专项09 用单摆测定重力加速度 (解析版)

2021届高考物理实验专项突破--用单摆测定重力加速度1．（2021·山东枣庄市·高三二模）某学习兴趣小组利用如下装置做了“用单摆测量重力加速度的大小”实验。

（1）他们用机械式秒表记录了单摆完成50次全振动所需的时间，如图所示。

秒表的读数为________s；
（2）如图所示，给出了摆线上端的四种悬挂方式，其中，引起的摆长测量误差较小的是哪几种？
_______（选填图中的字母代号）；
A．B．C．D．
（3）通过查阅资料，该学习兴趣小组又用如下装置再次进行实验，测定了最大摆角分别为2︒、3︒、
4︒、5︒及10︒、15︒、20︒时单摆的周期，数据记录如下表所示：
根据表中数据，你可以得出的结论是___________。

【答案】99.8 ABD 在最大摆角不大于5°时，单摆振动周期跟振幅无关，大于5°时，振动周期随最大摆角的增大而增大。

【详解】（1）[1]秒表的读数为
t=+=
1.5min9.8s99.8s
（2）[2]为了避免实验时由于小球的摆动而导致悬点摇动，而使摆长发生变化，故悬挂点不能摇动，要固定。

故选ABD。

（3）[3]由表格中数据得出结论是在最大摆角不大于5°时，单摆振动周期跟振幅无关，大于5°时，振动周期随最大摆角的增大而增大。

2．（2021·贵州毕节市·高三二模）毕节市著名风景区韭菜坪，最高峰海拔2900.6m，素有“贵州屋脊”之称，大韭菜坪为世界上最大面积的野韭菜花带，小韭菜坪石林境观俊奇独特。

某高中学校的同学到小韭菜坪观赏石林，被独特奇秀的石林景观震撼，同学们突然想知道小韭菜坪的重力加速度是多少，于是他们结合所学物理知识，利用“单摆”实验测定山顶的重力加速度，同学们进行了以下操作，请完成以下填空：
①实验装置如图，用直尺测出摆线的长度为l1和小球最低端到悬点的距离为l2，则摆长l=___________（用l1和l2表示）
②若摆球在竖直平面内做小角度摆动时，可视为简谐运动，为了记录振动次数和测量振动周期，同学们从某一次经过最低点时开始计时并计数1次，测出经过最低点n次（约60~100次）的时间为t，则该单摆的振动周期为T=___________；
③同学们根据测量的实验数据，计算出小韭菜坪的重力加速度，则表达式为g=___________。

（用l1、l2、n、t表示）。

【答案】
122l l + 21t n - ()22122π(1)2n l l t
-+ 【详解】(1)[1]单摆摆长为悬点到球心间的距离，则摆长
2112
122
l l l l l l -+=+
= (2)[2]单摆的振动周期为
T =2112
t t n n =
--
(3)[3]
由单摆周期公式2T = 212222
122
2
2()
4ππ()(1)4π222()1
l l l l n l
g t T
t n +⨯
+-=
==- 3．（2021·北京高三期末）“用单摆测量重力加速度”的实验中：
(1)用游标卡尺测量小球的直径，如图甲所示，测出的小球直径为__________mm ； (2)实验中下列做法正确的是_______；
A ．摆线要选择伸缩性大些的，并且尽可能短一些
B ．摆球要选择质量大些、体积小些的
C ．拉开摆球，在释放摆球的同时开始计时，当摆球回到开始位置时停止计时，此时间间隔作为单摆周期T 的测量值
D ．拉开摆球，使摆线偏离平衡位置不大于5°。

释放摆球，从平衡位置开始计时，记下摆球做30
次全振
动所用的时间t ，则单摆周期30
t T =
(3)实验中改变摆长L 获得多组实验数据，正确操作后作出的T 2－L 图像为图乙中图线②。

某同学误将悬点到小球上端的距离记为摆长L ，其它实验步骤均正确，作出的图线应当是图乙中____（选填①、③、④）；利用该图线求得的重力加速度_____（选填“大于”、“等于”、“小于”）利用图线②求得的重力加速度。

