高中数学三角函数的图象和性质

三角函数（二）
解析式：cos,
y x x
=∈R
图象：余弦曲线，见附图2
定义域：R；值域：[1,1]
-；周期：2π；
奇偶性：偶函数；
单调增区间：[(21)π,2(1)π]()
k k k
++∈Z；
单调减区间：[2π,(21)π]()
k k k
+∈Z．
余
弦
函
数
性质
解析式：tan,
y x x
=∈R，且ππ/2,
x k k
≠+∈Z
图象：正切曲线，见附图３
定义域：{}
π/2π,
x x k k
≠+∈Z；值域：(,)
-∞+∞；
周期：π；奇偶性：奇函数；
单调增区间：(π/2π,π/2π)()
k k k
-++∈Z
正
切
函
数性质
正
弦
型
函
数
解析式：sin()
y A x
ωϕ
=+（,,
Aωϕ都为常数）
图象：由正弦函数图象经过适当的平移和横纵坐标的伸缩变换得到
周期：2π/
Tω
=；频率：1//2π
f Tω
==
初相：ϕ；
值域：[,]
A A
-；
性质
正
弦
函
数
解析式：sin,
y x x
=∈R
图象：正弦曲线，见附图１
定义域：R；值域：[1,1]
-；周期：2π；
奇偶性：奇函数；
单调增区间：[π/22π,π/22π]()
k k k
-++∈Z；
单调减区间：[π/22π,3π/22π]()
k k k
++∈Z．
性质
知识框架
y
x
O
2π
π
-π
-2π
附图1
-2π
-ππ
O
y
2πx
附图2
-π/2π/23π/2
-3π/2-ππ
O
y
x
附图3
三角函数的图象和性质
三角函数
要求层次 重难点
sin y x =，cos y x =，
tan y x =的图象和性质
C
了解正弦、余弦、正切、余切函数的图象的画法
函数sin()y A x ωϕ=+的图象
C
会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数
sin()y A x ωϕ=+的简图，理解,,A ωϕ的物理
意义，掌握由函数sin y x =的图象到函数
sin()y A x ωϕ=+的图象的变换原理和方法
用三角函数的图象解决一些简单的实际问题
B 掌握正弦、余弦、正切函数图象的对称轴或对称中心
三角函数的定义域和值域
B
掌握三角函数的定义域、值域的求法
三角函数的性质 C
掌握三角函数的奇偶性与单调性，并能应用它们解决一些问题,会求经过简单的恒等变形可化为sin()y A x ωϕ=+的三角函数的性质
三角函数的图象和性质的应用
C
掌握三角函数奇偶性的判断及三角函数单调区间的求解及其应用
三角函数的图象是高考的热点之一，重点考查已知图象求解析式，函数的图象变换及对
称问题，利用图象变换和对称以及图象的性质解决实际问题，多为中档题.
(一) 知识内容
1.三角函数的图象
<教师备案>会用正弦线、正切线画出正弦函数、正切函数的图象，并能够在此基础上利用诱导公式画出余弦函数和余切函数的图象.
()()sin 0,0,y A x A x ωϕω=+>>∈R
例题精讲
高考要求
y
x
O
2π
π
-π
-2π
y =sin x
x
-2π
-π
π
O
y
2π
x
y =cos x
-π/2
π/23π/2
-3π/2-π
π
O
y
x
y =tan x
板块一：三角函数的图象
①确定函数的最小正周期2π
T ω
=；
②令x ωϕ+＝0、
π2、π、3π2、2π，得x ϕω=-、1π()2ϕω-、1(π)ϕω-、13π()2
ϕω-、1(2π)ϕω-，于是得到五个关键点(,0)ϕω-、
1π((),1)2ϕω-、1((π),0)ϕω-、13π
((),1)2
ϕω--、1
((2π),0)ϕω
-；
③描点作图，先作出函数在一个周期内的图象，然后根据函数的周期性，把函数在一个周期内的图象向左、右扩展，得到函数()()sin 0,0,y A x A x ωϕω=+>>∈R 的图象．
3.()
()sin 0,0,y A x A x ωϕω=+>>∈R 的图象
函数()()sin 0,0,y A x A x R ωϕω=+>>∈的图象可以用下面的方法得到：先把sin y x
=
的图象上所有点向左(0)ϕ>或向右(0)ϕ<平行移动||ϕ个单位；再把所得各点的横坐标
缩短(1)ω>或伸长(01)ω<<到原来的
1
ω
倍（纵坐标不变）；再把所得的各点的纵坐标伸长
(1)A >或缩短(01)A <<到原来的A 倍（横坐标不变），从而得到sin()y A x ωϕ=+的图象．当
函数sin()y A x ωϕ=+表示一个振动量时：A 叫做振幅；T 叫做周期；1
