基于压缩感知理论的稀疏遥感成像系统设计

第32卷　第8期系统工程与电子技术
Vol.32　No.82010年8月
Systems Engineering and Electronics August 2010
文章编号:10012506X (2010)0821618206
收稿日期:2009211205;修回日期:2010202201。

基金项目:国家自然科学基金(60802079;60901071);教育部新世纪优秀人才支持计划资助课题
作者简介:刘吉英(19822),男,博士研究生,主要研究方向为压缩感知、智能信号处理。

E 2mail :gene0572@
基于压缩感知理论的稀疏遥感成像系统设计
刘吉英,朱炬波,严奉霞,张增辉
(国防科学技术大学理学院数学与系统科学系,湖南长沙410073)
摘　要:高分辨率的应用需求使得传统的遥感成像系统面临高速率采样、海量数据存储等难以突破的瓶颈问题。

基于压缩感知理论设计的雷达和光学稀疏遥感成像系统,突破了Shannon 2Nyquist 定理的限制,以较少的测量数据实现了同等甚至更高质量的信号重构。

首先,根据被测目标和场景的不同特性,分别设计了稀疏表示矩阵;其次,根据互相关最小化原则,选择了与稀疏表示矩阵相适应的最优感知矩阵;最后,研究了适用于二维成像大规模数据的稀疏重构算法。

专业电磁散射仿真软件生成的雷达观测数据和复杂场景光学图像的数值仿真,验证了本文设计的稀疏遥感成像系统原理上的可行性。

关键词:压缩感知;合成孔径雷达;光学成像;稀疏表示;感知矩阵中图分类号:TP 770 文献标志码:A DOI :10.3969/j.issn.10012506X.2010.08.14
Design of remote sensing imaging system based on compressive sensing
L IU Ji 2ying ,ZHU J u 2bo ,YAN Feng 2xia ,ZHAN G Zeng 2hui
(Dept.of M athematics and S ystems S cience ,Coll.of Science ,N ational Univ.of
Def ense Technology ,Changsha 410073,China )
Abstract :The conventional remote sensing system is faced wit h some intractable problems ,such as high speed sampling and mass data storage ,owing to t he requirement of high resolution.The synt hetic aperture ra 2dar and t he optical sparse remote sensing systems are designed based on compressive sensing ,they break t hrough t he limitation of Shannon 2Nyquist t heorem and realize a equivalent or even better signal recovery based on much fewer measurement s.Firstly ,the sparse representation matrix is designed according to different char 2acteristics of t he measured target s and scenes.Secondly ,by minimizing t he cross 2correlation ,t he sensing ma 2trix is selected which corresponds to t he sparse representation matrix.Finally ,a recovery algorithm suitable to large 2scale problems is investigated.The feasibility of t he designed sparse remote sensing systems is validated by the numerical experiment s based on radar echo generated by a professional electromagnetic scattering soft 2ware and the optical image of complex scenes.
K eyw ords :compressive sensing ;synt hetic apert ure radar ;optical imaging ;sparse representation ;sensing
matrix
0　引　言
高分辨观测等应用需求使得基于Shannon 2Nyquist 定理建立的传统遥感成像系统面临高速率采样、海量数据存储等瓶颈问题。

压缩感知理论[124]提供了一种新的图像获取、重构方式,使人们能以更少的探测器、采样率、数据量和
功耗,得到与传统成像体制相当,甚至更高质量(如分辨率、信噪比等)的图像。

压缩感知的基本原理可概括为:利用原信号在特定感知矩阵上的投影作为测量数据,采用稀疏约束重构算法可恢复原信号,且恢复所需的测量数据的维数
取决于原信号的在某种变换域上稀疏性或可压缩性,而非传统意义上的信号带宽。

压缩感知理论自提出以来,在雷达、光学遥感成像[527]、生物医学成像[8]、模拟/信息转换[9]、天文地理数据分析[10211]、高速无线通信[12]、计算机图形学[13]等领域均得到了初步的应用。

