2020-2021学年数学高中必修4人教A版：第一章三角函数(B)阶段质量评估

阶段质量评估(二) 三角函数(B)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π
4个单位得到y ＝f (x )的图象，则( )
A ．f (x )＝cos 2x
B ．f (x )＝sin 2x
C ．f (x )＝－cos 2x
D ．f (x )＝－sin 2x
解析： 依题意得f (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos 2x .故选A. 答案： A
2．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝32，且|φ|＜π
2，则tan φ＝( ) A ．－
32
B ．
33
C ．－ 3
D ． 3
解析： 由cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝32，得sin φ＝－32，又|φ|＜π2，∴cos φ＝1
2，∴tan φ＝－ 3. 答案： C
3．函数y ＝1－sin x ，x ∈[0,2π]的大致图象是( )
解析： 取x ＝0，则y ＝1，排除C 、D ；取x ＝π
2，则y ＝0，排除A ，选B.
答案： B
4．在平面直角坐标系中，已知角α的终边经过点P (a ，a －3)，且cos α＝55
，则a 等于( ) A ．1 B ．92
C ．1或92
D ．1或－3
解析： 由题意得
a a 2＋(a －3)2＝5
5
，
两边平方化为a 2＋2a －3＝0，
解得a ＝－3或1，而a ＝－3时，点P (－3，－6)在第三象限，cos α＜0，与题不符，舍去，选A.
答案： A
5．已知函数y ＝tan(2x ＋φ)的图象过点⎝⎛⎭⎫π
12，0，则φ可以是( ) A ．－π
12
B ．－π6
C.π12
D ．π6
解析： 根据题意可得2×π
12＋φ＝k π，k ∈Z ，
所以φ＝－π
6＋k π，k ∈Z ，
取k ＝0，则φ＝－π
6.
答案： B
6．设α是第二象限角，且⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，则α
2是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角
D ．第四象限角
解析： 由题意知2k π＋π2＜α＜2k π＋π(k ∈Z )，则k π＋π4＜α2＜k π＋π
2(k ∈Z )，当k ＝2n (n ∈
Z )时，α2是第一象限角；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，是第三象限角．而⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2⇒cos α
2≤0，∴α
2
是第三象限角，故选C. 答案： C
7．如果函数f (x )＝sin(πx ＋θ)(0＜θ＜2π)的最小正周期为T ，且当x ＝2时，取得最大值，那么( )
A ．T ＝2，θ＝π
2
B ．T ＝1，θ＝π
C ．T ＝2，θ＝π
D ．T ＝1，θ＝π
2
解析： ∵T ＝2π
π＝2，f (x )＝sin(πx ＋θ)，
∴f (2)＝sin(2π＋θ)＝sin θ＝1，
又0＜θ＜2π，则θ＝π
2.故选A.
答案： A
8．下列函数中，最小正周期为π且在⎣⎡⎦⎤0，π
2上是减函数的是( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π
4 B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π
4 C ．y ＝sin 2x
D ．y ＝cos 2x
解析： y ＝cos 2x 的周期T ＝2π
2＝π，因为y ＝cos 2x 的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π，π2＋k π，k ∈Z ，所以其在⎣⎡⎦
⎤0，π
2上为减函数，故选D. 答案： D
9．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象向左平移π
8个单位后得到一个偶函数的图象，则φ的一个
可能取值为( )
A.3π4 B ．π4
C ．0
D ．－π4
解析： 将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象向左平移π8个单位，可以得到y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝⎛⎭
⎫2x ＋π
4＋φ的图象． 此函数为偶函数知φ＋π4＝k π＋π
2(k ∈Z )，
即φ＝k π＋π4(k ∈Z )．当k ＝0时，φ＝π
4，故选B.
答案： B
10．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝3
2，则sin ⎝⎛⎭⎫3π4－α的值为( ) A.1
2 B ．－12
C.32
D ．－
32
解析： ∵⎝⎛⎭⎫π4＋α＋⎝⎛⎭⎫3π
4－α＝π， ∴
3π
4
－α＝π－⎝⎛⎭⎫π4＋α， ∴sin ⎝⎛⎭⎫3π4－α＝sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝3
2
.
