高考数学复习《概率统计》试题分析与复习指导

2008高考数学复习《概率统计》试题分析与复习指导高中学习的《概率统计》是大学统计学的基础，起着承上启下的作用，是每年高考命题的热点。

下面通过简析有关概率统计方面的试题，来分析命题方向，透视命题信息，以便科学高效地组织好新课程的高考复习。

一、高考中概率统计试题的特点
1．试题分布（以福建省理科为主）
2．试题特点
（1）概率统计试题的题量大致为2道，约占全卷总分的6％-10％，试题的难度为中等或中等偏易。

（2）概率统计试题通常是通过对课本原题进行改编，通过对基础知识的重新组合、变式和拓展，从而加工为立意高、情境新、设问巧、并赋予时代气息、贴近学生实际的问题。

这样的试题体现了数学试卷新的设计理念，尊重不同考生群体思维的差异，贴近考生的实际，体现了人文教育的精神。

（3）概率统计试题主要考查基本概念和基本公式，对等可能性事件的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率、事件在n次独立重复试验中恰发生k次的概率、离散型随机变量分布列和数学期望、方差、抽样方法等内容都进行了考查。

（4）概率统计试题在试卷中的题型逐年发生变化，由 2004年、 2005年有解答题，到2006年、2007年稳定在2道题，一题选择题一题填空题。

由此可以看出，试题经过这几年发展逐步稳定，并成为高考卷中的主流应用题。

二、对概率统计的备考建议
1．重视教材的基础作用
教材是学习数学基础知识，形成基本技能的“蓝本”，是高考试题的重要知识载体.纵观高考试卷中的概率统计试题，大多数试题源于教材，特别是客观题都是从课本上的练习题或习题改编的，既使是解答题，也是由教材例、习题的组合、加工和拓展而成，充分表现出教材的基础作用.复习阶段必须按《教学大纲》和《考试说明》对本部分内容的要求，以课本的例、习题为素材，深入浅出、举一反三地加以类比、延伸和拓展，在“变式”上下功夫，力求对教材内容融会贯通，只有这样，才能“以不变应万变”，达到事半功倍的效果。

当然，如果再做一些经典的高考试题，对考生的复习也是很有效的。

对于这部分知识，考生还应当重视其与传统内容的有机结合，重视概率统计的应用功能。

它的实际应用性是考生备考时应当着力思考的。

2．重视数学思想方法的渗透
数学思想方法作为数学的精髓，历来是高考数学考查的重中之重.它蕴涵在数学知识发生、发展和应用的全过程.在概率统计的内容中蕴涵着丰富的数学思想方法，如分类讨论、逆向思维等.概率统计为人们处理现实数据信息，分析、把握随机事件，提供了强有力的工具（计算随机事件发生的概率、求随机变量的数学期望与方差）.也更加丰富、完善了中学数学思想方法，进一步拓宽了知识的应用空间。

因此，合理选择解题方法是快速解答概率习题的有效手段。

3.兼顾现有知识与新课改知识的联系
三、知识解析和命题趋势探讨
1.随机事件的概率试题主要考查基本概念和基本公式，集中在等可能性事件的概率、互斥事件的概率、对立事件的概率、相互独立事件的概率、独立重复试验等五个基本概率类型进行了考查。