本文主要关注雷达和光学稀疏遥感成像系统。

在可见光成像领域,Rice 大学的Baraniuk 等提出并实现了一种单像素压缩感知成像系统[6],利用数字微镜装置(digital micro 2mirror device ,DMD )完成感知矩阵生成的功能,DMD 的一次实现对应一次测量,并由单像素探测器记
　第8期刘吉英等:基于压缩感知理论的稀疏遥感成像系统设计・1619
　・　
录测量数据。

该系统的缺点在于需要时序上的多次测量才能采集到图像重构所需的足够数据。

但是在很多应用场合,成像传感器于被测景物之间存在高速运动(如星载遥感成像系统,卫星平台与被测区域之间存在高速相对运动),不允许进行时间上多次的序列测量。

文献[7]研究了一种在透镜上加相位掩膜的方式实现感知矩阵的功能,仅利用一次测量,即可实现比实际探测器阵元数更高分辨率的图像重构。

但其在感知矩阵的构造和稀疏重构算法方面还有改进之处。

与此同时,文献[14]将压缩感知理论用于超宽带雷达信号的检测,实现了在超低采样率下的高性能检测,但这是压缩感知理论在一维雷达信号处理中的应用。

在雷达信号二维成像领域,文献[5]研究了基于压缩感知原理的雷达成像系统,并指出因果、准Toeplitz结构的“随机滤波”感知矩阵在雷达成像中具有很好的性质,但是该文只进行了简单目标的小规模数据的数值仿真,离实际应用还有很长的距离。

本文从合成孔径雷达成像和傅里叶光学成像原理出发,根据压缩感知原理,设计了合成孔径雷达和光学两类稀疏遥感成像系统,具体步骤包括:(1)根据目标在特定探测电磁波下反射特性设计稀疏表示矩阵;(2)根据与稀疏表示矩阵互相关最小化原则,选取合适的感知矩阵;(3)适合二维成像的大规模稀疏重构算法。

1　压缩感知基本理论
1.1　压缩采样及其准则
与传统均匀周期点脉冲采样不同,压缩感知下的数据获取是原信号在特定的感知矩阵上的投影,即
y=Φx0+ε(1)式中,x为N维原信号;y为M维测量数据;Φ为感知矩阵;ε是方差为σ2测量噪声。

通常感知矩阵是欠定的,即MνN。

信号x0具有稀疏性,即存在一个稀疏表示矩阵Ψ及相应的N维表示系数α0,使得x0=Ψα0,其中α0必须至多含有K个(KνN)较大非零元素,其余N-K个为零或接近于零。

只要Ψ的选取合适,一般的自然信号/图像均满足可压缩性[3]。

将x0的系数表示代入式(1)后可得
y=ΦΨα0+ε>θα0+ε(2)式中,θ为感知矩阵和稀疏表示矩阵组成的复合矩阵。

为以最少测量精确重构稀疏信号,复合矩阵θ需满足约束等距性质(restricted isometry property,RIP)[15]。

设T<{1,…,N},|T|为集合T的势,且|T|≤K,按T中的元素索引矩阵θ的各列,组成的子矩阵记为θT,令δK为满足式(3)的最小常数,其中c为任意T维列向量。

(1-δK)‖c‖22≤‖θT c‖22≤(1+δK)‖c‖22(3) 从式(3)可以看出,δK由复合矩阵的子集θT和稀疏性度量值K决定。

在待求信号和稀疏表示矩阵确定之后,K 值也就随之确定,可以改变的只有感知矩阵Φ,其选取原则应使得δK尽量小,这实质上是保证θ中任意少于K列组成
的子矩阵近似满足正交性。

可以证明[15],当K满足δK+δ
2K+δ3K<1(其中δ2K、δ3K分别为稀疏度为2K、3K时满足式(3)的最小常数),且存在满足条件(3)的θ时,求解
min‖α‖1,s.t.‖y-θα‖22≤σ2(4)即可精确重构任意稀疏性小于K的信号x0。

