三年高考两年模拟(浙江版)2017届高考数学一轮复习 第八章.

答案 C
解析 ∵以MF为直径的圆过点(0,2),∴点M在第一象限.由|MF|=xM+ 2p =5

得M 5

p 2
,
2
p

5

p 2


.从而以MF为直径的圆的圆心N的坐标为


5 2
,
1 2
2
p

5

p 2


,∵点N的横坐标恰好等于圆的半径,∴圆与y轴切于点
(0,2),从而2= 12
2
p

5

p 2
,即p2-10p+16=0,解得p=2或p=8,∴抛物线方程
为y2=4x或y2=16x.故选C.
1.求抛物线标准方程的方法 求抛物线的标准方程的主要方法是定义法和待定系数法.对于焦点在x轴 上的抛物线的标准方程可统一设为y2=ax(a≠0),a的正负由题设确定;焦 点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2=ay(a≠0),这样就减少了不必要 的讨论. 2.抛物线几何性质的应用技巧 涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考,通过图形可以直观地看出 抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征,体现了数形结合思想解 题的直观性.
A.0<a<4 B.a>4
C.a≥2
D.0<a<2
(2)(2014湖北,21,14分)在平面直角坐标系xOy中,点M到点F(1,0)的距离比
它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.
①求轨迹C的方程;
②设斜率为k的直线l过定点P(-2,1).求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、
两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.
设直线l与x轴的交点为(x0,0),则
由y-1=k(x+2),令y=0,得x0=- 2k 1 . (***)
k
(i)若

Δ x0
0, 0,
由(**)(***)解得k<-1或k> 1 .
2
即当k∈(-∞,-1)∪ 12 ,


时,直线l与C1没有公共点,与C2有一个公共点,
(1)x1x2=⑤
pc 2 4
;
(2)y1y2=⑥ -p2 ;
(3)弦长l=x1+x2+p,x1+x2≥2 =x1px,2即当x1=x2时,焦点弦最短,为2p;
(4)弦长l= 2 p(θ为AB的倾斜角);
sin 2θ
(5) 1 + =1 ;2
| FA | | FB | p
(6)以AB为直径的圆与准线⑦ 相切 ; (7)焦点F对A、B在准线上射影的张角为90°.
3.抛物线焦点弦问题求解策略 求解抛物线焦点弦问题时,除灵活运用焦点弦的有关性质外,还要灵活应 用抛物线的定义及数形结合思想.
2-1 已知F为抛物线y2=2px(p>0)的焦点,以F为顶点作一个两条对角线长
分别为2 3 和2的菱形PFRQ(PR>FQ),如图所示.若抛物线经过P,R两个顶
点,则抛物线的方程为
1
nm
取等号).
≤ 3 (当且仅当m=n时
3
抛物线的定义及应用 典例1 (2015浙江,5,5分)如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的 直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则△ BCF与△ACF的面积之比是 ( )
A. || BAFF
| |
1 1
交于点M,与其准线相交于点N,若 | FM | MN
| |
= 5 ,则p的值等于 5
(
)
A. 1 B. 1 C.2 D.4
8
4
答案 C
解析
由于焦点F为 2p ,
0

