高中数学 2.2.1 对数函数教案 新人教A版必修1

2.2.1对数与对数运算（一）
教学目标
（一） 教学知识点
1． 对数的概念；2．对数式与指数式的互化． （二） 能力训练要求
1．理解对数的概念；２．能够进行对数式与指数式的互化；３．培养学生数学应用意识． （三）德育渗透目标
1．认识事物之间的普遍联系与相互转化；２．用联系的观点看问题； ３．了解对数在生产、生活实际中的应用． 教学重点 对数的定义． 教学难点
对数概念的理解． 教学过程
一、复习引入：
假设2002年我国国民生产总值为a 亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍？
()x %81+=2⇒x =?
也是已知底数和幂的值，求指数．你能看得出来吗？怎样求呢？ 二、新授内容：
定义：一般地，如果 ()1,0≠>a a a 的b 次幂等于N ,就是N a b
=，那么数 b 叫做以a
为底 N 的对数，记作 b N a =log ，a 叫做对数的底数，N 叫做真数．
b N N a a b =⇔=log
例如：1642= ⇔ 216log 4=； 100102
=⇔2100log 10=；
242
1= ⇔2
12log 4=
； 01.0102
=-⇔201.0log 10-=． 探究：1。

是不是所有的实数都有对数？b N a =log 中的N 可以取哪些值？
⑴ 负数与零没有对数（∵在指数式中 N ＞ 0 ）
2．根据对数的定义以及对数与指数的关系，=1log a ？ =a a log ？ ⑵ 01log =a ，1log =a a ；
∵对任意 0>a 且 1≠a , 都有 10
=a ∴01log =a 同样易知： 1log =a a ⑶对数恒等式
如果把 N a b
= 中的 b 写成 N a log , 则有 N a
N
a =log ．
⑷常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数．为了简便,N 的常用对数
N 10log 简记作lgN ．
例如：5log 10简记作lg5； 5.3log 10简记作lg3.5.
⑸自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数，为了简便，N 的自然对数N e log 简记作lnN ． 例如：3log e 简记作ln3； 10log e 简记作ln10．
（6）底数的取值范围),1()1,0(+∞Y ；真数的取值范围),0(+∞． 三、讲解范例：
例1．将下列指数式写成对数式：
（1）62554
= （2）6412
6
=
- （3）273=a
(4) 73.53
1=m ）（ 解：（1）5log 625=4； （2）2log 641
=-6； （3）3log 27=a ； （4）m =73.5log 3
1． 例2． 将下列对数式写成指数式：
（1）416log 2
1-=； （2）7128log 2=； （3）201.0lg -=； （4）303.210ln =．
解：（1）16)
2
1
(4
=- （2）72=128； （3）210-=0.01； （4）303.2e =10．
例3．求下列各式中的x 的值： （1）3
2log 64-
=x ； （2）68log =x （3）x =100lg （4）x e =-2
ln 例4．计算： ⑴27log 9，⑵81log 43，⑶()()
32log 32-+，⑷625log 345
．
解法一：⑴设 =x 27log 9 则 ,279=x 3
233=x , ∴2
3=
x ⑵设 =x 81log 43 则
()
8134
=x
, 44
33=x , ∴16=x
⑶令 =x ()()32log 32-+=()()
1
323
2log -++, ∴()()
1
323
2-+=+x
, ∴
1-=x
⑷令 =x 625log 34
5, ∴
()62553
4=x
, 43
455
=x , ∴3=x
解法二：
⑴2
3
9log 3log 27log 2
393
99=
==； ⑵16)3(log 81log 164334
4
== ⑶()()32log 32-+=()()
13
2log 1
32-=+-+;⑷3)5(log 625log 3345
5
343
4
==
四、练习：(书P64`)
1.把下列指数式写成对数式
(1) 32＝８； （２）52＝32 ； （３）1
2-＝2
1
； （４）312731
=-．
解：(1)2log ８＝３ (2) 2log 32＝５ (3) 2log 21＝－１ (4) 27log 31＝－3
1
2.把下列对数式写成指数式
(1) 3log ９＝２ ⑵5log １２５＝３ ⑶2
log 41＝－２ ⑷3log 81
1＝－４ 解：(1)23＝９ (2)35＝１２５ (3)2
2-＝41 (4) 4
3-＝81
1 3.求下列各式的值
(1) 5log 25 ⑵2
log 16
1
⑶lg 100 ⑷lg 0.01 ⑸lg 10000 ⑹lg 0.0001 解：(1) 5log 25＝5log 2