利用随机矩阵理论,可以得到若干以较高的概率满足RIP的矩阵θ[2],如:
(1)θ的各元素为独立同分布随机变量,其典型的例子为各元素θij服从标准正态分布或(0,1)二项分布。

(2)θ的各行为从正交矩阵中随机抽取得到,如可从N ×N维Fourier变换矩阵中,随机抽取M行得到。

事实上,RIP是一个充分而非必要条件。

给定一个矩阵,目前还没有通用的快速算法验证其是否满足RIP。

因此,在实际处理中,在给定稀疏表示矩阵Ψ的条件下,应选取感知矩阵Φ,使得它们之间的互相关[2]
μ(Φ,Ψ)=N max
1≤i≤M
1≤j≤N
|<i
,j|(5)尽可能小。

其中,<i为Φ的第i行
,j为Ψ的第j列,μ(Φ,Ψ)的取值范围为[1,N]。

目前,已有文献研究确定性感知矩阵的构造,提出比RIP更弱的统计约束等距性质(sta2 tistical RIP,St RIP)条件,并借鉴高速无线通信中的编码理论,设计了若干满足St RIP的确定性感知矩阵[16]。

1.2　稀疏重构算法压缩
式(4)为典型的凸优化问题,有许多求解方法。

其中早期最具代表性的为基追踪(basis p ursuit,BP)算法[17],但该方法计算复杂度高,不适合求解大规模问题。

近期涌现出许多求解方法在计算效率上有加大的提高,如文献[18222]等。

本文采用的方法为线性化Bregman迭代[23],分为外层和内层两个迭代过程。

其中外层迭代为
αk+1=min‖α‖1+u
2
‖θα-y k‖22
y k+1=y k+y-θαk
(6)
式(6)中的第一个方程是将式(4)转化为带惩罚项的非约束最优化问题,只求解该式也可实现稀疏重构,但是结果受控制参数u选择的影响较大,且迭代次数过多。

第二个方程通过对观测数据的操作,大幅降低重构结果受u选择影响的敏感性,并减少迭代收敛的次数。

内层迭代是利用“收缩函数”的方法迭代求解式(6)中的第一个方程中的αk+1
v l+1=v l+θT(y l-θαl)
αl+1=δ・shrink(v l+1,1/u)
(7)其中,“收缩函数”的一种形式为shrink(x,1/u)=x/|x|・max(|x|-1/u,0),v l为中间变量,δ为控制参数,一般可选取δ=1。

当αl+1收敛后,即得到αk+1。

2　压缩感知雷达成像系统
2.1　雷达成像原理
雷达“图像”是对被测目标微波散射系数的反映,而雷
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达“成像”就是基于雷达回波与散射系数之间的关系式,根据回波信号求解散射系数的过程。

设目标的散射系数为二
维函数σ
(p ,q ),则雷达回波信号为E (f ,φ
)=κ
p ,q
σ(p ,q )exp j
4πf c
(p cos φ+q sin φ)d p d q
(8)
式中,E (f ,φ)是频率为f 、观测角度为φ的雷达回波信号;c
为光速。

观察式(8)易知,回波信号E (f ,φ
)是目标散射系数σ
(p ,q )的逆Fourier 变换。

本文为原理性的探讨,不失一般性,仅考虑简单的转台成像模型,如图1所示。

在目标的对称轴于纵轴的夹角为φ
时,雷达发射一定带宽B 的线性调频信号,并记录目标反射的回波。

随后,目标转动一定角度,雷达再发射相同的信
号,并记录回波;如此反复,当转动积累了一定角度Δ
φ后,
利用Fourier 变换就可以得到σ
(p ,q ),即σ(p ,q )=
κ
B ,Δ
φE (f ,φ)exp -j
4πf c
(p cos φ+q sin φ)d f d φ(9)
其中积分限由发射信号的带宽和转动积累角度决定,称为
数据的支撑区域,如图2所示,一般而言,支撑区域越大,成像分辨率越高。