T
叫做频率；x ωϕ+叫做相位，ϕ叫做初相．
上面是一种函数的平移缩放的过程，可以用这种方法来把一种三角函数转换成另外一种三角函数．下面把这个过程分解一下： (1)相位变换
要得到函数sin()(0)y x ϕϕ=+≠的图象，可以令x x ϕ=+，也就是原来的x 变成了现在的
x ϕ+，相当于x 减小了(0)ϕϕ<，即可以看做是把sin y x =的图象上的各点向左(0)ϕ>或
向右(0)ϕ<平行移动||ϕ个单位而得到的．这种由sin y x =的图象变换为sin()y x ϕ=+的图象的变换，使相位由x 变为x ϕ+，我们称它为相位变换．它实质上是一种左右平移变换． (2)周期变换
要得到函数sin (0,1)y x ωωω=>≠的图象，令x x ω=，即现在的x 缩小到了原来的ω倍，就可以看做是把sin y x =的图象上的各点的横坐标缩短(1)ω>或伸长(01)ω<<到原来的
1
ω
倍（纵坐标不变）得到，由sin y x =的图象变换为sin y x ω=的图象，其周期由2π变为
2π
ω
，这种变换叫周期变换．周期变换是一种横向的伸缩． (3)振幅变换
要得到sin (0,1)y A x A A =>≠且的图象，令y
y A
=
，即相当于y 变为原来的A 倍，也就是
把sin y x =的图象上的各点的纵坐标伸长(1)A >或缩短(01)A <<到原来的A 倍（横坐标不变）而得到的．这种变换叫做振幅变换．振幅变换是一种纵向的伸缩．
【说明】本题的所有变换都是针对x 和y 来的，也就是说所有的转换都是用在x 和y 身上的，他们的系数也不包括在内．例如()
()sin 0,0,y A x A x R ωϕω=+>>∈的图象，如果先把
sin y x =各点的横坐标缩短(1)ω>或伸长(01)ω<<到原来的
1
ω
倍（纵坐标不变）变成
sin y x ω=，再把所得的各点的纵坐标伸长(1)A >或缩短(01)A <<到原来的A 倍（横坐标
不变），得到sin y A x ω=，而最后才所有点向左(0)ϕ>或向右(0)ϕ<平行移动||ϕ个单位，这样得到就是sin ()y A x ωϕ=+，而不是sin()y A x ωϕ=+．希望大家能够从中理解“坐标变换是针对x 和y 做的” 这句话的意义．
(二)典例分析
【例1】 ⑴如果函数()3cos 2y x ϕ=+的图象关于点4π3⎛⎫
⎪⎝⎭
，0中心对称，那么ϕ的最小值为（ ） A ．
π
6
B ．
π4
C ．
π3 D ．π2
⑵在同一平面直角坐标系中，函数3πcos ([0,2π])22x y x ⎛⎫
=+∈ ⎪⎝⎭
的图象和直线12y =的交点个数
是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．4
【变式】 函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的部分图象如下图所示，则(1)(2)(3)f f f +++…
(11)f =
【变式】 方程1
sin 22
x =
在[2π,2π]-内解的个数为 ．
【变式】 如图，方程sin 2sin x x =在区间(0,2π)内解的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【例2】 已知函数π()2sin 26f x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，x ∈R ，若有10个互不相等的正数i x 满足()2i f x =，且
10πi x <(1,2,3,10)i =⋅⋅⋅，求1210x x x ++⋅⋅⋅+的值
【变式】 ⑴求方程lg sin 0x x -=的解的个数；
⑵求方程100sin x x =的解的个数．
【变式】 函数2y x x =-与cos(10π)y x =的图象交点有 个．
【例3】 已知函数11
()(sin cos )sin cos 22
f x x x x x =+--，求()f x 的值域．
【变式】 函数cos(sin )y x =的值域为_______
【变式】 ⑴求函数22log (1sin )log (1sin )y x x =++-，ππ,64x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
的值域．
⑵求函数2
23sin sin y x x
=
+(π,)x k k ≠∈Z 的值域． .