5＝２ (2) 2
log 16
1
＝－４ (3) lg 100＝２ (4) lg 0.01＝－２ (5) lg 10000＝４ (6) lg 0.0001＝－４ 4.求下列各式的值
(1) 15log 15 ⑵4.0log 1 ⑶9log 81 ⑷5..2log 6.25 ⑸7log 343 ⑹
3log 243
解：(1) 15log 15＝１ (2) 4.0log 1＝０ (3) 9log 81＝２ (4) 5..2log 6.25＝２ (5) 7log 343＝３ (6) 3log 243＝５ 五、课堂小结
⑴对数的定义； ⑵指数式与对数式互换； ⑶求对数式的值．
2.2.1对数与对数运算（二）
教学目标
（三） 教学知识点
对数的运算性质． （四） 能力训练要求
1．进一步熟悉对数定义与幂的运算性质； 2. 理解对数运算性质的推倒过程； 3．熟悉对数运算性质的内容； 4．熟练运用对数的运算性质进行化简求值； 5．明确对数运算性质与幂的运算性质的区别． （三）德育渗透目标
1．认识事物之间的普遍联系与相互转化； 2．用联系的观点看问题． 教学重点
证明对数的运算性质． 教学难点
对数运算性质的证明方法与对数定义的联系． 教学过程
一、复习引入：
1．对数的定义 b N a =log 其中 ),1()1,0(+∞∈Y a 与 ),0(+∞∈N 2．指数式与对数式的互化
)10( log ≠>=⇔=a a b N N a a b 且
3.重要公式：
⑴负数与零没有对数； ⑵01log =a ，1log =a a ⑶对数恒等式N a
N
a =log
4．指数运算法则 )
()(),()()
,(R n b a ab R n m a
a R n m a a a n n n mn
n
m n m n m ∈⋅=∈=∈=⋅+
二、新授内容：
1．积、商、幂的对数运算法则：
如果 a ＞ 0，a ≠ 1，M ＞ 0， N ＞ 0 有：
)
()()
(3R)M(n nlog M log 2N log M log N
M log 1N log M log (MN)log a n a a a a a a a ∈=-=+=
证明：①设a log M =p , a log N =q ． 由对数的定义可以得：M =p a ，N =q
a ． ∴MN = p
a q
a =q
p a
+ ∴a log MN =p +q ， 即证得a log MN =a log M + a log N ．
②设a log M =p ，a log N =q ． 由对数的定义可以得M =p
a ，N =q
a ．
∴q p q p a a a N M -== ∴q p N M a -=log 即证得N M N
M a a a log log log -=． ③设a log M =P 由对数定义可以得M =p
a ,
∴n M ＝np
a ∴a log n M =np ， 即证得a log n M =n a log M ．
说明：上述证明是运用转化的思想，先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂的运算性质进行恒等变形；然后再根据对数定义将指数式化成对数式． ①简易语言表达：“积的对数 = 对数的和”……
②有时逆向运用公式：如110log 2log 5log 101010==+． ③真数的取值范围必须是),0(+∞：
)5(log )3(log )5)(3(log 222-+-=-- 是不成立的．
)10(log 2)10(log 102
10-=-是不成立的．
④对公式容易错误记忆，要特别注意：
N M MN a a a log log )(log ⋅≠，N M N M a a a log log )(log ±≠±．
2．讲授范例：
例1． 用x a log ，y a log ，z a log 表示下列各式：
32log )2(;
(1)log z
y
x z
xy
a a ．
解：（1）z
xy
a
log =a log （xy ）-a log z=a log x+a log y- a log z （2）3
2log z
y
x a
=a log （2
x
3log )z y a -
= a log 2
x +a log 3log z y a -=2a log x+z y a a log 3
1
log 21-．
例2． 计算
（1）25log 5， （2）1log 4.0， （3）)24(log 5
72⨯， （4）5100lg
解：（1）5log 25= 5log 2
5=2 （2）4.0log 1=0． （3）2log （7
4×25）= 2log 7
4+ 2log 5
2= 2log 7
22⨯+ 2log 5
2 = 2×7+5=19．
（4）lg 5100=5
2
lg1052log10512==． 例3．计算：
(1);50lg 2lg )5(lg 2
⋅+ (2) ;25log 20lg 100+
(3) .18lg 7lg 3
7
lg
214lg -+- 说明：此例题可讲练结合.