图1　雷达转台成像模型
图2　测量数据的支持区域
(阴影部分)
这就是基于FF T 变换的经典雷达成像,在实际处理中,还需要进行加窗等技术处理[23]。

此外,文献[24]等还研究了基于现代谱估计的高分辨成像方法,如正弦曲线的幅度和相位估计(amplitude and p hase estimation of a sinu 2soid ,APES )等。

与加窗FF T 成像技术相比,这些方法能
在不展宽主瓣的条件下抑制旁瓣。

需要指出的是,式(9)为理想的转台成像模型,实际的回波相位中包含雷达或目标非理想运动造成的误差,在成像前需要进行补偿,否则在成像过程中会造成“散焦”,具体的探讨可参见文献[23]。

2.2　稀疏表示和感知矩阵的设计
讨论雷达图像的稀疏表示,需对目标散射系数特性进行分析。

根据雷达目标特性分析结果可知,空间目标在高频电磁波的照射下“点散射”特性[25],即其在雷达图像中表现为若干散射点的集合,这些散射点出现在目标表面不光滑(一
阶导数不连续)的区域。

在点散射模型的假设下,目标的空域表示即是稀疏的,因此,稀疏表示矩阵为单位矩阵。

在确定稀疏表示基函数之后,感知矩阵的选择应使得
其与稀疏表示矩阵的互相关最小化。

特别地,在雷达成像中,回波的生成过程等价于目标散射系数的逆Fourier 变换。

根据第1部分中满足RIP 的矩阵,可对Fourier 矩阵按行进行随机抽取,构成合成孔径雷达压缩成像体制下的感知矩阵。

显然,此时有μ(Φ,Ψ)=1,达到了互相关的最小值。

2.3　仿真实验
利用专业电磁散射仿真软件,生成a10飞机的电磁散射回波,具体的被测目标三维模型和雷达观测相关参数见图3和表1所示。

图3　被观测目标a10飞机的三维模型
表1　雷达观测相关参数参数数值
信号载频/GHz 9(X band )
信号带宽/M Hz
200方位角中心值/(°)44～47方位向积累角度/(°
)60俯仰角/(°
)256×256
首先,在软件产生的全部256×256维测量数据的基础
上,利用四种方法进行成像,其中包括不加窗FF T 成像、加窗(参数为3.5的Kaiser 窗)FF T 成像、APES 谱估计方法成像和基于稀疏重构的成像。

成像结果的对比见图4,可以看出:不加窗FF T 成像的结果(见图4(a ))强散射点的旁瓣影响很大,几乎掩盖了若散射点;加窗FF T 成像(见图4(b ))对旁瓣的抑制有一定的效果,但同时也展宽了主瓣,事实上二者之间的矛盾是窗函数选择的难点;APES 谱估计方法成像(见图4(c ))在保持主瓣不展宽的同时抑制了旁瓣,但效果有限;基于式(6)和式(7)的稀疏约束重构方法成像(见图4(d ))能有效地保持主瓣不展宽和抑制了旁瓣,从而实现图像超分辨。

该仿真验证了稀疏约束重构成像方法在传统测量体制下能有效地提高图像分辨率。

其次,按感知矩阵的构造方式随机选取30%的测量数据,在此基础上对比上述四种方法的成像结果。

如图5所示,可以看出在只有30%测量数据时,前三种方法只能得到两个强散射点的图像(见图5(a )～图5(c )),而基于稀疏约束重构方法得到的成像结果(见图5(d ))与全部测量数据时的结果(见图4(d ))基本相同。

若将全部测量数据下
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的稀疏重构图像作为标准,统计50%、30%和10%测量数据下,重构图像的归一化均方根误差,得到的结果分别为
0.021、0.046和0.15。