,如图,根据抛物线定义得|MF|=|MK|,所以| FM | MN
| |
= | KM | MN
| |
= 5 ,则 | KN
| BF |2 1
B. | AF |2 1
C. || BAFF
| |
1 1
| BF |2 1
D. | AF |2 1
答案 A 解析 过A,B点分别作y轴的垂线,垂足分别为M,N,则|AM|=|AF|-1,|BN|=|
BF|-1.
可知 S BCF S ACF
=
1 | CB | | CF 2 1 | CA | | CF
| sin BCF | sin BCF
= | CB | = | BN
| CA | | AM
| = | BF
| | AF
| 1,故选A.
| 1
2
应用抛物线定义解题的思想方法 与抛物线有关的最值问题一般情况下都与抛物线的定义有关.由于抛物 线的定义在运用上有较大的灵活性,因此此类问题也有一定的难度.“看 到准线想焦点,看到焦点想准线”是解决此类问题的重要途径.
答案 (1)B 解析 (1)设直线l的方程为x=ty+a,联立抛物线方程消去x,得y2-4ty-4a=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则y1+y2=4t,y1y2=-4a,x1x2=(ty1+a)(ty2+a)=t2y1y2+ta(y1+y2)+a2=-4at2+4at2+a2=a2.
由 OA· OB =x1x2+y1y2=a2-4a>0,解得a>4,故选B.
A.- 3 3
B.± 3 3
C.- 3 D.± 3
答案 B 依题意,得F 0,,准2p 线为y=- ,过2p 点M作MN垂直于准线,垂足
为N,过F作FQ⊥MN于Q,则|MN|=|MF|=2p,则|MQ|=p,故∠MFQ=30°,
即直线MF的倾斜角为150°或30°,则斜c率为- 3或 3.
33
5.抛物线y=ax2的准线方程是y=1,则a的值为
.
答案 - 1
4
解析 将抛物线的方程y=ax2写成标准方程为x2= 1 y.
a
∴其准线方程是y=- 1 =1,∴a=- 1 . c
4a
4
6.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A,B在抛物线上,且∠AFB= 2 ,弦AB的中
3
点M在抛物线的准线上的射影为N,则| MN | 的最大值为
5 | KM
| |
=2,因为Rt△AOF∽Rt△NKM.所以 | OA
| OF
| |
=
2 p
=2,p=2,故
2
选C.
c
抛物线的标准方程及几何性质 典例2 (2013课标全国Ⅱ,11,5分)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M 在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为 ( ) A.y2=4x或y2=8x B.y2=2x或y2=8x C.y2=4x或y2=16x D.y2=2x或y2=16x
故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点.
(ii)若

Δ x0
0, 0
或

Δ x0
0, 0,
则由(**)(***测试一,13,4分)已知抛物线方程为y2=4x,直线l的方程
为x-y+4=0,在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1,P到直线l的距离为d2,
则d1+d2的最小值为
.
答案 5 2 -1 2
解析 抛物线y2=4x的准线方程是x=-1.设抛物线的焦点为F,则d1=PF-1.点
(4)线段AB的垂直平分线方程:y-y0=- y0 (x-x0). p
1.当a为任何值时,直线(a-1)x-y+2a+1=0恒过定点P,则过P点的抛物线的
标准方程为 ( )
A.y2=- 9 x或x2= 4 y
2
3
B.y2= 9 x或x2= 4 y
2
3
C.y2= 9 x或x2=- 4 y
2
3
D.y2=- 9 x或x2=- 4 y
§ 8.6 抛物线
1.抛物线的定义 到一定点F和定直线l(① F∉l )距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点 F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线. 注意:到一定点F和定直线l(F∈l)距离相等的点的轨迹是过点F且垂直于l
的直线.
2.抛物线的标准方程 焦点在x轴上,标准方程为y2=2px(p≠0). 焦点在y轴上,标准方程为x2=2py(p≠0). 要根据一次项来判断焦点的位置,若x为一次项,则② 焦点在x轴上 ,若 y为一次项,则焦点在y轴上.一次项系数大于0时,焦点在正半轴;一次项系 数小于0时,焦点在③ 负半轴 .
6.AB为抛物线y2=2px(p>0)的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),弦中点M(x0,y0),设弦所在 直线斜率存在,为k(k≠0).
(1)弦长l= 1 k 2 |x1-x2|=
1
1 k2
|y1-y2|(k≠0);
p
(2)k=⑧ yc0 ;
(3)直线AB的方程:y-y0= p (x-x0); y0
由方程组

