导数公式导数运算法则

例5
求 y = (2x2 + 3)(3x - 2) 的导数？
解：由导数的基本公式得：
y' (4x)(3x 2) (2x2 3) 3 12x2 8x 6x2 9 18x3 8x 9
第二十五页，课件共46页。
3.商的导数
法则3 两个函数的商的导数,等于分子的 导数与分母的积,减去分母的导数与分子 的积,再除以分母的平方,即
帮助我们解决两个函数加﹑减﹑乘﹑除的
求导问题.
第十七页，课件共46页。
根据导数的定义，可以推出可导函 数四则运算的求导法则
若u=u(x)，v=v(x)在x处可导，则
1.和(或差)的导数
法则1 两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函 数的导数的和(或差),即
(u v) u v
第十八页，课件共46页。
知识要点
f (x0 ) f (x) xx0
第二页，课件共46页。
1) y f (x) c, 2) y f (x) x, 3) y f (x) x2, 4) y f (x) 1 ,
x
y' 0；
y ' 1；
y ' 2x；
y' 1 . x2
第三页，课件共46页。
新课导入
由上节课的内容可知函数y=x2的导 数为y’=2x，那么，于一般的二次函数 y=ax2+bx+c，它的导数又是什么呢?这 就需要用到函数的四则运算的求导法 则.
例7
求
y
=
x+3 x2 + 3
在点x
=
3处的导数.
解：y' 1 (x2 3) (x 3) 2x (x2 3)2
x2 6x 3 (x2 3)2
y'
|x3
9 18 (9 3)2
3
24 144
1 6
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导数的运算法则
1. [f(x) ±g(x)] ′=f′(x) ±g(x) ′;
(5) y' 1 sin x ; 33
(6) y' 1 . 2 x 1
第四十六页，课件共46页。
y x′=
yu′ ux′=
lnu ′ 3x
+
2′=
1 u
3
=
3 3x +
2
第三十四页，课件共46页。
f (x)
例8
求函数 y = 2x + 32 的导数.
解：函数 y 2x 32可以看作函数 y u3
和 u 2x 3的复合函数.由复合函数求
导法则有
yx' yu' ux'
u2
'
2x 3 '
4u 8x 12.
第三十五页，课件共46页。
课堂小结
1. 由常函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、
乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导 数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类
简单函数的导数 .
第三十六页，课件共46页。
2.导数的运算法则
1. [f(x) ±g(x)] ′=f′(x) ±g(x) ′
高考链接
(2008海南、宁夏文)设 f (x) x ln ，x 若
f '(x0 ) 2，则 x0（ B）
A. e2
C. ln 2
2
B. e
D. ln 2
第三十九页，课件共46页。
(2008全国Ⅱ卷文)设曲线 y ax 2
在点（1, a) 处的切线与直线
平行,则 a (A)
A．1
1 B． 2
1 y e0.05x1 ;
2 y sin x 其中 ,均为常数.
第四十二页，课件共46页。
（1）函数 y = e-0.05x+1 可以看做函 数 y = eu和 u = -0.05x + 1 的复合函 数.由复合函数的求导法则有
yx′= yu′ ux′= eu ′ -0.05x + 1′
（2）会运用导数的运算法则及简单 复合函数的复合过程.
第七页，课件共46页。
过程与方法
（1）通过丰富的实例，了解求函数的
导数的流程图.
（2）理解两个函数的和(或差)的导数法 则，学会用法则求一些函数的导数．
第八页，课件共46页。
情感态度与价值观
经历由实际问题中抽象出导数概念， 使同学们体会到通过导数也能刻画现实 世界中的数量关系的一个有效数学模型.
7.
若 fx loga x,则 f ' x
1 ;
x lna
8.
若 fx ln x,则 f ' x
1 .
x
第十三页，课件共46页。
例1
假设某国家在20年期间的年通货膨胀率
为5﹪，物价p（单位：元）与时间t（单位：
年）有函数关系
p t p0 1， 5其%中t
为t=p00时的物价.假定某商品的
= -0.05eu = -0.05e-0.05x+1 .
第四十三页，课件共46页。
2函数y = sin πx + φ可以看作函数
y = sinu和u = πx + φ的复合函数.由复 合函数求导法则有
y'x yu' u'x sinu' πx φ' π cosu π cosπx φ.
第四页，课件共46页。
又如我们知道函数y=1/x2的导数是
y=-2/x3，那么函数y=1/(3x-2)2的导数又是
什么呢?
学习了这节课， 就可以解决这些
问题了！
第五页，课件共46页。
3.2.2 基本初等函数的导数公 式及导数的运算法则
第六页，课件共46页。
教学目标
知识与能力
（1）掌握基本初等函数的导数公式.
2. [f(x) .g(x)] ′=f′(x) g(x)± f(x) g(x) ′;
3.
f x gx
′
f′ x
g
xf x g x2
g′ x
g
x
0
.
第二十九页，课件共46页。
如何求函数y=㏑（x+2）的函数呢？
我们无法用现有的方法求函数y=㏑ （x+2）的导数.下面，我们先分析这个 函数的结构特点.