【答案】14.5 BD ① 等于
【详解】(1)[1]10分度的游标卡尺精确度为0.1mm ，则小球直径为
14mm 50.1mm 14.5mm d =+⨯=
(2)[2]AB ．该实验中，要选择细些的、伸缩性小些的摆线，长度要适当长一些；选择体积比较小，密度较大的小球，故A 错误，B 正确；
CD ．摆球的周期与摆线的长短有关，与摆角无关，且拉开摆球，使摆线偏离平衡位置不大于 5°，释放摆球，当摆球振动稳定后，从平衡位置开始计时，要测量多个周期的时间，然后求平均值，故C 错误，D 正确。

故选BD 。

(3)[3]某同学误将悬点到小球上端的距离记为摆长L ，即摆长测短了，即摆长为零时就已出现了振动周期，故图像为①；
[4]由单摆的周期公式可推出函数为
22
4()2
d
T L g π=+
可知利用斜率可以准确求得当地的重力加速度。

4．（2021·全国）在“探究单摆周期和摆长的关系”的实验中。

①实验进行如下步骤：
A ．组合单摆：用线的一端穿过小球的小孔，然后打一个线结，做成单摆，用绳的上端缠绕在圆柱形的铁棒上（如图1所示）；
B ．测摆长l ：用刻度尺量出摆线长度l ′，用游标卡尺测出摆球的直径d ，摆长l =l ′+
2
d
； C ．测周期T ：将摆球拉起一个角度，然后放开，当小球运动到最低点时按下秒表，测量单摆30次全振动的时间t ，算出单摆周期T =
30
t
（如图2所示）； D ．将所测得的l 和T 填入表格，分析数据得出单摆的周期和摆长的关系。

E ．改变摆长，重复步骤BCD 。

从上面操作步骤中找出两处错误的地方，写出该步骤的字母，并加以改正。

___________；___________。

②用游标卡尺测小球直径时（如图3所示），其读数为___________cm，用秒表测出小球完成30次全振动（如图4所示）的时间为___________s。

【答案】细线不能缠绕在圆柱形金属棒上（或细线悬挂点应该固定等）；拉开角度太大（细线与竖直方向偏角应小于5°等）。

1.160 41.6
【详解】①[1] 另一端缠绕在铁架台上细杆上，小球摆动时，摆长会发生变化，所以线不应缠绕在铁杆上，这样会使悬点不固定，摆长变化．应将悬点固定；
[2]摆角较大，摆球的运动不能看成简谐运动，所以摆角一般不超过5°；
②[3]游标卡尺的主尺读数为11mm，游标读数为12×0.05mm=0.60mm，所以最终读数为
11.60mm=1.160cm；
[4]由图所示秒表可知，分针示数为0.5min=30s，秒针示数为11.6s，则秒表示数为30s+11.6s=41.6s；5．（2021·全国高三专题练习）在“用单摆测定重力加速度”的实验中：
(1)摆动时偏角满足的条件是偏角小于5°，为了减小测量周期的误差，计时开始时，摆球应是经过最
________（填“高”或“低”）点的位置，且用停表测量单摆完成多次全振动所用的时间，求出周期。

甲中停表示数为一单摆全振动50次所需时间，则单摆振动周期为________。

(2)用最小刻度为1 mm的刻度尺测摆长，测量情况如图乙所示。

O为悬挂点，从图乙中可知单摆的摆长为________m。

(3)若用L表示摆长，T表示周期，那么重力加速度的表达式为g＝________。

(4)考虑到单摆振动时空气浮力的影响后，学生甲说：“因为空气浮力与摆球重力方向相反，它对球的作用相当于重力加速度变小，因此振动周期变大。

”学生乙说：“浮力对摆球的影响好像用一个轻一些的摆球做实验，因此振动周期不变”，这两个学生中________。

A．甲的说法正确B．乙的说法正确C．两学生的说法都是错误的
【答案】低 2.05s 0.9980
2
2
4L
T
π
A
【详解】(1)[1]摆球经过最低点时小球速度最大，容易观察和计时。

