平面四杆机构的运动分析

优秀设计
平面四杆机构的运动性能研究
摘要：平面四杆机构是主要的常用基本机构之一,应用十分广泛,也是其他多杆机构的基础。

由于连杆机构的性能受机构上繁多的几何参数的影响,呈复杂的非线性关系,无论从性能分析上还是性能综合上都是一个比较困难的工作,尚需作进一步深入研究。

本文基于平面四杆机构的空间模型,将机构实际尺寸转化为相对尺寸,在有限的空间内表示出无限多的机构尺寸类型,从而建立起全部机构尺寸类型和空间点位的一一对应关系,为深入研究平面四杆机构的运动性能与构件尺寸之间的关系提供了基础。

根据曲柄摇杆机构、双曲柄机构、双摇杆机构、单滑块四杆机构的不同特点,详细分析各类机构的运动性能参数与构件尺寸之间的关系,指出构件尺寸的变化对机构运动性能的影响,并绘制相关的运动性能图谱。

针对具有急回特性的Ⅰ、Ⅱ型曲柄摇杆机构,通过深入分析极位夹角与构件尺寸之间的内在关系,获得了Ⅰ型曲柄摇杆机构极位夹角分别小于、等于或大于90°的几何条件以及Ⅱ型曲柄摇杆机构极位夹角一定小于90°的结论,揭示了曲柄摇杆机构设计时作为已知条件的极位夹角和摇杆摆角之间应满足的要求。

本文得出的图谱和相关结论,为工程应用中机构性能分析和机构综合提供了理论依据。

关键词：平面四杆机构空间模型运动性能
Plane four clubs institutions of Sports performance research Abstract:The planar four-bar linkages are one type of basic mechanisms, and they are applied very extensively. The performances of the linkages depend on their geometrical parameters and present the complicated non-linear relations. It is necessary to make the further research on them for analysis, synthesis and application of linkages.By using of the three-dimensional models of the planar four-bar mechanisms, the actual sizes of mechanisms are transformed relative ones, and all size types of mechanisms can be figured by spatial coordinates. It is the foundation for research on the relations between the link dimensions and kinematic capability parameters.Aimed at the different characteristics of crank-rocker mechanism, double-crank mechanism, double-rocker mechanism and single-slider mechanism, some inherent relations between the link dimensions and the kinematic capability parameters are deeply analyzed, then the relative kinematic capability diagrams are obtained.Based on deeply analysis of inherent relations between the extreme position angle and the link dimensions of typeⅠand typeⅡcrank-rocker mechanisms with quick return characteristics, the geometrical conditions are put forward in this paper, by which we can judge whether the extreme position angle of typeⅠcrank-rocker mechanisms is less than, equal to or lager than 90°. It is proved that the extreme position angle of typeⅡcrank-rocker mechanism is certainly less than 90°. The relations between the extreme position angle and the angular stroke of the rocker are brought to light, which should be satisfied during the kinematic design of crank-rocker mechanisms.The diagrams and conclusions obtained in this paper provide theoretic foundation for the capability analysis and synthesis of mechanisms.
Keyword:Planar four-bar linkage Space model Sports Performance
如需源程序联系扣扣 194535455
目录
1 序言
1.1 连杆机构 (1)
1.2 平面连杆机构运动学分析 (2)
1.3 本论文所作的主要工作 (3)
2 平面四连杆机构的类型
2.1 分类概念 (3)
2.2 分类 (4)
3 平面四杆机构运动分析
3.1.1 连杆上任意点的轨迹分析 (6)
3.1.2 Non-grashof机构的运动分析 (8)
3.2 速度分析 (9)
3.3 加速度分析 (10)
4 平面连杆机构曲线分类基准及分类
4.1 曲率 (11)
4.2 弧长 (12)
4.3 回转数 (12)
4.4 结点 (13)
4.5 变曲点、曲率极大点与极小点 (19)
4.6 机构数据库的建立 (20)
4.7 连杆曲线的分类结果 (20)
5 平面连杆机构的仿真设计
5.1 初始运行界面及程序 (23)
5.2 部分仿真结果 (42)
结论 (49)
参考文献 (51)
致谢 (52)
1 序言
连杆机构，是由许多刚性构件通过低副联结而成，也称低副机构。