【变式】 (1sin )(3sin )
2sin x x y x
++=+的最值及对应的x 的集合
【例4】 已知正弦曲线sin()(0,0,02π)y A x A ωϕωϕ=+>><<上的一个最高点是(2,
，
由这个最高点到相邻的最低点，曲线与x 轴相交于点(6,0)，试求这个函数的解析式.
【变式】 已知函数π
()sin()(0,0,||)2
f x A x A ωϕωϕ=+>><的图象在y 轴上的截距为1，它在y 轴右侧
的第一个最大值点和最小值点分别为0(,2)x 和0(3π,2)x +-.
⑴求()f x 的解析式；
⑵用列表作图的方法画出函数()y f x =在长度为一个周期的闭区间上的图象.
【例5】 如图，是函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>，πϕ<的图象的一部分，由图中条件写出函数
解析式．
【变式】 右图是函数sin()y A x ωϕ=+(0,0,02π)A ωϕ>><<
的图象的一部分，试求此函数的解析式.
【变式】 函数sin()y A x ωϕ=+(0,0,π)A ωϕ>><的图象的一段如图所示，确定该函数的解析式
.
【解析】 设函数()f x 的图象与直线x a =，x b =及x 轴围成图形的面积称为函数()f x 在[,]a b 上的面
积，已知函数sin y nx =在π0,
n ⎡
⎤⎢⎥⎣
⎦上的面积为2
n
()n *∈N ， ⑴sin 3y x =在2π0,3⎡
⎤⎢⎥⎣⎦
上的面积为 ；
⑵sin(3π)1y x =-+在π4π,33⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的面积为 ．
【例6】 设π()sin (0)5
3k
f x x k ⎛⎫=+≠ ⎪⎝⎭
⑴求当3k =时，函数图象的对称轴方程和对称中心坐标．
⑵求最小正整数k ，使得当自变量在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数至少取得一次最大值M 和最小值m ．
【变式】 圆222x y k +=
至少覆盖函数π()x
f x k
的一个最大值点与一个最小值点，求实数k 的取值范围．
【变式】 已知函数2
sin sin 1y x a x =++的最小值为1，求a 的值.
【变式】 求证：在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内存在唯一的实数对(,)c d ，π,0,2c d ⎛
⎫∈ ⎪⎝
⎭，且c d <，使得
sin(cos )c c =，cos(sin )d d =成立．
【变式】 已知函数()b x a x x a x a x f ++⋅+=22cos 33cos sin 2sin 3⎪⎭
⎫
⎝
⎛
≤
≤20πx 的值域为 [23，-]，求a 、b 的值．
【变式】 求证函数()|cos ||sin |f x x x =+的最小正周期是
π
2
．
【例7】 已知函数f (x )=A sin(ωx ＋φ)（2
00π
ϕω<
>>，，A ）的图象在y 轴上的截距为1，它在y 轴右
侧的第一个最大值点和最小值点分别为（x 0，2）和（x 0＋3π，－2）． （1）求f (x )的解析式；
（2）将y =f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的3
1
，（纵坐标不变），然后再将所得图象沿x 轴正方向平移
3
π
个单位，得到函数y =g (x )的图象．写出函数y =g (x )的解析式并用“五点法”画出y =g (x )在长度为一个周期的闭区间上的图象．
(一）知识内容
<教师备案>1．函数图象平移基本结论小结如下：
(0)
()()a a y f x y f x a >=−−−−−−→=+左移个单位
(0)()()a a y f x y f x a >=−−−−−−→=-右移个单位
(0)()()a a y f x y a f x >=−−−−−−→-=上移个单位 (0)()()a a y f x y a f x >=−−−−−−→+=下移个单位
1
()()y f x y f x ω
ω=−−−−−−−−→=各点横坐标变成原来的倍
()()y f x Ay f x =−−−−−−−−→=1
各点纵坐标变成原来的倍
A
()()x y f x y f x =−−−−→-=绕轴翻折 ()()y f x y f x =−−−−→=-绕y 轴翻折
这些新的解析式可以由图象上任意一点变换后的对应关系得出，以左移a 个单位的解析式变化为例：
设00(,)P x y 为()y f x =左移a 个单位后所得图象上的任意一点，则将Ｐ右移a 个单位得到的00'(,)P x a y +必在()y f x =的图象上，故00()y f x a =+，又00(,)P x y 点任意，故()y f x =的图象左移a 个单位得到的新的函数的解析式为：()y f x a =+．
函数变换可以用下图表示：
板块二：三角函数图象变换
1
（二）典例分析
【例8】⑴已知a是实数，则函数()1sin
f x a ax
=+的图象不可能
．．．是（）
⑵已知函数()π
sin
4
f x x
ω
⎛⎫
=+
⎪
⎝⎭
()0
xω
∈>
R，的最小正周期为π，为了得到函数()cos
g x x
ω
=的图象，只要将()
y f x
=的图象（）
A．向左平移
π
8
个单位长度B．向右平移
π
8
个单位长度
C．向左平移
π
4
个单位长度D．向右平移
π
4
个单位长度
⑶函数
π
sin()
4
y x
=+的最小正周期为＿＿＿，单调增区间为__________________．
【变式】 已知函数()sin f x x a =-，a ∈R
⑴讨论函数()f x 的奇偶性
⑵求当()f x 取最大值时，自变量x 的取值集合.