[2]图甲中停表的示数为
t=1.5 min＋12.5 s＝102.5s 则周期
T＝102.5
50
s＝2.05s；
(2)[3]从悬点到球心的距离即为摆长，可得
L＝0.9980m
(3)[4]由单摆周期公式T＝
g＝
2
2 4L T π
(4)[5]由于受到空气浮力的影响，小球的质量没变而相当于小球所受重力减小，即等效重力加速度减小，因而振动周期变大，故选A。

6．（2021·全国）在利用单摆测重力加速度的实验中，某同学尝试用DIS（数据采集系统）测量周期。

如图，用一个磁性小球代替原先的摆球，在单摆下方放置一个磁传感器，其轴线恰好位于单摆悬挂点正下
方。

图中磁传感器的引出端A 应接到_____。

使单摆做小角度摆动，当磁感应强度测量值最大时，磁性小球位于______。

若测得连续N 个磁感应强度最大值的时间间隔为t ，则单摆周期的测量值为______（地磁场和磁传感器的影响可忽略）。

【答案】数据采集器 最低点（或平衡位置）
21
t
N - 【详解】[1]磁传感器是把磁场、电流、应力应变、温度、光等外界因素引起敏感元件磁性能转化为电信号。

磁传感器的引出端A 应接到数据采集器采集数据。

[2]单摆做小角度摆动，当磁感应强度测量值最大时，磁性小球位于最低点（或平衡位置）。

[3]若测得连续N 个磁感应强度最大值，则完成全振动的次数为
1
2
N n -=
又已知测得连续N 个磁感应强度最大值的时间间隔为t ，则单摆的周期
21
t t T n N =
=- 7．（2021·全国高三专题练习）某小组同学做了“用单摆测量重力加速度”实验后，为进一步探究，将单摆
的轻质细线改为刚性重杆。

通过查资料得知，这样做成的“复摆”做简谐运动的周期2π=T 式中c I 为由该摆决定的常量，m 为摆的质量，g 为重力加速度，r 为转轴到重心C 的距离。

如图（a ），实验时在杆上不同位置打上多个小孔，让光滑水平轴穿过其中一个小孔，使杆做简谐运动，测量并记录r 和相应的运动周期T ；然后让轴穿过不同位置的孔重复实验，实验数据见表，并测得摆的质量
0.50kg m =。

(1)由实验数据得出图（b ）所示的拟合直线，图中纵轴表示_____。

(2)c I 的国际单位制单位为______，由拟合直线得到c I 的值为______（保留到小数点后两位）。

(3)若摆的质量测量值偏大，重力加速度g 的测量值_____（填“偏大”“偏小”或“不变”）。

【答案】2T r 2kg m ⋅ 0.17 不变
【详解】(1)[1]由公式2=T
222
2
44ππ=+
c I r T r mg g
故题图（b ）中纵轴表示2T r 。

(2)[2]由公式2=T
22
2
4π
=-c mgrT I mr 即c I 的国际单位制单位为2kg m ⋅。

[3]由题图（b ）并结合(1)中的式子可得
22
41.25s m π⋅=c
I mg
由题图（b ）知拟合直线的斜率
24π==
k g
2121
1.95 1.2570s m 0.1919---⋅=⋅s m
解得
20.17kg m ≈⋅c I
(3)[4]由(1)、(2)中分析可知重力加速度的测量值与质量无关，故g 的测量值不变。

8．（2021·山东高三专题练习）某实验小组用如图甲所示的实验装置进行“测量重力加速度”并“验证机械能守恒定律”两个实验。

该小组把轻质细绳的一端与一个小球相连，另一端系在力传感器的挂钩上，整个装置位于竖直面内，将摆球拉离竖直方向一定角度，由静止释放，与传感器相连的计算机记录细绳的拉力F 随时间t 变化的图线。

(1)首先测量重力加速度。

将摆球拉离竖直方向的角度小于5°，让小球做单摆运动，拉力F 随时间t 变化的图线如图乙所示。

①图可知该单摆的周期T 约为________s(保留两位有效数字)。

②该小组测得该单摆的摆长为L ，则重力加速度的表达式为________(用测量或者已知的物理量表示)。

(2)然后验证机械能守恒定律。

将摆球拉离竖直方向较大角度后由静止释放，拉力F 随时间t 变化的图线如图丙所示。

①要验证机械能守恒，还需要测量的物理量是_________。

②若图中A 点的拉力用F 1表示，B 点的拉力用F 2表示，则小球从A 到B 的过程中，验证机械能守恒的表达式为_____________(填表达式前的字母序号)。