它是由机构原动件与从动件之间都要通过连杆联结和机架一起构成传动装置，因此称为连杆机构。

低副面接触的结构使连杆机构具有以下一些优点：运动副单位面积所受压力较小，且面接触便于润滑，故磨损减小；制造方便，易获得较高的精度；两构件之间的接触是靠本身的几何封闭来维系的，它不像凸轮机构有时需利用弹簧等力封闭来保持接触。

同时，平面连杆机构也有以下缺点：一般情况下，只能近似实现给定的运动规律或运动轨迹，且设计较为复杂；当给定的运动要求较多或较复杂时，需要的构件数和运动副个数往往较多，这样就使机构结构复杂，工作效率降低，不仅发生自锁的可能性增加，而且机构运动规律对制造、安装误差的敏感性增加；机构中作复杂运动和作往复运动的构件所产生的惯性力难以平衡，在高速时将引起较大的振动和动载荷，故连杆机构常用于速度较低的场合。

以四杆机构为例，四杆机构根据其两个连架杆的运动形式的不同，可以分为曲柄摇杆机构、双曲柄机构和双摇杆机构三种基本形式，应用实例如下：[1]
图1-1 雷达天线调整机构图1-2 汽车雨刮器图1-3 搅拌机
以上图1-1至3为曲柄摇杆机构；
图1-4 惯性筛工作机构图1-5 起重机吊臂结构原理
以上图1-4为双曲柄机构；图1-5 为双摇杆机构
连杆机构根据不同的分类标准由不同的分类方法。

（一）可根据各构件之间的相对运动为平面运动或空间运动，将其分为平面
连杆机构与空间连杆机构（单闭环的平面连杆机构的构件数至少为4，单闭环的空
间连杆机构的构件数至少为3）；
（二）可根据机构中构件数目的多少主要分为两大类：四杆机构，由五杆及
五杆以上组成的多杆机构。

连杆机构中最基本、应用最广泛的机构为平面四杆机构，它是构成和研究多杆机构（如六杆机构）的基础。

连杆机构是常用的主要机构之一，它在一些机械的工作机构和操纵装置中得到
了广泛的应用。

连杆机构能够实现多种运动形式的转换，例如它可把原动件的转动
转换成从动件某种规律的往复移动或摆动，反之也可把往复移动或摆动转换成连续
运动;此外，应用在连杆上点的轨迹可以完成工程上特殊的曲线运动要求.
因此，选取连杆机构中平面四杆机构进行研究是有必要的。

1.1 选题的依据及意义：
选题目的
1．建立研究新机构，新机器发明创造的普遍规律及实用方法的实用基础理论。

2．加速吸收发达工业化国家的先进技术，为本国新机构，新机器的二次设计，二次开发提供理论基础。

3．提出在技术革新和设备改造中提出的新机构，新机器的独特结构和创新构思，是其成为成熟的先进技术。

4．简介一些新机构，新机器实用性结构及技术的应用实例，说明理论对实践的指导作用。

5．为从事机械设计，制造的工程技术人员的知识，技术更新开阔视野提供参考资料。

6．探索平面连杆机构研究的新方法，新思路。

1.2平面连杆机构的运动学分析
平面连杆机构运动分析的方法有很多，主要有图解法、解析法和实验法三种。

其中，图解法包括速度瞬心法和相对速度图解法，形象直观，对构件少的简单的平
面连杆机构，一般情况下用图解法比较简单。

解析法直接用机构已知参数和要求的
未知量建立的数学模型进行求解，也是一种比较好的方法。

作图法和实验法工作量大，设计精度低，仅适用于对机构精度要求不高的场合。

平面连杆机构的运动学分析的过程包括建立运动约束方程和解方程两部分。

平
面连杆机构的运动学分析，就是对机构的位移、轨迹、速度、加速度进行分析。

[3]
这里研究的内容是不考虑机构的外力及构件的弹性变形等影响，仅仅研究在已知原动件的运动规律的条件下，分析机构中其余构件上各点的位移、轨迹、速度、加速度，有了这些运动参数，才能分析、评价现有机械的工作性能。