【变式】 设函数()sin ()3f x x x π⎛
⎫=+∈ ⎪⎝
⎭R ，则()f x （ ）
A ．在区间27,36ππ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦
上是增函数 B ．在区间,2π⎡⎤
-π-⎢⎥⎣⎦上是减函数
C ．在区间,84ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上是增函数
D ．在区间5,
3
6π
π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上是减函数
【变式】 设函数()sin3|sin3|f x x x =+，则()f x 为( )
A ．周期函数，最小正周期为π3
B ．周期函数，最小正周期为2π
3
C ．周期函数，最小正周期为2π
D ．非周期函数
【例9】 已知函数R ∈+⋅+=
x x x x y ，1cos sin 2
3cos 212． （1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；
（2）该函数的图象可由y =sin x (x ∈R )的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？
【例10】 已知函数f (x )=A sin(ωx ＋φ)（2
00π
ϕω<
>>，，A ）的图象在y 轴上的截距为1，它在y 轴右
侧的第一个最大值点和最小值点分别为（x 0，2）和（x 0＋3π，－2）． （1）求f (x )的解析式；
（2）将y =f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的3
1
，（纵坐标不变），然后再将所得图象沿x 轴正方向平移
3
π
个单位，得到函数y =g (x )的图象．写出函数y =g (x )的解析式并用“五点法”画出y =g (x )在长度为一个周期的闭区间上的图象．
【变式】 函数()sin 2sin f x x x =+，[0,2π]x ∈的图象与直线y k =有且仅有两个不同的交点，则k 的
取值范围是 ．
【例11】 已知函数()sin()(00π)f x x ωϕωϕ=+>，≤≤是R 上的偶函数，
其图象关于点3π04M ⎛⎫
⎪⎝⎭
，对称，且在区间π02⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，上是单调函数，求ω和ϕ的值．
【变式】 已
知函数π()sin ()4f x a x a b ⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭Z ，，当π02x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，时，()f x
的最大值为1．
⑴求()f x 的解析式；
⑵由()f x 的图象是否可以经过平移变换得到一个奇函数()y g x =的图象？若能，请写出变换
过程；若不能，请说明理由．
【变式】 函数sin cos 1y x x =-的最小正周期与最大值的和为 ．
（一）知识内容
函数sin
y x
=cos
y x
=tan
y x
=cot
y x
=
定义域R R
{|,
,}
2
x x R x
k k
π
π
∈≠
+∈Z
且
{|,,
}
x x R x k
k
π
∈≠
∈Z
且
值域[1,1]
-[1,1]
-R R
奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数
有界性有界函数|sin|1
x≤
有界函数
|cos|1
x≤无界函数无界函数
周期性
（最小正
周期）
2π
T=2π
T=π
T=π
T=
单调性
ππ
[2π,2π]
22
π3π
[2π,2π]
22
(π)
k k
k k
-+
++
∈Z
在
在
[(21)π,
2π],[2π
,(21)π]
()
k
k k
k
k
-
+
∈Z
在
π
[(π,
2
π
π]
2
()
k
k
k
-
+
∈Z
在
[(π,ππ]
()
k k
k
+
∈Z
在最值
π
2π,
2
x k
=+
max
1
y=;
π
2π
2
x k
=-,
min
1
y=-(k∈Z)
2π,
x k
=
max
1
y=;
(21)π
x k
=+,
min
1
y=-
(k∈Z)
无无
对称轴
π
π(
2
x k k
=+∈Z)π(
x k k
=∈Z)无无
对称点(π,0)()
k k∈Z
π
(π+,0)
2
(
k
k∈Z)
(π,0)(
k k∈Z)
π
(π+,0)(
2
k k∈Z)板块三：三角函数的性质
（二）典例分析
<教师备案>本板块的例题主要涉及三角函数的定义、同角三角函数关系、利用同角三角函数的基本关
系进行三角函数的化简、诱导公式的应用以及三角函数与二次函数的综合等知识内容，解题关键是三角函数的值域.