文科估计仍然以解答题形式出现，理科多以选择题、填空题的形式考查。

值得注意的是福建省07年高考试题设计背景为方阵问题，估计福建省08年试题会在稳定中探求背景的创新性和前瞻性。

2.离散型随机变量分布列和数学期望、方差是数学高考的一大热点。

07年高考全国19套理科试卷中几乎都有变量分布列和数学期望相关问题。

这类问题往往思维简单，但计算量大，得分率较低。

另外还有4个省份试卷涉及正态分布及其应用问题，但关于正态分布的考查层次还较低，难度不大。

08年高考福建省估计仍然以离散型随机变量分布列和数学期望形式出现。

3.统计试题主要考查抽样方法，频率分布表和频率分布直方图。

抽样方法主要考查分层抽样，较为简单。

频率分布直方图是07年高考的另一个热点，相关试题有8道之多，应引起重视。

08年高考福建省在次部分出试题的可能性较低。

四、典例探究
（一）五大概率基本模型
例1（07年全国II文19）
从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A：“取出的2件
P A ．
产品中至多有1件是二等品”的概率()0.96
（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p；
（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件B：“取出的2件产品中至少有P B．
一件二等品”的概率()
解．（1）记0A 表示事件“取出的2件产品中无二等品”， 1A 表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”
．
则01A A ，互斥，且01A A A =+，故 01()()P A P A A =+
012
1
22
()()
(1)C (1)1P A P A p p p p =+=-+-=-
于是20.961p =-． 解得120.20.2p p ==-，（舍去）． （2）记0B 表示事件“取出的2件产品中无二等品”， 则0B B =．
若该批产品共100件，由（1）知其中二等品有1000.220⨯=件，故
2
8002100C 316
()C 495
P B ==
． 00316179
()()1()1495495
P B P B P B ==-=-
= 评：围绕五大概率基本模型来命题是近年高考的热点。

近年高考对于概率题的考查更加强调与实际生活的结合，这对考生的学以致用的能力提出了更高的要求。

（二）概率与其它知识的综合问题 例2（07年四川理12）已知一组抛物线12
12
++=
bx ax y ，其中a 为2,4,6,8中任取的一个数，b 为1,3,5,7中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线x =1交点处的切线相互平行的概率是（ ）
（A ）
12
1 （B ）
60
7 （C ）
25
6 （D ）
25
5 解：B
评：随着课改的进一步实施，概率问题出现了综合化的新趋势。

求解概率综合问题应特别注意将所求问题转化为纯概率问题求解。

（三）随机变量分布列和数学期望、方差
例3（07年重庆理18）某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金，对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获9000元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次），设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为19，110，1
11
，且各车是否发生事故相互独立，求一年内该单位在此保险中：
（Ⅰ）获赔的概率；
（Ⅱ）获赔金额ξ的分布列与期望．
解：设k A 表示第k 辆车在一年内发生此种事故，123k =，
，．由题意知1A ，2A ，3A 独立，且11()9P A =
，21()10P A =，31
()11
P A =． （Ⅰ）该单位一年内获赔的概率为
123123891031()1()()()19101111
P A A A P A P A P A -=-=-⨯⨯=．
（Ⅱ）ξ的所有可能值为0，9000，18000，27000．
12312389108
(0)()()()()9101111
P P A A A P A P A P A ξ====⨯⨯=，
123123123(9000)()()()P P A A A P A A A P A A A ξ==++ 123123123()()()()()()()()()P A P A P A P A P A P A P A P A P A =++
19108110891910119101191011=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 2421199045
==， 123123123(18000)()()()P P A A A P A A A P A A A ξ==++
123123123()()()()()()()()()P A P A P A P A P A P A P A P A P A =++
1110191811910119101191011=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 273990110
==， 123123(27000)()()()()P P A A A P A P A P A ξ===1111
91011990
=⨯⨯=
． 综上知，ξ的分布列为
解法一：由ξ的分布列得
811310900018000270001145110990
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯ 29900
2718.1811
=
≈（元）．
解法二：设k ξ表示第k 辆车一年内的获赔金额，123k =，
，， 则1ξ有分布列
故11
900010009
E ξ=⨯
=． 同理得21900090010E ξ=⨯=，31
9000818.1811
E ξ=⨯≈． 综上有1231000900818.182718.18E E E E ξξξξ=++≈++=（元）
评：求解离散型随机变量分布列必须解决好两个问题，一是求出ξ的所有取值，二是求出
ξ取每一个值时的概率。

大致可分为三个步骤进行：⑴明确随机变量的所有可能取值，以及取
每一个值时所表示的意义；⑵利用概率知识，求出随机变量每个取值的概率；⑶按规范形式写出分布列，并用分布列的性质验证。