1.3 本论文所作的主要工作：
此课题的主要目标是系统地对平面四杆机构进行研究，从而来获得连杆机构运动学性能和动力学性能，以便在实际中得到应用。

主要特点是在各个设计进度中将会大量应用计算机高级语言编程来辅助设计和仿真平面四杆机构，主要体现在四个方面：
1 平面四杆机构连杆点的轨迹坐标
2 连杆轨迹曲线分类基准的确定
3 轨迹曲线的分类及运动领域识别
4 运动学仿真软件编制
具体来说，在本论文中，将在第三章平面四杆机构的分类里主要是进行连杆基股上任意点的轨迹计算。

在第四章连杆曲线的几何特征及其分类一章里，主要是对连杆曲线的几何特征（包括曲率、弧长、回转数、结点、变曲点等）进行分析，并根据分析结果对连杆曲线进行分类，建立机构数据库。

在第五章平面连杆机构的运动仿真一章中，主要是运用矢量算法对连杆的速度和加速度进行计算，并根据结果对四杆机构进行VB运动模拟。

2 平面四杆机构的类型
2.1分类概念
在平面机构的范畴，最简单的低配对机构是四连杆。

四连杆包含四个杆件及四个接合配对，如图2.1。

[4]
图2.1. 四连杆机构
如前所言，机构中应有固定杆，此杆通常与地相连，或代表地的状态。

在固定杆之相对杆称为联结杆(coupler link)；与其两端相连的则称为侧连杆(side links)。

一个相对于第二杆可以自由回转360度之连杆，称为对第二杆(不一定固定杆)旋转(revolve)。

而若所有四连杆能变成联机时，此称为变异点(change point)。

有关连杆之重要观念有：1.曲柄(Crank)：相对于固定杆作旋转之侧杆称为曲柄。

2.摇杆(Rocker)：任何连杆不作旋转之连杆称为摇杆。

3.曲柄摇杆机构(Crank-rocker mechanism)：在四连杆系统中，若较短的侧杆旋转，另一侧杆摆动时，此称为曲柄摇杆机构。

4.双曲柄机构(Double-crank mechanism)：在四连杆系统中，若两侧连杆均作回转时，称为双曲柄机构。

5.双摇杆机构(Double-rocker mechanism)：在四连杆系统中，若两侧连杆均为摆动状况时，此称为双摇杆机构。

表2-1 铰链四杆机构及其演化主要形式对比
固定构件四杆机构含一个移动副的四杆机构（e=0）
4 曲柄摇
杆机构
曲柄滑
块机构
1 双曲柄
机构
转动导
杆机构
2 曲柄摇
杆机构
摇块
机构
摆动导
杆机构
3 双摇杆
机构
定块
机构
2.2 分类
在将四连杆机构作分类前，需先介绍几个基本语法。

在四连杆系统中，连杆之定义为两接合间之线段，而其特性可用文字表示如下：
s = 最长杆之长度
l = 最短杆之长度
p, q = 中间长度杆之长度
葛拉索定理(Grashof's theorem )
1. 在四连杆机构中若下述为真则至少有一杆为旋转杆：
s + l <= p + q (2-1)
2. 若下述为真，则所有三个活动连杆必属摇杆：
s + l > p + q (2-2)
第2-1不等式即为葛拉索准则( Grashof's criterion).
所有四连杆所可能发生的情形可参考表2.2之分类。

表2-2 四连杆机构之分类
Case l + s vers. p + q Shortest Bar Type
1<Frame Double-crank
2<Side Rocker-crank
3<Coupler Double rocker
4=Any Change point
5>Any Double-rocker
由表1可知，一个机构若含有曲柄结构，则其最长杆与最短杆之和必须小于或等于其它两杆之和。

但是这仅是必要条件，而非充分条件。

能够符合这项条件之连杆可能有三类：1.当最短连杆为侧杆时，此机构为曲柄摇杆机构，而最短连杆将成为曲柄。

2.当最短连杆成为固定杆时，此系统变成为双摇杆机构。

3.当最短连杆为联结杆时，此机构为双摇杆机构。

四连杆组类型：
葛氏机构(Grashof mechanism) 对于一个四连杆运动链，令最短杆的杆长为r s ，最长杆的杆长为r l ，其余两杆的杆长为r p 和r q 。

