人教版初中数学九年级下册 探究反比例函数的图象和性质-“十市联赛”一等奖

§26．1．2 反比例函数的图象和性质（第1课时）教学设计
乌鲁木齐市第二十九中学王英
1.内容说明:
本节课为新人教版数学九年级下册第二十六章第一节第2课时，教材第4页至第6页的内容．其中内容包括先类比一次函数画＞0的两个反比例函数图象并得出性质；再类比思考＞0时反比例函数的性质，然后设置了一个探究环节，让学生自己研究得出＜0时反比例函数的性质，最后对反比例函数的性质进行归纳．教材第6页的课后练习题，和习题26．1的第3、5、8、9等题目针对反比例函数图象和性质适当的加以巩固，其中第5、8题都是一次函数与反比例函数的综合应用．
2．教学目标
①进一步熟悉用描点法作反比例函数
(0)
k
y k
x
=≠
图象的主要步骤，会作反比例函数的图象；体会函数三
种方式的相互转换，对函数进行认知上的整和；逐步提高从函数图象中获取知识的能力，探索并掌握反比例函数的主要性质．
②通过观察反比例函数图象，分析和探究反比例函数的性质，培养学生的探究，归纳及概括能力．在探究过程中渗透分类讨论思想和数形结合的思想．
③积极参与探索活动，注意多和同伴交流看法；在动手做图的过程中体会乐趣，养成勤于动手，乐于探索的习惯．
3．教学重点、难点
本节课的教学重点: 由反比例函数的图象，结合解析式，探究反比例函数的性质；
本节课的教学难点: 反比例函数自变量取值范围≠0对函数图象的影响．
4．教学过程分析
4．3．1复习提问，引入新知
开门见山:上节课我们类比正比例函数的概念学习了反比例函数的概念，今天我们将继续研究反比例函数的图象与性质．
古人云，温故而知新，让我们一起来回顾一下与本节课相关的知识吧．
问题1：你还记得正比例函数的图象与性质吗
师生活动：学生开火车填表，完成对正比例函数概念，图象与性质的复习．
追问1：正比例函数的图象位置，增减性是有那个量决定的
追问2：我们是怎样研究得到这些性质的呢
今天我们也将用同样的方法研究反比例函数的图象与性质．
师生活动：学生发表见解后，教师活动加强引导，对学生进行及时、正确的评价．
追问3:什么是反比例函数
追问4：反比例函数的比例系数的取值有哪几种情况
设计意图：学生在活动过程中复习回顾相关知识，形成关联，进行类比．
4．3．2类比联想，探索交流
我们先来研究＞0的反比例函数图象与性质．
问题1:反比例函数
k
y
x
=
当＞0时的图象和性质会是怎样的呢
（学生通过解析式可以初步推断出图象所在位置，增减性，但比较抽象，体现出画图的必要性．）
问题2：请画出反比例函数
6
y
x
=
与
12
y
x
=
的图象．
追问1：画函数的图象作图方法及步骤：列表描点连线怎么列怎么描怎么连学生一一回答
用描点法画反比例函数的图象之前，回顾画图步骤，①列表．分析函数解析式自变量的取值范围，关注≠0，也就是说自变量取值时不可以为0． 因为＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y 值．另外函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确．②描点．分析，y 的对应关系，思考得出当＞0时y ＞0，当＜0时y ＜0，也就是说函数图象应该位于一、三象限；并且从对应关系可以看出无论是＞0还是＜0时增大y 反而减小；同时因为≠0，所以图象与坐标轴不相交，只能无限接近轴，y 轴．③连线画出函数图象，强调连出平滑曲线．
师生活动：学生画出反比例函数6y x =
与12y x =的图象．在教学过程中，教师巡视指导学生画图，及时纠错，必要时集体讲解纠错，同时发动学生当小老师，让同学互助．
追问2：请类比正比例函数性质的探究方法，探究6y x =
与12y x =的性质． 师生活动：学生分组讨论，分别从所在象限和增减性去探讨这两个函数图象的性质．
其中增减性的探讨过程中，学生通常会忽视反比例函数图象的不连续性，此时教师不要急于否定学生，也不要害怕学生出错，而应让学生先探讨，出错后教师质疑，让学生自己发现，自己纠错．
教师利用几何画板画出多个＞0的反比例函数图象，然后师生一起从所在象限和增减性两个方面总结6y x =
与12y x =
的性质，从而得出当＞0时反比例函数(0)k y k x =≠的性质，体现出从一般到特殊的思想．（此处可以根据学生情况对图象的对称性也做适当总结）． 问题3：提出质疑，刚才探讨了＞0时反比例函数(0)k y k x =