1.定义域值域
【例1】 求使1cos 1a
x a
+=
-有意义的a 的取值范围.
【例2】 求函数22
sec tan sec tan x x
y x x
-=+的值域.
【点评】由于R ∈x tan ，故此类问题与)(22R ∈'
+'+'++=
x c x b x a c
bx ax y 一类问题相同，可去分母，移项，然后利用Δ≥0解之.
【变式】 求函数2sin 1
2sin 1
x y x +=
-的值域.
【点评】注意本题值域的求法，是把sin x 看成函数，把y 看成自变量.实际是利用原函数的定义域来
求值域.巧妙的利用了三角函数的性质.
2.函数解析式
【例3】 设f (x )满足ππ
2(sin )3(sin )4sin cos ()44
f x f x x x x -+=-
≤≤，求()f x 的表达式.
【例4】 若函数sin()y A x ωϕ=+，(0,0,02π)A ωϕ>><≤
的图象上一个最高点的坐标为（，
由这个最高点到相邻的最低点间，图象与x 轴的交点为(4,0).求此函数的解析式.
【例5】 把曲线π:2sin 24C y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭向右平移(0)a a >个单位，得到的曲线G 关于直线π4x =对称.
求a 的最小值.
【例6】 定义在R 上的函数()f x 既是偶函数又是周期函数，若()f x 的最小正周期是π，且当π
[0,
]2
x ∈时，()sin f x x =，则5π
(
)3
f 的值为（ ） A . 1
2
- B
C
. D .1
2
【例7】 设()f x 是定义在R 上且最小正周期为3π2的函数，在某一周期内，πcos 2,0,
2()sin ,
0π,x x f x x x ⎧-<⎪=⎨⎪<⎩≤≤
则()
15π4f -= .
3.利用三角函数性质
【例8】 已知π
4
x ≤
，求函数2cos sin y x x =+的最小值
【例9】 函数21sin(),10(),0
x x x f x e x π-⎧-<<⎪
=⎨⎪⎩≥，若(1)()2f f a +=，则a 的所有可能值为（ ）
A.1
B.1,
C.
D.1,
【例10】 求下列不等式x 的取值范围.
⑴2sin 10x +≥；
⑵π
2cos(3)106
x +-≤.
【变式】 当方程224sin 4sin 20x x k k +-+-=有解时，求k 的取值范围.
【点评】注意题中变量的转化，题中的自变量不一定必须得是自变量，也可以把它当值域考虑.
【变式】 设1
(0)2
x ∈-
，，1cos(sin π)a x =，23sin(cos π),cos π(1)a x a x ==+,比较321a a a ，，的大小.
【例11】 关于x 的不等式222sin 2cos 2a a x a x +--≥的解集是全体实数，求实数a 的取值范围
（一）知识内容
本板块主要讲解三角函数与二次函数的结合，其中关于参数的取值范围是本讲的重点也是难点，关键在于最值是否取到.
（二）典例分析
【例12】 求函数22sin 2sin 1y x x =-++的值域.
【变式】 已11π
lg[
9cos()]126
x -+≤，求函数2cot 2cot 5y x x =-+的值域.
【变式】 求函数222cos sin y a x x =--的最大值与最小值.
【变式】 求函数3
(2cos )(5cos )
y x x =
+-的最大（小）值及取得最大（小）值时x 的值.
板块二：三角函数与二次函数
【例13】 求函数253sin cos 82y x a x a =++-π
(0)2
x ≤≤的最大值
【变式】 函数2()12cos 2sin 2f x a x x a =---的最小值为()g a ，a ∈R .
⑴求()g a ⑵若1
()2
g a =，求a 及此时()f x 的最大值
【例14】 若函数2()cos sin f x x a x b =-+的最大值为0，最小值为4-，且0a >，求,a b 的值
【例15】 若2sin cos 0x x a ++=有实数根，试确定实数a 的取值范围.