若杆长的关系满足下式：
r s +r l <=r p +r q
则至少有一杆能做360o 的旋转，此即为葛氏法则 (Grashof law)。

该机构称为葛氏机构(Grashof mechanism)，否则称为非葛氏机构(Non-Grashof mechanism)。

3 平面四杆机构运动分析
3 .1. 1 连杆上任意点的轨迹分析
如图所示，在直角坐标系XOY 内，平面四杆机构ABCD 的机架DA 、原动件AB 、连杆BC 及从动件CD 的长度分别为a0、a1、a2和a3，原动件、连杆及从动件的角
位移分别为1θ、2θ和3θ。

@
θ2
θ3
θ1 图3-1
此平面四杆机构的环方程为：CB OC AB OA +=+
即 0132a a a a +=+
也可写成矢量方程：
3120132i i i a a e a e a e θθθ+=+ （3.1.0）
改写为两坐标轴的投影方程式为：
2233110cos cos cos θθθa a a a +=+ （3.1.1） 223311sin sin sin θθθa a a += （3.1.2） 由以上两式，利用1cos sin 2222=+θθ消去2θ，得到3θ与输入变量1θ之间的关系式：C B A =+11cos sin θθ (3.1.3) 式中：
3sin θ=A
3
03cos a a B -=θ 31
0312*******cos 2θa a a a a a a a C -++-= 为了用代数方法解式（3.1.3），设x=tan(3θ/2)，按照三角学公式可以写出：
2
312sin x x +=θ 2
2
311cos x x +-=θ 代入式（3.1.3）后可化成如下的二次代数方程式： 0)(2)(2=---+C B Ax x C B （3.1.4） 因而由上式x 的两个解可以得出：
)(
tan 2tan 212113q x q y x B B +±==--θ （3.1.5）
式中： 110cos θa a x B +=
11sin θa y B =
3
22232212a a a y x q B B -++=
212
22q y x q B B -+=
式（
3.1.5）中应该取“+”号；当机构的初始位置为D ABC /时，式（3.1.5）中应该取“-”号。