该结果充分验证了本文设计的基于
压缩感知理论的雷达成像系统的可行性。

图4　全部测量数据下不同方法的成像结果对比
图5　30%测量数据下不同方法的成像结果对比
3　压缩感知可见光成像系统
为了实现高精度图像重构,需要进行时序上的多次测量。

但是,当景物与相机之间存在高速相对运动时,各时序之间测量的景物不同,因此无法进行成像。

为克服该缺陷,
本文研究了一种时域单次测量压缩感知可见光成像系统。

3.1　压缩感知光学系统成像原理
Fourier 光学理论中,成像系统是线性系统,当用平面
单色光照明时,其像平面上光场的复振幅分布g (p i ,q i ),可以用物函数f (p 0,q 0)各面元脉冲响应的叠加积分表示,即　g (p i ,q i )=
∫∫
+∞
-∞
f (p 0,q 0)h (p 0,q 0;p i ,q i )d p 0d q 0(10)
式中,h (p 0,q 0;p i ,q i )为物点(p 0,q 0)到像点(p i ,q i )的线性系统脉冲响应函数。

结合信息光学理论中光波通过透镜后衍射光场分布的一般表达式[26],可以得到
h (p 0,q 0;p i ,q i )=
1
λ2
d 0d i
∫∫
+∞
-∞
e i
k
2d 0[(p-p 0)2+(p-q 0)2
]
・
W (p ,q )e
-i k
2f [p 2+q 2]
e
i k
2d i
[(p i -p )2+(q i -q )2]
d p d q
(11)
式中,λ为入射波长;d 0和d i 分别为物点和像点到透镜的
距离;k =2π/λ为波数;f 为透镜焦距;W (p ,q )为光瞳函数,代表透镜有限大小对光线的限制效应。

应用物像公式化简得到
h (p 0,q 0;p i ,q i )=
1
λ2
d 0d i
e i
k
2d 0
(p 20+q 2
0)
e i
k
2d i
(p 2i +q 2
i )
・
∫∫
+∞
-∞
W (p ,q )e
-i2
π(p i -Mp 0)λd i p +(q i -Mq 0)
λd i
q d p d q (12)
式中,M =-d i /d 0是近轴条件下系统的横轴放大率,积分号外面的两个相位因子仅表示在物平面和像平面上的相位弯曲,舍弃它们对求解像的强度分布没有任何影响,于是脉冲响应函数可写成
h (p 0,q 0;p i ,q i )=
1
λ2
d 0d i
・∫∫+∞
-∞
W (p ,q )e
-i2
π(p i -Mq 0)λd i p +(q i -Mq 0)λd i
q d p d q
(13)
式(13)表明,衍射受限系统的脉冲响应就是系统光瞳函数的Fourier 变换,其中心在几何光学理想像点(p i =M p 0,
q i =M q 0)。

传统光学成像系统中,物函数某一面元的像在像平面上也是一个小面元,因此要对所有入射光成像,电荷耦合装置(charge coupled device ,CCD )阵列需要覆盖像平面上所有出射光线。

即:如果图6中像平面上P ′1点处没有CCD 阵元,那么就无法对点P 1成像。

我们提出的压缩感知成像
系统基于这样一个思想:如果能使物函数每个面元的像尽
量散布在像平面上的较大范围内,那么在该范围内随机采集一定数量的数据,利用压缩感知理论,即可实现物函数每个面元的重构。

如图7所示,P 1的像在像平面上散布较广的范围,即使仅获得该范围中部分的测量数据,也可以通过稀疏约束算法重构P 1。

事实上观察式(13)可知,只要在透镜中加入随机相位控制掩模,即在P (x ,y )后加一随机相位
项,使得入射光线的相位产生一个随机的变化,那么式(14)的响应函数就不再是点脉冲,而是散布在像平面上的一定
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范围内。