【变式】 为使方程2cos sin 0x x a -+=在π0,2⎛
⎤ ⎥⎝
⎦内有解，则a 的取值范围是( )
A.11a -≤≤
B.11a -<≤
C.10a -<≤
D.5
4
a -≤
【例16】 已知定义在(,4]-∞上的减函数()f x ，使得27
(sin )(12cos )4
f m x f m x -+-
+≤，对一切实数x 均成立，求实数m 的取值范围 .
【点评】利用三角函数的值域求解变量的取值范围，是较为常见的解题思路，在利用单调性列出不等
式时，不能忘记函数的定义域.
【变式】 已知,b c 是实数，函数2()f x x bx c =++对任意,αβ∈R 有：①(sin )0f α≥②(2cos )0f β+≤
⑴求(1)f 的值； ⑵证明：3c ≥；
⑶设(sin )f α的最大值为 10，求()f x .
（一）知识内容
1.定义：对于函数()f x ，如果存在一个不为零的数T ，使得当x 取定义域中的任意一个数时，()()f x T f x +=总成立，那么称()f x 是周期函数，T 称为这个函数的周期，如果函数()f x 的所有正周期总存在最小值0T ，则称0T 为这个函数的最小正周期.
2.说明：周期函数的定义域是无界的；若T 是某函数的周期，则(,0)nT n n ∈≠N 均为此函数的周期；若函数()y f x =的最小正周期是T ，则函数()y f x ωϕ=+的最小正周期是
T ω
. 3.对称轴为x a =的函数，对称中心为(,)a b 的函数的解析式问题函数()y f x =周期为T ⇔如果点(,)x y 在图象上，则(,)x T y +也在图象上⇔()()y f x f x T ==+ 板块四：三角函数的周期性
关于一般的轴对称：函数()y f x =关于直线x a =对称⇔如果点(,)x y 在图象上则它关于直线x a =的对称点(2,)a x y -也在图象上⇔()(2)y f x f a x ==-
关于一般的中心对称：()y f x =关于点(,)a b 对称⇔如果点(,)x y 在图象上，则它关于点(,)a b 的对称点(2,2)a x b y --也在图象上⇔2()(2)b f x f a x -=- 4.某个函数关于点对称或轴对称，周期的特点：
⑴若定义在R 上的函数()f x 有两条对称轴x a =，x b =()a b >，则这个函数必定是周期函数，2()T a b =-是它的周期.
证：[2()][(2)]f a b x f a a b x -+=+-+[(2)](2)f a a b x f b x =--+=-
[()]f b b x =+-[()]()f b b x f x =--= ∴()f x 以2()a b -为周期
⑵若函数()f x 在R 上的图象关于某点0(,)A a y 与某直线x b =()a b ≠对称，则此函数为周期函数，4T b a =-是它的周期.
证：图象上任一点(,())x f x 关于点0(,)A a y 的对称点0(2,2())a x y f x --也在图象
上，即有0(2)2()f a x y f x -=-，且()()f b x f b x -=+，则0()2(2)f x y f a x =-- 02[(2)]y f b b a x =---+02[(2)]y f b b a x =-+-+02(22)y f b a x =--+
[2(22)]f a b a x =--+[(34)]f b b a x =--+[(34)]f b b a x =+-+[4()]f b a x =-+ ∴()f x 是以4()b a -为周期的函数
（二）典例分析
【例17】 ⑴设函数ππ
()2sin()25
f x x =+,若对任意x ∈R ,都有12()()()f x f x f x ≤≤成立,则12x x -的最小
值( )
A.4
B.2
C.1
D.
1
2
⑵已知()sin (0)363f x x f f ωωπππ⎛
⎫
⎛⎫
⎛⎫
=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，且()f x 在区间63ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
，有最小值，无最大值，
则ω＝__________.
【变式】 已知函数2sin()y x ωϕ=+(0π)ϕ<<为偶函数，其图象与直线2y =相邻的两个交点的横坐标
分别为1x ，2x ，且12πx x -=，则( )
A.π2,2ωϕ==
B.1π,22ωϕ==
C.1π,24ωϕ==
D.π
2,4
ωϕ==
【例18】 ⑴()f x 是定义在R 上的以3为周期的奇函数且(2)0f =，则方程()0f x =在区间(0,6)内解
的个数的最小值是( )
A.2
B.3
C.4
D.5
⑵函数π
sin 3
y x =在区间[0]t ，
上恰好取得最大值，则实数t 的取值范围是 .