≠的图象与性质，那么＜0时反比例函数的(0)k y k x =≠图象与性质是怎样的呢
（仍然让学生先猜测＜0的反比例函数的图象与性质，有了刚才的经验，学生可以猜出形状，位置，但增减性不好猜测，教师可以适时强调画图的重要性．）
问题4：请学生画出6y x =-
与12y x =-的图象并说一说它的图象与性质．
师生活动：有了刚才的经验，学生画图速度会明显提高，并且应该可以直接说出这两个函数的性质． 沿用之前的方法，教师几何画板演示，学生从特殊到一般，总结得出＜0的反比例函数图象与性质．
设计意图：问题1，2，3，4的探究类比了前面研究函数的方法，确定＞0和＜0两种情况进行研究．画图过程中，通过先复习再猜测的环节，让学生学习画图的方法以及画图中要注意的问题．然后学生自己动手画图，培养了学生动手画图的能力．学生经历观察、讨论、归纳、总结的过程，培养观察能力和归纳总结能力．问题2通过小组合作学习，让学生得出＜0时反比例函数的性质，培养了学生与他人合作的能力，增强了学生的团队合作意识．
问题5：通过刚才的学习请对反比例函数图象的性质进行归纳总结
师生活动：师生共同归纳总结
①当0k >时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每个象限内y 随x 值的增大而减小．
②当0k <时，双曲线的两支分别位于 第二、四象限，在每个象限内y 随x 值的增大而增
4．3．3运用新知拓展训练
活学活用1：反比例函数
5
y
x
=-
的图象大致是（）
本题给出四个答案，直接考察学生对图象的识别能力．
活学活用2：反比例函数
(0)
k
y k
x
=≠
的图象过点P（-3，2），则它的图
象所在象限是（）象限．
活学活用3：我校食堂有5吨煤，用y表示可以用的天数，用表示每天的烧煤量，则y关于的函数的图象大致是（）
本题给出四个答案，本题目的在于提醒学生在实际问题中要考虑自变量的取值范围．
当堂检测1、函数
20
y
x
=
的图象在第________象限，在每一象限内，y 随的增大而_________．
2、函数
30
-
y
x
=
的图象在第________象限，在每一象限内，y 随的增大而_________．
3、函数y
x
π
=
，当>0时，图象在第____象限，y随的增大而_________．
当堂检测三道题目都是直接考察函数性质的，目的在于帮助学生熟悉反比例函数图象与性质，感受的作用．同时增强学生的自信心．
挑战自我1：已知反比例函数
4k
y
x
-
=
，分别根据下列条件求出字母k的取值范围，
①函数图象位于第一、三象限；
②在第一象限内，
y随x的增大而减小
挑战自我2：反比例函数
21
k
y
x
+
=-
（K为常数）图象位于（）
Ａ．第一、二象限Ｂ．第一、三象限Ｃ．第二、四象限Ｄ．第三、四象限
挑战自我3：若12＜0，则函数y=1与
2
k
y
x
=
在同一坐标系中的图象大致为（）（本题给出了四
个答案，学生判断选择）
设计意图：挑战自我是为了让学生灵活的用反比例函数的性质解决问题，学生在研究每一个问题特点时，能够紧扣性质进行分析，达到理解并掌握性质的目的．
4．3．4课时小结
⑴反比例函数图象是怎样得到的画图时要注意什么问题
⑵反比例函数的性质是什么为什么要强调在每一象限内函数的变化规律
⑶研究反比例函数性质时，我们是利用什么来研究的怎样分类讨论的
⑷本节课你有哪些收获你还有哪些疑问
设计意图：总结提升，锻炼学生总结能力、语言表达能力．
4．3．5布置作业
⑴试用几何画板、Ecel画反比例函数图象；
⑵课本8页习题26．1 第3、4、5、8题．
设计意图：让学有余力的学生，用多媒体技术画图，感受图象的变化趋势．巩固提高，达成目标．
课后反思：本节课，由于时间的问题，初三学生已进入中考复习阶段，所以上课时用的是八年级的学生．八年级的学生刚刚学完函数的概念和函数的图象以及正比例函数相关知识，一次函数还没有学，所以本节课内容对学生来说具有一定难度．但是学生在小学已经接触过正比例关系和反比例关系，所以本节课的设计我都是类比正比例函数来研究的．
教学过程中基本能达到预想，但是在第一遍画函数图象时，仍然有部分学生图象画错，或者列表格时数据算错．纠正完之后，学生能很快改正．在总结性质时，学生对增减性的总结仍忽略了图象的不连续性，但纠正之后也能及时改正．练习题完成非常顺利，说明学生掌握反比例函数的图象和性质情况较好．遗憾之处在于性质总结完之后对的作用没有再次总结提升．。