y y
1 2
k( 4x,
x

2),
可得ky2-4y+4(2k+1)=0.
(*)
i)当k=0时,此时y=1.把y=1代入轨迹C的方程,得x= 1 .
4
故此时直线l:y=1与轨迹C恰好有一个公共点 14 ,1 .
ii)当k≠0时,方程(*)的判别式为Δ=-16(2k2+k-1). (**)
3.过抛物线y2=4x的焦点作直线l交抛物线于A、B两点,若线段AB中点的
横坐标为3,则|AB|等于 ( )
A.10 B.8 C.6 D.4
答案 B 依题意知,A、B两点的横坐标之和为xA+xB=6,而|AB|=xA+xB+p=
6+2=8,故选B.
c
4.已知F为抛物线x2=2py(p>0)的焦点,M为其上一点,且|MF|=2p,则直线MF 的斜率为 ( )
2
3
答案
A
直线方程可化为(x+2)a-x-y+1=0,由题意得x
2 x
0, y 1

0,
得定
点为P(-2,3),∵抛物线过定点P,∴当焦点在x轴上时,方程为y2=- 9 x,当焦点
c
2
在y轴上时,抛物线方程为x2= 4 y.故选A.
3
2.已知点A(3,4),F是抛物线y2=8x的焦点,M是抛物线上的动点,当|MA|+|MF |最小时,M点的坐标是 ( ) A.(0,0) B.(3,2 6 ) C.(2,4) D.(3,-2 6 ) 答案 C 设M到准线的距离为|MK|,则|MA|+|MF|=|MA|+|MK|,当|MA|+| MK|最小时,M点的坐标是(2,4),故选Cc .
3.抛物线的几何性质
c
4.点P(x0,y0)和抛物线y2=2px(p>0)的位置关系
(1)P在抛物线内(含焦点)⇔ y<02 2px0; (2)P在抛物线上⇔ y02=2px0; (3)P在抛物线外⇔ y02>2px0.
5.焦点弦 AB为抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦,A(x1,y1),B(x2,y2).
c
F(1,0)到直线l:x-y+4=0的距离d= 5 2 ,所以d1+d2=PF+d2-1≥d-1= 5 2 -1,当
2
2
且仅当PF与直线l:x-y+4=0垂直时取等号,故d1+d2的最小值为 5 2 -1. 2
1-2 已知点A(0,2),抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,射线FA与抛物线C相
.
| AB |
答案 3 3
解析 设|AF|=m,|BF|=n,则有|MN|= m n ,|AB|= m2 n2 mn . | MN | = 1
2
| AB | 2
m2 n2 2mn m2 n2 mn
= 1
2
1
m2
mn n2
mn
= 1c
2
1
m
1 n
(2)①设点M(x,y),依题意得|MF|=|x|+1,
即 (x 1)2 y2 =|x|+1,
化简整理得y2=2(|x|+x).
故点M的轨迹C的方程为y2=04,xx,
x 0.
0,
②在点M的轨迹C中,记C1:y2=4x,C2:y=0(x<0),
依题意,可设直线l的方程为y-1=k(x+2).
A.4 B.6 C.8 D.10 答案 B 解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),因为x1+x2=4c,所以由抛物线的焦点弦公式得|AB|= x1+x2+p=4+2=6,故选B.
直线与抛物线的位置关系
典例3 (1)已知抛物线C:y2=4x,直线l过定点M(a,0)(a>0),且与抛物线交于
A,B两点,O为坐标原点,若∠AOB为锐角,则实数a的取值范围是 ( )
.
答案 y2=2x
解析 由已知条件知|FQ|=2,|PR|=2 3 ,所以|PF|=2,且点P的横坐标为 p +
2
1,根据抛物线的定义知|PF|=xP+ 2p = 2p +1+ 2p =p+1,则由p+1=2,得p=1,所以
抛物线的方程为y2=2x. 2-2 已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的直线交抛物线C于A,B两点. 若线段AB中点的横坐标为2,则|AB|= ( )