（四）抽样方法、总体分布和三大特殊分布 例4（07年天津文11）
从一堆苹果中任取了20只，并得到它们的质量（单位：克）数据分布表如下：
则这堆苹果中，质量不小于．．．120克的苹果数约占苹果总数的 ％．
例5（07年全国II 理14）在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布2
(1)(0)N σσ>，．
若ξ在(01)，内取值的概率为0.4，则ξ在(02)，
内取值的概率为 ． 解：例4 70 例5 0.8
评：本部分主要考查应用概率统计知识解决实际问题的能力，其难度大致与教材持平，已经形成新热点。

备考时应引起重视。

五、高考真题训练
1. （07年重庆理7）从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相同的概率为（ ）
（A ）
4
1 （B ）
120
79 （C ）
4
3 （D ）
24
23 2. （07年辽宁理9）一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率是（ ）
（A ）
122
（B ）
111
（C ）
322
（D ）
211
3. （07年江西理10）将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次．．成等差数列的概率为（ ）
（A ）
1
9
（B ）
112
（C ）
115
（D ）
118
4. （07年陕西文6）某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测。

若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是（ ）
（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7 5. （07年湖南理5）设随机变量ξ服从标准正态分布(01)N ，，已知( 1.96)0.025Φ-=，则(|| 1.96)P ξ<＝（ ）
（A ）0.025
（B ）0.050
（C ）0.950
（D ）0.975
6.（07年全国II 文13）一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为 ．
7.（ 07年全国I 文13）从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：g ）：
根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g ～501.5g 之间的概率约为_____．
8.（07年江西文19）栽培甲、乙两种果树，先要培育成苗．．，然后再进行移栽．已知甲、乙两种果树成苗．．的概率分别为0.6，0.5，移栽后成活．．
的概率分别为0.7，0.9． （1）求甲、乙两种果树至少有一种果树成苗．．
的概率； （2）求恰好有一种果树能培育成苗．．且移栽成活．．的概率．
9.（07年辽宁文17）
某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支，该公司对这些灯管的使用寿命（单位：小时）进行了统计，统计结果如下表所示：
（I ）将各组的频率填入表中；
（II ）根据上述统计结果，计算灯管使用寿命不足1500小时的频率；
（III ）该公司某办公室新安装了这种型号的灯管3支，若将上述频率作为概率，试求至少有2支灯管的使用寿命不足1500小时的概率．
10.（07年安徽理20）在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到．．两只苍蝇都飞出，再关闭小孔.以ξ表示笼内还剩下的果蝇．．．．．
的只数. （Ⅰ）写出ξ的分布列（不要求写出计算过程）； （Ⅱ）求数学期望E ξ； （Ⅲ）求概率P （ξ≥E ξ）. 参考答案
1. C
2. D
3. Ｂ
4. C
5. C
6.
1
20
7. 0.25 8. 解：分别记甲、乙两种果树成苗为事件1A ，2A ；分别记甲、乙两种果树苗移栽成活为事件1B ，2B ，1()0.6P A =，2()0.5P A =，1()0.7P B =，2()0.9P B =．
（1）甲、乙两种果树至少有一种成苗的概率为
1212()1()10.40.50.8P A A P A A +=-=-⨯=；
（2）解法一：分别记两种果树培育成苗且移栽成活为事件A B ，， 则11()()0.42P A P A B ==，22()()0.45P B P A B ==． 恰好有一种果树培育成苗且移栽成活的概率为
()0.420.550.580.450.492P AB AB +=⨯+⨯=．
解法二：恰好有一种果树栽培成活的概率为
11211221221212()0.492P A B A A B A B A A B A A B B +++=
9.（I ）解：
（II ）解：由（I ）可得，所以灯管使用寿命不足1500小时的频率为0.6．
（III ）解：由（II ）知，1支灯管使用寿命不足1500小时的概率0.6P =
，根据在n 次独立重复试验中事件恰好发生k 次的概率公式可得
223
333
(2)(3)C 0.60.40.60.648P P +=+=． 所以至少有2支灯管的使用寿命不足1500小时的概率是0.648． 10．解：（Ⅰ）ξ的分布列为：
（Ⅱ）数学期望为2
(162534)228
E ξ=⨯+⨯+⨯=． （Ⅲ）所求的概率为5432115
()(2)2828
P E P ξξξ++++===≥≥。