【点评】⑴∵( 1.5)( 1.53)(1.5)f f f -=-+=，∴( 1.5)(1.5)f f -=-
∴(1.5)0f =，从而有(4.5)0f =，∴()0f x =在(0,6)内至少还有两个根1.5和4.5 此题为高考题中的一道有问题的题目.
【变式】 函数()f x ，当(,)x ∈-∞+∞时，(2)(2)f x f x -=+，(7)(7)f x f x -=+，在闭区间[0,7]上，
只有(1)(3)0f f ==.
⑴试判断函数()f x 的奇偶性.
⑵试求方程()0f x =在闭区间[2005,2005]-上的根的个数，证明你的结论.
【点评】由福建的错题，看广东的这道题，会发现福建的题目中为(2)0f =，而广东的为“只有
(1)(3)0f f ==”.意味着福建的题目在含有数2的某个邻域(,)a b 内可以存在多个0(,)x a b ∈使0()0f x =，而广东题中可确信在[0,7]上有且只有(1)(3)0f f ==， 即除1和3之外，再没有另外的数0[0,7]x ∈使0()0f x =
反思广东题目的解答是否合理，由()y f x =在[0,7]上只有(1)(3)0f f ==⇒()y f x =在[0,10]上只有两根是否合理，即能否判断()y f x =在[7,0]x ∈-或(]7,10上再没有根.以下对
这个问题进行回答：
假设()y f x =在(7,0)-上还存在一个根0x ，即存在0(7,0)x ∈-使0()0f x = ∴0(10)0f x +=，且010(3,10)x +∈，即()0f x =在(3,10)上有根， 又∵()0f x =在[0,7]上只有(1)(3)0f f == ∴()0f x =在(]3,7无根
∴010(7,10)x +∈，即()0f x =在(7,10)上有根， 又∵()f x 关于7x =轴对称，
∴()0f x =在(4,7)上有根与“()f x 在[0,7]上只有(1)(3)0f f ==矛盾” ∴()y f x =在[)7,0-上没有根，同理，()y f x =在(]7,10没有根
【变式】 设()f x 是定义在R 上并以2为周期的函数， 当[1,1]x ∈-时，2()f x x =.
⑴求(1,3]x ∈时，()f x 的表达式；
⑵作出()f x 的图象，并求(3)f -及(3.5)f 的值.
【变式】 函数sin (0)y x ωω=>在区间[0,1]上恰好有50个最大值，则ω的取值范围是 .
【点评】本题可从sin y x =在一个周期内有几个最大值点入手，在长度为一个标准周期2π的区间内，
在[)0,2π内只有一个最大值点π2x =，但在ππ[,2π]22+内有两个最大值π2
x =和π
2π2x =+，
如果要出现连续的50个最大值，最少要包含49个周期的图象 .
如：函数sin y x =在含49个周期的区间π
π,98π22⎡⎤
+⎢⎥⎣⎦上有50个最大值，
在含49个多周期的区间π0,98π2⎡
⎤
+⎢⎥⎣
⎦上恰好有50个最大值，
一般地，只有在区间[0,]a ，ππ
98π100π22
a +<+≤上恰好有50个最大值.
【例19】 ⑴若函数πsin()13y x ω=+-的最小正周期为π
2
，那么正数ω的值是( )
A.8
B.4
C.2
D.1
⑵定义在R 上的函数()f x 的图象关于点(,)a b ，(,)c b 都是对称()a c ≠，则( ) A.()f x 是以a c -为周期 B.()f x 是以2a c -为周期的函数
C.()f x 是以
1
2
a c -为周期的函数 D.()f x 不是周期函数
【变式】 已知()f x 是定义在R 上的函数，且对任意x ∈R ，1
()2
f x a +=
试证：()f x 为周期函数.
【例20】 函数()cos(3)f x x x ϕ=+∈R ，的图象关于原点中心对称，则ϕ=（ ）
Ａ.π
3
Ｂ.ππ2k k +∈Z ， Ｃ.πk k ∈Z ， Ｄ.π
2π2
k k -∈Z ，
【例21】 ⑴函数sin 1y a x =+的最大值是3，则它的最小值_____________________.