因此，C 点的坐标就可以表示为：
33cos θa x C = （3.1.6） 33sin θa y C = （3.1.7） 所以，2θ就可以表示为：
)(
tan 12C
B C
B x x y y --=-θ （3.1.8）
因此，连杆上任一点（K 点）的坐标就可以表示为：
)cos(24αθ++=a x x C （3.1.9） )sin(24αθ++=a y y C （3.1.10）
或者，OK 矢量写为：(
)
2334i i K
a e a e θαθ+=+ (3.1.11)
3.1.2 Non-grashof 机构的运动分析
与Grashof 机构不同， Non-grashof 机构的原动件存在着摆角范围，以下对其进行分析：
A
a
B
d
b D
c
C
A
a
B
d
b
D
c
C
图 3.1.1
b c d a +≤+ AB 杆逆时针旋转条件 图 3.4 b c d a -≥- AB 杆顺时针旋转条件
对图3.1.1，由三角形原理，AB 的转动上逆时针旋转受到限制，则转角范围为θ至θ-
()ab
b c d a 2cos 2
22+-+=θ
原动件AB 的转动范围：θθ2=∆
对图3.1.1，由三角形原理，AB 的转动上逆时针旋转受到限制，则转角范围为θ至θ-
()ab
b c d a 2cos 2
22--+=θ
原动件AB 的转动范围θπθ22-=∆
3.2速度分析
将（3.1.0）对时间取导数可得：
31
2312
132i i i d d d a ie a ie a ie dt dt dt
θθθθθθ=+ (3.2.1)
令11
d w dt θ=
，2
2d w dt
θ=，3
3
d w dt
θ=
(3.2.2)
则有：
312112233i i i a ie w a ie w a ie w θθθ=+ （3.2.3）
为了消去2w ，将（3.1.11）式每项各乘2
i e
θ- 得到：
()
(
)
1
232113322i i a ie w a ie w a iw θθθθ--=+ （3.2.4）
取（3.2.3）式实部得：()()
33213
112sin sin a w w a θθθθ-=-
同理，为了消去1w ，将（3.1.11）式每项各乘1
i e θ- 得到：
(
)
(
)3121
113
32
2i i a iw a ie w a ie w θθθθ
--=+ （3.2.5）
取（3.2.4）式实部得：()()
33123
221sin sin a w w a θθθθ-=--
杆4a 上K 点的速度k w 可通过将式（3.1.11）对时间取导数求得：
-(
)
233342i i k
w a w ie a w ie θαθ+=+ （3.2.6）
分别取式（3.2.6）的实部和虚部可得： ()33342
2s i n s i n kx w a w a w θθα=--+
()3334
2
2c o s c o s ky w a w a w θθ
α=++ 所以杆4a 上K 点的速度大小为：
22k kx ky w w w =+
3.3 加速度分析
将式（3.2.3）对时间取导数得：
3
3221123233322
2
122111i i i i i i dw dw a ie a e w a ie
dt dt dw a e w a ie a e w dt
θθθθθθ-+-=- 令：11dw dt ξ=，2
2dw dt ξ=
，3
3dw dt
ξ=
， 可得到：
3322
1
1
23333222
2
221111
i i i i i i a ie a e w a ie a e w a ie a e w θθθθθθξξξ-+-=---------------（3.3.1）
为了消去2ξ，将（3.3.1）式各项乘以2
i e θ-，可得：
(
)(
)
()
()
3232121223333222
2221111
i i i i a ie a w e a i
a w a ie
a w e
θθθθθθθθξξξ-----+-=-
取其实部得：
[()
()()()
2
12233322
2
333211
12112sin cos cos sin a w a a w a w a ξξθθθθθθθθ=+-⎤+----⎦
同理，为了消去1ξ，将（3.3.1）式各项乘以1
i e
θ-得：
(
)
(
)
(
)
()
31312121233332222221111
i i i i a ie a w e a ie a w e
a i a w
θθθθθθθθξξξ-----+-=-
取其实部得：
()()()()
2
211333122
33312221221sin cos cos sin a w a a w a w a ξξθθθθθθθθ⎡=--⎣⎤-----⎦
将式（3.2.6）对时间取导数可以确定K 点的加速度k ξ得；
()()()2
3
22333422i i k a i w e a i w e θαθξξξ+=-+- （3.3.2）
分别取式（3.3.2）的实部和虚部可得：
()()()2333332
42222sin cos sin cos kx a w a w ξξθθξθαθα=-+-
⎡⎤+++⎣⎦
()()()2333332
4222
2c o s s i n c o s
s i n ky a w a w ξξθθξθαθα=-+
⎡⎤+-+⎣⎦
所以杆4a 上K 点的加速度大小为：22k kx ky ξξξ=+
4 平面四杆机构连杆曲线分类
平面四杆机构是连杆机构的基本形式，因此四杆机构连杆曲线的研究就具有普遍的意义。

根据相邻两杆之间能否作整周转动，平面四杆机构分为grashof 和Non-grashof 机构。

Grashof 机构研究已经较为成熟，以下主要就Non-grashof 机构进行研究分析。

Non-grashof 机构的连杆曲线的形状丰富多样，以Non-grashof 机构连杆曲线的几何特征，如结点、回转数、变曲点、曲率极大点等作为分类基准，对它进行自动分类。

