法二 3x 2＋2x ＋m ≥0恒成立，即m ≥－3x 2－2x 恒成立．
设g （x )＝－3x 2－2x ＝－3错误!2＋错误!,易知函数g （x )在R 上的最大值为错误!，所以m ≥错误!。

经检验,当m ＝错误!时，只有个别点使f ′(x ）＝0，符合题意．
所以实数m 的取值范围是m ≥错误!。

【答案】 ⎣⎢⎡⎭
⎪⎫13，＋∞ 4．设函数f （x ）＝a 2ln x －x 2＋ax （a 〉0）．
(1）求f （x ）的单调区间；
(2)求所有的实数a ，使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈［1，e]恒成立．
【解】 （1)∵f (x ）＝a 2ln x －x 2＋ax ，其中x >0，
∴f ′（x ）＝错误!－2x ＋a
＝－错误!，
由于a >0，∴f (x ）的增区间为（0，a ）,减区间为(a ,＋∞）．
(2）由题意得，f （1）＝a －1≥e－1，
即a ≥e，
由(1）知f (x )在[1，e ］上单调递增，
要使e －1≤f (x ）≤e 2对x ∈[1,e]恒成立，
只要错误!
解得a ＝e 。