第十九页，课件共46页。
例2
求y= x3 + sin x的导数.
解：由导数的基本公式得：
y' 3x2 cos x
第二十页，课件共46页。
例3
求 y = x4 - x2 - x + 3 的导数.
解：由导数的基本公式得：
y' 4x3 2x' 1
第二十一页，课件共46页。
2.积的导数
法则2 两个函数的积的导数,等于第一个函数 的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二 个函数的导数,即
2. [f(x) .g(x)] ′=f′(x) g(x)± f(x) g(x) ′
3.
f g
x x
′=
f′ x
g
x
g
-f x
x
2
g′x
g
x
0
第三十七页，课件共46页。
3.复合函数的复合过程
利用复合函数的求导法则来求 导数时,选择中间变量是复合函数 求导的关键.
第三十八页，课件共46页。
第四十四页，课件共46页。
习题答案
练习（第18页）
1. f ' (x) 2x 7, 所以，f '(2) 3, f '(6) 5.
2.(1) y' 1 ; x ln 2
(2) y' 2ex ;
(3) y' 10x4 6x;
第四十五页，课件共46页。
(4) y' 3sin x 4 cos x;
和u=g(x)的复合函数.记做y=f(g(x)).
第三十二页，课件共46页。
复合函数y=f(g(x))的导数和函数 y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为
y
x′=
y
u′
u
′.
x
即y对x的导数等于y对u的导数与u对x 的导数的乘积.
第三十三页，课件共46页。
问题解答
由此可得，y=㏑(3x+2)对x的导数等 于y= ㏑u对u的导数与u=3x+2对x的导数 的乘积，即
f(x) [g(x)]' |xx0
f
'(x0 )g(x0 ) f (x0 )g(x0 )
g(x0 )2
第二十六页，课件共46页。
例6
y = x2 的导数. sinx
解：y'
(x2 )'
sin x x2 sin2 x
(sin
x)'
2x
sin x x2 sin2 x
cos
x
第二十七页，课件共46页。
????xvxxvxuxxu????????vu????xvxuxy????????xvxuxvxuxyxxxx????????????????????????????0000limlimlimlimxvxu??例例223cosxx??y求求ysinx的导数
导数公式导数运算法则
第一页，课件共46页。
1.和(或差)的导数 (u v) u v
证明：y f (x) u(x) v(x)
u(x x) u(x) v(x x) v(x)
u v
y u v x x x
lim y lim u v lim u lim v x0 x x0 x x x0 x x0 x
u'(x) v'(x)
那p么0 在1
第10个年头，这种商品的价格上涨的速度的
大约是多少（精确到0.01）？
第十四页，课件共46页。
解：根据基本初等函数的导数公式表，有
p' t 1.05ห้องสมุดไป่ตู้ ln1.05.
所以,p' 10 1.0510 ln1.05 0.08 元 / 年.
因此，在第10个年头，这种商品的价格约 以0.08元/年的速度上涨.
2. 若 fx xn n N ,则 f ' x nxn1 ;
3. 若 fx sin x,则 f ' x cos x; 4. 若 fx cos x,则 f ' x sin x; 5. 若 fx ax,则 f ' x ax lna;
第十二页，课件共46页。
6. 若 fx ex,则 f ' x ex ;
f x g x′= f′xg x + f xg′x
请同学们自 己证明
第二十二页，课件共46页。
知识拓展
推论 : (Cu) Cu
第二十三页，课件共46页。
例4
求 y = 2x2 - 3x2 + 5x - 4的导数？
解：由导数的基本公式得：
y' 4x 6x 5 5 x
第二十四页，课件共46页。
第九页，课件共46页。
教学重难点
重点
理解简单复合函数的复合过程.
难点
函数的积、商的求导法则的推导及复 合函数的结构分析.
第十页，课件共46页。
知识要点
为了方便，今后我们可以直接使用下 面的初等函数的导数公式表：
第十一页，课件共46页。
基本初等函数的导数公式
1. 若 fx c,则 f ' x 0;
第十五页，课件共46页。
如果上式中的某种商品的 p0 5 ， 那么在第10个年头，这种商品的价格 上涨的速度大约是多少？
第十六页，课件共46页。
当 p0 5时，p t 51.05，t 这时，求P
关于t的导数可以看成函数f(t)=5与g(t)= 1.05t
乘积得到导数.下面的“导数运算法则”可以
第三十页，课件共46页。
若设u=x+2（x>-2），则y=ln u.即y=㏑（x+2）可以看成是由 y=ln u和u=x+2（x>-2）经过 “复合”得到的，即y可以通过 中间变量u表示为自变量x的函数.
第三十一页，课件共46页。
名词解释
一般地，对于两个函数y=f(u)和 u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)
C． - 1 2
D．1
2x y 6 0
第四十页，课件共46页。
随堂练习
1、 根据基本初等函数的导数公式和导
数运算法则，求函数 y x3 2x 3
的导数.
解 因为y' x3 2x 3 ' x3 ' 2x' 3'
3x2 2.
第四十一页，课件共46页。
随堂练习
2、 求下列函数的导数