椭圆及其标准方程(第二课时)课件高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

点 D为垂足.当点 P在圆上运动时，线段 PD的中点M 的轨迹是什
么？为什么？
| MD | 1 | PD | 2
| MD | k | PD | ( k 0, 且k 1)
y
o
x
例3.如图,设点 A, B 的坐标分别为 ( 5, 0 ) ，( 5, 0 ) ．直线 AM , BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是 4 ，求点M 的轨迹方程．
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
F1 0,- c ，F2 0,c
相 a , b , c 的关系
b2 a2 c2
同
点 焦点位置的判断 标准方程中，分母哪个大，焦点就在哪个轴上
3.经过椭圆
x2 y2 25 16
1 的右焦点 F2
作垂直于 x
轴的直线
AB，交椭
圆于A ，B 两点，F1 是椭圆的左焦点.
直接法
明确所求曲线上点的几何特征，将其转化为代数表示，列出方 程并化简，最后检验轨迹上的点是否都符合题意，如有不符合题意 的点，应在方程后注明．
课堂小结
1.椭圆的概念 2.椭圆的标准方程 3.求轨迹方程的三种方法：
直接法、相关点法（代入法）、定义法
作业：课本第115页第6题、第9题
谢谢大家
9
解：设点M的坐标为( x , y ),依题意得
直线
AM
的斜率k AM
y x5
直线 BM 的斜率kBM
y x5
y
y
4
kAM
kBM
x5
x5
9
化简,得点M的轨迹方程为 x2 25
y2 100
1
(x
5) ,
ห้องสมุดไป่ตู้
9
故点M 的轨迹是除去( 5,0)，(5, 0)两点的椭圆.
4.如图,设点 A, B 的坐标分别为 ( 1, 0 ) ，(1, 0 )．直线 AM , BM 相交于点M ，且它们的斜率的商是 2，求点M的轨迹方程．
（1）求
解A解F：1B：（的（1周1））长A；AF1FB1B的的周周长长为为| A| AF1F|1| | B| BF1F|1
| |
A| ABB|||A| AF1F|1
| | B| BF1F|1| |
A| AF2F|2
| BF ||B
（2）如果A|A|BAF不1F|1垂| | A|直AF2F于|2| x| B|轴BF1F|，1|| AB| BFF12FB|2|的4a4a周长有变化吗？为什么？
故点 故点
M M
的轨迹是椭圆，标准方程为 的轨迹是椭圆，标准方程为
y2 2y52
x2 1x62
1. 1.
定义法
先根据动点具有的条件，分析其是否符合已学曲线（例如圆、椭 圆等）的定义，若符合，则先确定动点的轨迹，再确定轨迹方程，最 后检验轨迹上的点是否都符合题意，如有不符合题意的点，应在方程 后注明．
|
|
BF22
变式：若点 B ，C 为定点，| BC | 6 ，且 ABC 的周长始终等于16，
求顶点 A 的轨迹方程.
解解解：：：设设设FFF111(((000,,,333)))，，，则则则 xxx222(((yyy333)))222表表示示|||MMMFF111||，，
设设设FFF222(((000,,,333)))，，，则则则 xxx222(((yyy333)))222表表示示|||MMMFFF222|||，，
3.1.1 椭圆及其标准方程
第二课时
1.如果点M ( x , y ) 在运动过程中，总满足关系式
x2 ( y 3)2 x2 ( y 3)2 10
那么点M 的轨迹是什么曲线？为什么？写出它的方程.