加入随机相位变化掩模后,系统的响应函数(仍不考虑光瞳的有限大小限制)变为
h cs (p 0,q 0;p i ,q i )=
1λ2d 0d i
・
∫∫
+∞
-∞
W (p ,q )e φ(p ,q )
e
-i2
π(p i -M p 0)λd i p +(q i -Mq 0)
λd i
q d p d q
(14)
式中,e
φ(p ,q )
为掩模的随机相位作用;φ(p ,q )为掩模的相位。

显然,加入随机相位作用后的脉冲响应函数h cs (p 0,q 0;p i ,
q i )的能量不再如式(6)那样集中于点(p i =M p 0
,q i =M
q 0)
处,而是散布在较大的范围之内。

图6　传统光学成像系统光路图
图7　压缩感知光学成像系统光路图
3.2　稀疏表示和感知矩阵的设计
对于一般的光学遥感图像而言(见图8),其在空域往往是复杂的,不满足稀疏性。

因此,需要寻找合适的基矩阵进行稀疏表示。

参考静态图像压缩的标准J EP G2000,本文选用小波基产生稀疏表示矩阵。

值得一提的是,调和分析研究成果中有很多方法利用几何多分辨分析的思想,研究自然图像的稀疏表示问题,这些方法虽然在理论上有优美的结论,但在实际应用中却存在计算复杂等问题。

综合稀疏表示性能和计算复杂度,小波基函数在描述自然场景时仍是较好的选择。

在感知矩阵的设计上,采用对相位掩膜作用后的光场进行随机CCD 采样的方式。

此时在像平面上每个采样点上均包含原入射光场的信息,于是任意位置上少数的采样数据就能包含物点的足够信息,利用稀疏性可实现图像的
精确重构。

同样,
根据式(5)计算,相位掩膜与随机采样结合后构造的感知矩阵与小波基表示矩阵之间的互相关可以达到最小值1。

图8　压缩感知可见光成像系统仿真结果
3.3　仿真实验
本节通过仿真实验,对所提压缩感知光学成像系统的
可行性进行原理性验证。

仿真的场景如图8(a )所示,这是一幅典型的复杂场景光学遥感图像,大小为1024×1024像素,即N =10242。

通过随机相位掩膜将每个物点的像散布在像平面的较大区域上之后的图像如图8(b )所示,利用如图8(c )所示的随机采样模式对图8(b )的结果进行采样。

图8(c )中白色的像素点代表对图8(b )对应位置进行采样,黑色的像素点表示不采样。

本次仿真中,采样数据仅占原图像总像素的1/16,即M/N =0.0625。

图8(d )为利用Haar 小波字典对图像进行稀疏表示,并利用线性化Bregman 迭代算法进行图像重构的结果。

可
见利用压缩感知的方法能很好地利用少量的测量数据,实现复杂场景的稀疏光学成像,同时也说明了本文设计的压缩感知矩阵和稀疏表示矩阵的可行性。

4　结束语
本文首先介绍了基于压缩感知理论的信号获取和重构过程,其中包括信号的稀疏性、测量数据的采集方式,为了以最少测量数据重构信号而提出的感知矩阵设计依据和先进的、适于成像等大规模问题稀疏重构算法。

在此基础上,分析了压缩感知雷达成像和光学成像系统的理论框架。

通过雷达和光学图像的特性分析,提出了与之相适应的稀疏表示矩阵;通过雷达和光学成像原理的分析,选择了相应的感知矩阵。

在稀疏重构算法上,雷达和光学成像系统是相同的。

在仿真实验方面,本文更贴近于实际,而非现有文献中采用的简单目标和场景特性、小规模数据[5,7]的仿真。

雷达成像系统利用的是专业电磁分析软件对目标三维模型电磁散射计算的数据。

在光学成像中,复杂的成像场景取自于实际遥感影像。

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　・　
下一步工作的重点将是压缩感知成像系统中关键采样器件的硬件设计,其中包括雷达信号的随机AD采样的硬件实现和光学成像系统中相位掩模的设计和实现。

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