解：(1) 50lg 2lg )5(lg 2
⋅+＝)15(lg 2lg )5(lg 2
+⋅+＝2lg 5lg 2lg )5(lg 2
+⋅+
＝2lg )2lg 5(lg 5lg ++＝2lg 5lg +＝1；
(2) 25log 20lg 100+＝5lg 20lg +＝100lg ＝2； (3)解法一：lg14-2lg
3
7+lg7-lg18=lg(2×7)-2(lg7-lg3)+lg7-lg(2
3×2) =lg2+lg7-2lg7+2lg3+lg7-2lg3-lg2=0．
解法二：
lg14-2lg
37+lg7-lg18=lg14-lg 2
)37(+lg7-lg18=lg 01lg 18
)3
7(7142
==⨯⨯
评述：此例题体现对数运算性质的综合运用，应注意掌握变形技巧，如(3)题各部分变形要
化到最简形式，同时注意分子、分母的联系.(2)题要避免错用对数运算性质. 例4．已知3010.02lg =，4771.03lg =， 求45lg
例5．课本P66面例5.
20世纪30年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级M ，其计算公式为
M ＝lg A －lg A 0.其中，A 是被测地震的最大振幅，A 0是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差).
(1)假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级(精确到0.1)；
(2)5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍(精确到1).
3．课堂练习：
教材第68页练习题1、2、3题． 4．课堂小结
对数的运算法则，公式的逆向使用．
=n a a log n
2.2.1对数与对数运算（三）
教学目标
（五） 教学知识点
1． 了解对数的换底公式及其推导；2．能应用对数换底公式进行化简、求值、证明； 3．运用对数的知识解决实际问题。

（六） 能力训练要求 会用b n
m
b a m
a n log log =
，a N N a log 1log =
等变形公式进行化简． （三）德育渗透目标
培养学生分析问题解决问题的能力． 教学重点
对数换底公式的应用． 教学难点
对数换底公式的证明及应用．对数知识的运用。

教学过程
二、 复习引入： 对数的运算法则
如果 a ＞0，a ≠ 1，M ＞0， N ＞0 有：
)
()()
(3R)M(n nlog M log 2N log M log N
M log 1N log M log (MN)log a n a a a a a a a ∈=-=+=
二、新授内容：
1.对数换底公式： a
N
N m m a log log log =
( a ＞0 ,a ≠ 1 ，m ＞0 ,m ≠ 1,N ＞0)．
证明：设 a log N = x , 则 x
a = N ．
两边取以m 为底的对数：N a x N a m m m x
m log log log log =⇒=
从而得：a N x m m log log =
∴ a
N
N m m a log log log =．
2.两个常用的推论:
①1log log =⋅a b b a ， 1log log log =⋅⋅a c b c b a ． ② b m
n
b a n
a m log log =
（a ,b ＞0且均不为1）． 证：①1lg lg lg lg log log =⋅=
⋅b
a
a b a b b a ；
②b m
n
a m
b n a b b a m n n
a m log lg lg lg lg log ===．
三、讲解范例：
例1 ，已知a =9log 18，518=b .45log 36求 练
1. 已知 a =3log 2， b =7log 3, 用 a , b 表示56log 42． 解：因为2log 3 = a ，则
2log 1
3=a
, 又∵3log 7 = b , ∴1
3
12log 7log 2log 37log 42log 56log 56 log 33333342+++=++⋅+==
b ab ab .
2. 求值.25log 20lg 100+
例2．设16log log 8log 4log 4843=⋅⋅m ，求m 的值． 解：∵m m 3843log log 8log 4log =⋅⋅， 216log 4= ∴2log 3=m ，即m ＝9． 例3．计算：①3
log 12.05
-, ②
4log 16
log 327．
解：①原式 =
153
15
5
5
553
1log 3
log 5
2.0==
=． ②∵2log 342log 16log 34
3273==，
2log 22log 4log 3233==， ∴原式＝3
2
． 例4．P67例6
生物机体内碳14的“半衰期”为5730年，湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占76.7%，
试推算马王堆古墓的年代.
例5．已知a log x =log c
a b +，求x ．
分析：由于x 作为真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，b 的存在使变形产生困难，故可考虑将a log c 移到等式左端，或者将b 变为对数形式．
解法一： 由对数定义可知：b c a a x
+=log b c a a a
⋅=log b a c ⋅=．
解法二： 由已知移项可得b c x a a =-log log ，即b c
x
a =log ．
由对数定义知：
b a c
x
= b a c x ⋅=∴． 解法三：b a a b log =Θ b a a a a c x log log log +=∴b a a c ⋅=log b
a c x ⋅=∴．
.
练习：教材P68第4题
三、课堂小结
换底公式及其推论。