答案： C
11．当x ＝π
4时，函数f (x )＝A sin(x ＋φ)(A ＞0)取得最小值，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫3π4－x 是( ) A ．奇函数且图象关于点⎝⎛⎭⎫π2，0对称 B ．偶函数且图象关于点(π，0)对称 C ．奇函数且图象关于直线x ＝π
2对称
D ．偶函数且图象关于点⎝⎛⎭⎫
π2，0对称
解析： 当x ＝π4时，函数f (x )＝A sin(x ＋φ)(A ＞0)取得最小值，即π4＋φ＝－π
2＋2k π(k ∈Z )，
即φ＝－3π4＋2k π(k ∈Z )，所以f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫x －3π4(A ＞0)，所以y ＝f ⎝⎛⎭⎫3π4－x ＝A sin ⎝⎛⎭⎫3π4－x －3π4＝－A sin x ，所以函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫3π4－x 为奇函数且图象关于直线x ＝π
2
对称，故选C. 答案： C
12．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π
3的图象为C . ①图象C 关于直线x ＝11
12π对称；
②函数f (x )在区间⎝⎛⎭
⎫－π12，5π
12内是增函数； ③由y ＝3sin 2x 的图象向右平移π
3个单位长度可以得到图象C .
以上三个论断中，正确论断的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2
D ．3
解析： ①f ⎝⎛⎭⎫11π12＝3sin ⎝⎛⎭⎫116π－π3＝3sin 32π＝－3， ∴直线x ＝11
12π为图象C 的对称轴，①正确；
②令2x －π
3∈⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )， 解得x ∈⎣
⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π
12(k ∈Z )． 令k ＝0，得⎝⎛⎭⎫－π12，5π
12为函数f (x )的一个增区间， ∴②正确；
③将y ＝3sin 2x 的图象向右平移π3
个单位长度，则有y ＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3，∴
③错误．
答案： C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．设x ∈(0，π)，则f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最大值是________． 解析： ∵f (x )＝cos 2x ＋sin x ＝－sin 2x ＋sin x ＋1 ＝－⎝⎛⎭⎫sin x －122＋54， 又x ∈(0，π)，∴0＜sin x ≤1， ∴当sin x ＝1
2时，
f (x )的最大值是5
4.
答案： 5
4
14．国际油价在某一时间内呈现正弦波动规律：P ＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωπt ＋π
4＋60(美元)(t (天)，A >0，ω>0)，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t ＝150(天)时达到最低油价，则ω的最小值为__________．
解析： 因为A sin ⎝⎛⎭⎫ωπt ＋π
4＋60＝80， sin ⎝
⎛⎭⎫ωπt ＋π
4≤1， 所以A ＝20，当t ＝150(天)时达到最低油价， 即sin ⎝⎛⎭⎫150ωπ＋π
4＝－1， 此时150ωπ＋π4＝2k π－π
2，k ∈Z ，
因为ω>0，所以当k ＝1时，ω取最小值， 所以150ωπ＋π4＝32π，解得ω＝1
120.
答案：
1120
15．设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)，A ＞0，ω＞0，若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝f ⎝⎛⎭⎫
π6，则f (x )的最小正周期为________．
解析： 由f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫π6知，f (x )有对称中心⎝⎛⎭
⎫π
3，0，由
f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭
⎫2π3知，f (x )有对称轴x ＝12⎝⎛⎭⎫π2＋2π3＝7π12，记T 为最小正周期，则T 2≥π2－π6⇒T ≥2π
3，从而7π12－π3＝π
4
，故T ＝π. 答案： π
16．某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5 cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t ＝0时，点A 与钟面上标12的点B 重合，若将A ，B 两点的距离d (cm)表示成时间t (s)的函数，则d ＝________，其中t ∈[0,60]．
解析： 秒针1 s 转π30弧度，t s 后秒针转了π30t 弧度，如图所示sin πt 60＝d
2
5，所以d ＝10 sin
πt
60
. 答案： 10sin
πt 60
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知角α的终边经过单位圆上的点P ⎝⎛⎭⎫45，－35. (1)求sin α的值； (2)求
cos (2π－α)sin (π＋α)·tan (π＋α)
cos (3π－α)
的值．
解析： (1)∵点P 在单位圆上， ∴由正弦的定义得sin α＝－3
5
.
(2)原式＝cos α－sin α·tan α－cos α＝sin αsin α·cos α＝1
cos α，
由余弦的定义得cos α＝45，故所求式子的值为5
4.
18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫
π2x ＋π3. (1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )的定义域和单调区间； 解析： (1)对于函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π3，
它的最小正周期等于T ＝π
π2
＝2.
(2)令π2x ＋π3≠k π＋π2，得x ≠2k ＋13，k ∈Z ，故函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫
x | x ≠2k ＋13，k ∈Z ；
令k π－π2＜π2x ＋π3＜k π＋π2，得2k －53＜x ＜2k ＋13.