A ．
211()2F mg mg F -=- B ．121
()2
mg F F mg -=- C 21F mg mg F -=- 【答案】0.75(0.70或者0.73也对) 22
4πL
g T
= 质量 A
【详解】(1)①[1]小球做单摆运动，经过最低点拉力最大，由图乙可知11.0s 到14.0s 内有4个全振动，该单摆的周期
14.011.0
s 0.75s 4
T -=
=
②[2]根据单摆周期公式2T =可得重力加速度 224πL g T
=
(2)①[3]图中A 点对应速度为零的位置，即最高位置，根据受力分析可得
1cos θF mg =
图中B 点对应速度最大的位置，即最低点位置，根据牛顿第二定律可得
2
2mv F mg L
-= 小球从A 到B 的过程中，重力势能减小量为
(cos θ)P E mg L L ∆=-
动能的增加量为
2211
()22
k E mv F mg L ∆=
=- 要验证机械能守恒，需满足
P k E E ∆=∆
解得
211
()2
F mg mg F -=- 所以还需要测量的物理量是小球的质量 ②[4]验证机械能守恒的表达式为
211
()2
F mg mg F -=- 故A 正确，B 、C 错误； 故选A 。

9．（2021·全国）在“用单摆测量重力加速度实验”中，使用下列实验器材．
（1）A 、 1.2m 的细线 B 、 2m 的弹性绳 C 、 带孔的小铁球 D 、 带孔的软木球 E 、光电门传感器
应选用哪种绳________，应选用哪种球________，光电门的摆放位置为________（选填“最高点”或“最低点”）
（2）右图为光电门传感器电流强度I 与t 的图像，则周期为（________）
A 、 1t
B 、21t t -
C 、 31t t -
D 、41t t -
（3）甲同学用秒表做该实验，但所得周期比该实验得到的大，则可能的原因是________．
【答案】A C 最低点 C 开始计时时，秒表太早按下，测量时间偏长，周期偏大
【详解】（1）单摆实验时，应选细绳，弹性绳在运动过程中长度发生改变，导致摆长变化，所以应选
1.2m 的细线；为了减小实验误差，摆球选择质量大、体积小的铁球；在测量时间时，因为最高点附近速度小，最低点附近速度大，所以光电门应摆在最低点附近，测量误差小
（2）单摆运动一个周期经过平衡位置两次，根据图像可知周期为：31t t -
（3）用秒表计时，测的周期为N 次全振动对应的总时间，在进行求解单次的时间即周期，测量结果偏大，可能是开始计时时，秒表太早按下，测量时间偏长，周期偏大
10．（2021·全国高三专题练习）某同学利用单摆测量重力加速度．
（1） 为了使测量误差尽量小，下列说法正确的是________
A ．组装单摆须选用密度和直径都较小的摆球
B ．组装单摆须选用轻且不易伸长的细线
C ．实验时须使摆球在同一竖直面内摆动
D ．摆长一定的情况下，摆的振幅尽量大
（2） 如图所示，在物理支架的竖直立柱上固定有摆长约为1m 的单摆，实验时，由于仅有量程为20cm 、精度为1mm 的钢板刻度尺，于是他先使摆球自然下垂，在竖直立柱上与摆球最下端处于同一水平面的位置做一标记点，测出单摆的周期T 1；然后保持悬点位置不变，设法将摆长缩短一些，再次使摆球自然下垂，用同样方法在竖直立柱上做另一标记点，并测出单摆周期T 2；最后用钢板刻度尺量出竖直立柱上两标记点之间的距离ΔL ．用上述测量结果，写出重力加速度的表达式g =______．
【答案】B C 222
124L T T π∆ 【详解】①为了减小空气阻力的误差选用密度大，体积小的小球，A 错．如果振幅过大（大于10o 小球的运动不在是简谐运动，所以误差较大，D 错误．要求小球在运动过程中摆长不变，且是单摆，而不能是圆锥摆故选BC ．
②同理得两式相减可得
11．（2021·全国高三专题练习）某同学利用单摆测定当地重力加速度，发现单摆静止时摆球重心在球心的正下方，他仍将从悬点到球心的距离当作摆长L ，通过改变摆线的长度，测得6组L 和对应的周期T ，画出L 一T 2图线，然后在图线上选取A 、B 两个点，坐标如图所示．他采用恰当的数据处理方法，则计算重力加速度的表达式应为g =______________．请你判断该同学得到的实验结果与摆球重心就在球心处的情况相比，将________________．(填“偏大”、“偏小”或“相同”)
【答案】222
4()B A B A πL L T T -- 相同
【详解】由单摆周期公式2T =可知，22
4πL g T =，利用此公式可以通过实验的方法测得当地的重力加速度，此实验需要测量单摆的周期T 和摆长L ，周期T 的测量方法往往是测量单摆完成N
次全振动
的时间t ，然后T =t /N 即为周期而摆长L 的必须是悬点到重心的距离，而本实验中测得的L 并非为此距离，但是利用消元法仍可准确得到当地的重力加速度g ，
具体解法如下：设球心到重心的距离为x
，则2A T =
①，2B T =②，①变形后可得224A A T g x L π
=-，代入②可以解得2224()B A B A L L g T T π-=-，从式子中可以看出，最终的结果与重心的位置无关，所以不影响g 值的测量．
12．（2021·全国）在“用单摆测定重力加速度”的实验中：
（1）组装单摆时，应在下列器材中选用______（选填选项前的字母）。