解：解解解设解：：：：F设1设(设设0F,FF1F3F1F(11(1(1)10(0(0(0，0,0,,,333,,3则3))3)则)，)，)，，，，则则x则则则2x则2 (xxx2y2(xx2x2y222((3(yy)(y3(2(y=)y3y323)|))32表2M233)表表表2F))示1222表示示|示表表，|示||M|M示MM示F|FFFM11|11|||M|F|，，M，，1F|F11，1| ，| ，
A
由由故由已已已由知知知椭得得得，，圆，|||的MMMFFF11定1||||义||MMMFFF，222|||点111000A666的|||FFF11轨1FFF222|||，迹，是以6 =B| B，C |C, 为焦点的椭圆，
故点点点由MMM椭的的的圆轨轨轨的迹迹迹定是是是义以以以，FFF点111，，，AFF的F222为为轨焦焦迹点点是的的以椭椭B圆圆，，，C 为焦点的椭圆，
设 设F2 设(设设解 解设F02,FF： ：F(FF220222(3((((0由 由,00)00,,，,,,椭 椭3333)33则)3)圆 圆)，))，)，，，的 的则则则则则则x则2定 定xxx义 义x2x(2x22xx2y222， ，((((yy((y3y点 点((yy)yy32333)MM)表3)2)232332)表表2的 的)表=))示222表示|示示表表轨 轨M|示M|F||示迹 迹M示M2MF||FF2， MF是 是||22|2|MM|FM|，|，，2以 以，FFF|22，2|| ，| ， 由且点已由且2a点M由 且由且知由 且且且 且已由 且FF2点11a点1已点点点bb的2((已得2已已由 由2M222知000aaaaaaM知M，,,MM轨M知知M知，1已 已的得101的得133aa11的10得的的c0的得 迹得得知 知0|，0220))0轨，，M轨，，， ，，轨，，，轨轨，轨，是，得 得3Fccc迹c迹c迹||c1|迹22，|FFc迹McM迹cM|迹以||M|2222M是M是 是M3F是((3aaF3F3F即是1是00是 31F，|，113F3F，F，以|以1|M， ,,以22|1以1|，1，以33|11即以55a以|即|，即|F00))|F即|F即MFM2|为 为即1即M1， ，FF1a||，Ma99， F|FFaFF，115MMF1a12a，，焦 焦22F2Faa，，1，22|FFF为|5F2|52F0cc5442222|点 点，1F2，15|为，1F为||5， ，F0F为焦55020，12622为66，1的 的，11焦0为焦为焦06， ，0点66焦|椭 椭点点6焦焦点F|即 即|的66|1F点F的圆 圆FF的1的|1点点点1FF2F椭aaF||的2|椭21， ，|椭2FF椭F|，的的|的1，|1，圆12，F椭 F圆55圆F圆|22椭椭，2， ，椭，||，圆，，，，| ，圆圆cc圆，，，，33， ，
相关点法（代入法）
寻求动点 M ( x , y )中的x , y 与已知曲线上的点 P( x0 , y0 )中 x0 , y0 的联系，然后消去 x0 , y0并化简，得到点M 的轨迹方程，最后检验
轨迹上的点是否都符合题意，如有不符合题意的点，应在方程后注 明．
例2.如图，在圆 x2 y2 4 上任取一点 P ，过点 P 作 x轴的垂线段PD，
轴FB为2 的时 || 4A周，aF1长| A为F解 由 （|解 由 （|1B|AB|2FA： 已 2A： 已 2F01周）F1） F|1解 由 （|（ 知1（ 知|长A|当当|A： 已 2F|1得A1得|1A依）F|）B）AA|1AAF（ 知aBF|a|2然BF解由（当由 （|2||21得不||A由（不|AA||A|A为A：已2）5A已 2F5AAFF|FF）F垂1，已2F）a垂12|BBF，11|1B|1（知B）B知|2BF||不|当直故F知当的1A|直 故F的|51得1|当得1F||A|垂|B），于1|得B周于AA周 AAFBBF|aFBFAaA2FBA|1B直故F1|的长x2a2FB|长xB|F不1BF|不A|1轴|F1|轴25于BF不5周B为F|2为|2垂|，5垂 1B，|的1AB时||的|AB时B垂长Bx，FFB4F|F|直故F1直4的1故FA轴a周24F，A周2B，1|1a直为故|Fa2|F|于|于1周的时|长1长|24|于A||AB|A0a|4AA长周xB，为FBxABF为FFa|FF1|轴1F1xF轴2FF1BB1B1长为B22122轴|B2F|2BF的|时|0的0|时 1周A01周为4|的|时F|4aA周4，周 1B，长a长BaF|周2，F|11长A01长A周依2|依B|长B0A2A为为长0|然F|A|F然|为1B11|FAB|B2依FA2为1A为B0B1周012F周F||10然周1|长|长|A为长A|F依|依BBB1依F|F|然然11F|然||1A为为BF|为F|11A1A|F|F22||y||oBAF|F|11B2B| F|FB22F|A||2ABFFx222|
且 2a 10 ， 2c 6 ，即 a 5 ， c 3，
且且且且2222aaaa11110000，，，，ccc2c333，，，6 ，即即即即aaaa555，，5 ， c 3，
bb a2a2c2 c2 259254，9 4 ，
A, B ,C
x 5
( x 5)
例2.如图，在圆 x2 y2 4 上任取一点 P ，过点 P 作 x轴的垂线段PD， 点 D为垂足.当点 P在圆上运动时，线段 PD的中点M 的轨迹是什 么？为什么？
椭圆的定义
平面内与两个定点 F1、F2 的距离的和等于常数(大于| F1F2 | ) 的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的 距离叫做椭圆的焦距。
不 图形
焦点在x轴上
y M
F1 O F2
x
焦点在y轴上
同 标准方程
点 焦点坐标
x2 + y2 = 1a > b > 0
a2 b2
F1 -c , 0，F2 c , 0
解：设点M的坐标为( x , y ),依题意得
直线
AM
的斜率k AM
y x 1
y
直线 BM
的斜率kBM y
y x 1
由已知得 kAM x 1 2 ( x 1, y 0 ) , -3 o
x
kBM
y
x 1
化简,得点M的轨迹方程为x 3 ( y 0 ) ,
故点M 的轨迹是除去点 ( 3, 0 ) 的直线.