所以函数f (x )的单调增区间为⎝
⎛⎭⎫2k －53，2k ＋1
3，k ∈Z . 19．(本小题满分12分)设函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6，ω＞0且以π
2为最小正周期． (1)求f (0)； (2)求f (x )的解析式；
(3)已知f ⎝⎛⎭⎫π12＋α4＝9
5，求sin α的值． 解析： (1)f (0)＝3sin π6＝32
.
(2)因为f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6且π
2为最小正周期， 所以2πω＝π
2，ω＝4，
f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6. (3)f (x )＝3sin ⎝
⎛⎭⎫4x ＋π6， ∴f ⎝⎛⎭⎫π12＋α4＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋π
6＝3cos α， 即3cos α＝95，
∴cos α＝3
5，
∴sin α＝±4
5
.
20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝sin(x ＋φ)，其中0＜φ＜π，x ∈R ，其图象经过点M ⎝⎛⎭⎫π3，12.
(1)求f (x )的解析式；
(2)作出函数y ＝1－2f (x )在[0,2π]内的简图，并指出函数y ＝1－2f (x )在[0,2π]内的单调递减区间．
解析： (1)∵函数f (x )的图象经过点M ⎝⎛⎭⎫
π3，12，
∴sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝12， ∵0＜φ＜π，∴φ＝π
2，
∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π
2＝cos x . (2)按五个关键点列表：
x 0 π
2 π 3π2 2π 1－2cos x
－1
1
3
1
－1
描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示，
由图象可知函数y ＝1－2f (x )在[0,2π]内的单调递减区间为[π，2π]．
21．(本小题满分12分)函数f 1(x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π
2的一段图象过点(0,1)，如图所示．
(1)求函数f 1(x )的解析式；
(2)将函数y ＝f 1(x )的图象向右平移π
4个单位，得到函数y ＝f 2(x )的图象，求y ＝f 2(x )的最大值，
并求出此时自变量x 的取值．
解析： (1)由题图知，T ＝11
12π－⎝⎛⎭
⎫－π12＝π， 于是ω＝2π
T
＝2.
将y ＝A sin 2x 的图象向左平移π
12个单位，
得y ＝A sin(2x ＋φ)的图象，于是φ＝2×π12＝π
6.
将(0,1)代入y ＝A sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
6，得A ＝2. 故f 1(x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π6.
(2)依题意知，f 2(x )＝2sin ⎣⎡⎦
⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π6
＝－2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
6， 当2x ＋π
6＝2k π＋π(k ∈Z )，
即x ＝k π＋5π
12(k ∈Z )时，y max ＝2.
此时x 的取值为⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
x | x ＝k π＋5π12，k ∈Z .
22．(本小题满分12分)“海之旅”表演队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y (米)随着时刻t (0≤t ≤24)而周期性变化．为了了解变化规律，该队观察若干天后，得到每天各时刻t 的浪高数据的平均值如下表：
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y
1.0
1.4
1.0
0.6
1.0
1.4
0.9
0.6
1.0
(1)从y ＝ax ＋b ，y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π
2中选择一个合适的函数模型，并求出函数解析式；
(2)如果确定当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排白天内恰当的训练时间段． 解析： (1)作出y 关于t 的变化图象如下图所示，由图，可知选择y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 函数模型较为合适．
由图可知A ＝1.4－0.62＝25，T ＝12，b ＝1.4＋0.6
2＝1，
则ω＝2π12＝π
6，
y ＝2
5sin ⎝⎛⎭⎫π6t ＋φ＋1. 由t ＝0时，y ＝1， 得π
6×0＋φ＝2k π，k ∈Z ， 所以φ＝2k π，k ∈Z ， 又|φ|＜π
2
，所以φ＝0，
所以y ＝25sin π
6t ＋1(0≤t ≤24)．
(2)由y ＝25sin π6t ＋1≥4
5
(0≤t ≤24)，
得sin π6t ≥－12，则－π6＋2k π≤π6t ≤7π
6＋2k π，k ∈Z ，
得－1＋12k ≤t ≤7＋12k ，k ∈Z . 从而0≤t ≤7或11≤t ≤19或23≤t ≤24. 所以在白天11时～19时进行训练较为恰当．
莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚
的事。

每一日所付出的代价都比前一日高，因为你的生命又消短了一天，所以每一日都要更用心。

这天太宝贵，不就应为酸苦的忧虑和辛涩的悔恨所销蚀，抬起下巴，抓住这天，它不再回来。

加油！！。