⑵函数sin y x =的一个单调增区间是( ) A.ππ⎛⎫
- ⎪44⎝⎭
，
B.3ππ⎛⎫ ⎪44
⎝⎭
，
C.3π⎛⎫
π ⎪2
⎝
⎭
，
D.32π⎛⎫
π
⎪2⎝⎭
，
【例22】 已知函数()()cos f x A x ωϕ=+的图象如图所示，π223f ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，则()0f =（ ）
A.2
3-
B.12-
C.23
D.1
2
【变式】 已知函数()f x 的定义域为(),-∞+∞，且对于任意一个x 的值，都有()(1)(1)f x f x f x =-++
求证：()f x 一定是周期函数
【例23】 已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体：存在非零常数T ，对任意x ∈R ，有
()()f x T Tf x +=成立.
⑴函数()f x x =是否属于集合M .说明理由.
⑵设函数()x f x a =(0a >且1a ≠)的图象与y x =的图象有公共点，证明()x f x a M =∈ ⑶若函数()sin f x kx M =∈，求实数k 的取值范围.
【变式】 函数21
π5cos π3
6k y x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭()k *∈N 对于任意实数a ，在区间[,3]a a +上的值54出现的次数不
少于4次且不多于8次，试求k 的值.
<教师备案>三角函数的周期性的一些结论，教师可根据学生情况处理以下题目，作为本讲的补充题.
⑴两个周期函数之和，可能是周期函数，也可能是非周期函数 设()sin f x x =，()sin πg x x =，()1h x =，则两个周期函数之和()()sin 1f x h x x +=+是周期函数，
而()()f x g x +sin sin πx x =+是非周期函数.
⑵一个周期函数与一个非周期函数的和，可能是周期函数，也可能是非周期函数.
设()f x sin sin πx x =+，()sin g x x =-，()2sin h x x =-，则()()sin πf x g x x +=是周期函数，
()()sin πsin f x h x x x +=-是非周期函数.
⑶若函数1()f x 和2()f x 都是周期函数，最小正周期分别是1T ，212()T T T ≠，当1
2
T T 是有理时，函数12()()y f x f x =+是周期函数，1T ，2T 得最小公倍数是它的一个周期.
结论证明：在公共定义域D 上，奇函数1()f x 的最小正周期为1T ，偶函数2()f x 的最小正周期
为2T ，且
1
2
T T =有理数，则12()()()f x f x f x =+的最小正周期是1T ，2T 的最小公倍数. 证：由已知
1
2
T T =有理数，可设1T p α=，2T q α=，这里,p q *∈N ，且(,)1p q =，α+∈R 对于任意的x D ∈，有
1()()()f x pq f x pq f x pq ααα+=+++1122()()f x qT f x qT =+++12()()()f x f x f x =+=
故()f x 是周期函数，1T ，2T 的最小公倍数pq α是它的一个周期；再设(0)T ≠是()f x 的任一周期，那么对于任意的x D ∈，都有x T M +∈，且()()f x T f x += 即1212()()()()f x T f x T f x f x +++=+ ① 由于数集D 是奇偶函数的定义域，必对称于原点， 故也有()x T D -+∈，将()x T -+代入①式 有1212()()[()][()]f x f x f x T f x T -+-=-++-+ 根据1()f x ，2()f x 的奇函偶性，由上式可得到
1212()()()()f x f x f x T f x T -+=-+++ ②
①±②可得到：11()()f x T f x +=，22()()f x T f x +=
这表明()f x 的周期T 一定是1()f x 和2()f x 的公共周期，而1()f x ，2()f x 的公共周期中， 最小的是1T ，2T 得最小正周期pq α，这就证明了1T ，2T 的最小公倍数是()f x 的最小正周期.
【变式】 求函数sin cos x x ⋅的最小正周期.
【变式】 若函数1()f x 和2()f x 都是定义在R 上的周期函数，最小正周期都是T ，对于函数
12()()y f x f x =+，以下判断中，正确的是( )
A.最小正周期是T
B.有最小正周期，且t T <
C.是周期函数，但可能没有最小正周期
D.可能是非周期函数
【变式】 求函数()2sin33sin 4f x x x =+的最小正周期
【变式】 求20082007()(sin )(cos )f x x x =+的最小正周期
【变式】 求
函数()f x =的最小正周期
【例24】 设()f x 是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线1x =对称，对任意的1x ，2x 10,2⎡
⎤∈⎢⎥⎣
⎦都有
1212()()()f x x f x f x +=⋅，且(1)0f a =>，
⑴求12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭及14f ⎛⎫
⎪⎝⎭
⑵证明()f x 是周期函数。