A 、长度为1 m 左右的细线
B 、长度为30 cm 左右的细线
C 、直径为1.8 cm 的塑料球
D 、直径为1.8 cm 的铁球
（2）下表是某同学记录的3组实验数据，并做了部分计算处理。

请计算出第3组实验中的T =_______s ，g =_______m/s 2。

（3）用多组实验数据做出T 2-L 图像，也可以求出重力加速度g 。

已知三位同学做出的T 2-L 图线的示意图如图中的a 、b 、c 所示，其中a 和b 平行，图线b 对应的g 值最接近当地重力加速度的值。

则相对于图线b ，下列分析正确的是______（选填选项前的字母）。

A 、出现图线a 的原因可能是误将悬点到小球下端的距离记为摆长L
B 、出现图线c 的原因可能是误将49次全振动记为50次
C 、图线c 对应的g 值小于图线b 对应的g 值
（4）某同学进行测量时，由于只有一把量程为30 cm 的刻度尺，于是他在距悬挂点O 点小于30cm 的A 处做了一个标记，保持该标记以下的细线长度不变，通过改变O 、A 间细线长度以改变摆长。

实验中，当O 、A 间细线的长度分别为l 1、l 2时，测得相应单摆的周期为T 1、T 2。

由此可得重力加速度g =______（用l 1、l 2、T 1、T 2表示）。

【答案】AD 2.01 9.77 B 21222
124π()l l T T -- 【详解】（1）[1]．组装单摆可用长度为1 m 左右的细线以及直径为1.8 cm 的铁球，AD 正确，BC 错误； 故选AD 。

（2）[2][3]．第3组实验中的
100.5s 2.01s 50
T =
= 根据
2T =可得 2222244 3.14 1.009.77m/s 2.01
l g T π⨯⨯==≈ （3）[4]．根据单摆的周期公式
2T =得
22
4L T g π= 根据数学知识可知，T 2-L 图象的斜率24k g π=，当地的重力加速度2
4g k
π=。

A ．由图所示图象可知，对图线a ，当L 为零时T 不为零，所测摆长偏小，可能是把摆线长度作为摆长，即把悬点到摆球上端的距离作为摆长，A 错误；
B ．实验中误将49次全振动记为50次，则周期的测量值偏小，导致重力加速度的测量值偏大，图线的斜率k 偏小，B 正确；
C ．由图可知，图线c 对应的斜率k 小于图线b 对应的斜率，由2
4g k
π=可知，图线c 对应的g 值大于图线b 对应的g 值，C 错误；
故选B 。

（4）[5]．设A 点以下部分的长度为l ′，根据单摆的周期公式
2T =则：
12T =
22T =联立解得
21222
124()l l g T T π-=-。