4.1曲率K
根据Bobillier ’s 作图法算得曲率半径的倒数，并考虑了连杆曲线上点移动方向的量作为曲线上一点曲率 。

用曲率的绝对值极大点作为曲率极大点，曲率为零的点
作为变曲点 。

C
Q
B
K
G
F
x
y
A P
D
图4-1作图法
根据Bobillier’s 作图法算出的曲率半径的倒数。

对于原动件角位移1θ的增加，考虑到K 的移动方向与曲率中心G 的位置关系，并得到了带有正负号的曲率κ。

作图法具体步骤如下：
（1）、作直线DA ，与直线CB 相交于点P ；作直线AB ，与直线CD 相交于点Q 。

（2）、使β=∠-∠QA QP ，连接QK ，作直线QF 与QK 的夹角等于β。

（3）、连接DF 并与QK 的延长线相交与点G ，则点G 即为所求的曲率中心，因此曲率半径KG =ρ，曲率则为
ρ
κ1
=。

4.2 弧长S
当原动件的原动角θ1=θ
10
时的从连杆曲线上的()00,y x 点开始量得的曲线的
弧长，由下列数值积分求得：
12
121110
θθθθθd d dy d dx S n
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰
（4.1） 4.3 回转数（m ）
用曲率的变化量分割弧长所得的比率作为曲线的回转数（m ），用0、1、2来表示。

()ds
s k m n
⎰=
110
21θθ
π
(a)m =1
(b)m=0
图4-2
4.4 结点
4.4.1 二重点的计算
平面四杆机构ABCD 的机构参数及角位移如图4.7所示。

连杆上的任意点K 坐标
@
θ2
θ3
θ1
图4-3
()y x ,可用下列式子求出：
()βθθ-++=25110cos cos a a a x （4.11） ()βθθ-+=2511sin sin a a y （4.12） 或者:
()αθθ++=2413cos cos a a x （4.13）
()αθθ++=2413sin sin a a y （4.14） 从式（4.11）、（4.12）和式（4.13）、（4.14）中消去1θ后整理得下式:
(){}(){}2
2sin cos sin cos sin cos θββθββy a x y a x +-+--
02226
2
6
2
12
022=+-+-+-
a a a a ax y x （4.15）
()()2
2sin cos sin cos sin cos θααθααy x y x --+
()025
2
5
2322
=+-++
a a a y x
（4.16）
在连杆曲线的二重点处，有两个角位移与之对应。

所以，由上两式可得成为二重点的必要条件式如下:
()ααβ
βsin cos sin cos 0y x y a x +--
()α
αβ
βcos sin cos sin 0y x y a x +-+-0=
整理后得到下式:
()0cot 22=++-+y a ax y x αβ （4.17） 连杆曲线的二重点是由式 (4.17)和曲线的交点共同决定的。

在连杆曲线的二重点处，原动件的角位移1θ和连杆的角位移2θ还必须满足下列关系式（4.18）和（4.19）：
12111sin cos T S R =+θθ （4.18） 式中：
()
()βθαββ
+++=
1101cos 2sin sin a a R
()
()βθαβα
+++=
1101sin 2sin cos a a S
()(){}115
1
05
2
521
1
sin cot cos θβαθ++-+-
=a a
a a a a T
22222sin cos T S R =+θθ （4.19） 式中:
1102cos θa a R += 112sin θa S =
()12
1
2
2
2
3
222120
2
cos 2θa a
a a a a a a T --++-
=
对于平面四杆机构来说，满足式（4.18）和（4.19）是二重点位置关系的必要条件。

4.4.2 结点的计算
grashof 机构的连杆曲线由两条闭曲线构成，因此，二重点是两条曲线的交点（单纯交点），还是一条曲线自身的交点（结点），需要进行判断，而Non-grashof 机构的连杆曲线是一条闭曲线，因此，二重点全部是结点。

原动件的角位移的函数式用下式来考虑：
12121sin cos T S R =+θθ （4.20）
式中：()
()βθβαα
+++=
1101cos 2sin sin a a R
()
()βθβαα
+++=
1101sin 2sin cos a a S （4.21）
()(){}115
1
05
25211sin cot cos θβαθ++-
+-=a a a a a a T 当F=0的情况下，角位移1θ的值即为二重点的位置。

1θ从λθ1变化到μθ1，3
θ从λθ3变化到μθ3，在变化时F 值的符号变化的次数()0000>→<<→>F F F F 或者变化的次数为结点的个数。

因此，0=F 的1θ的值为结点的位置。

根据式（4.20），四杆机构的连杆的角位移可表示如下：
22222sin cos T S R =+θθ （4.22） 式中：1102cos θa a R +=
112sin θa S = （4.23）
()12
1
02
232221202cos 2θa a a a a a a a T --++-=
满足式（4.20）和（4.22）是四杆机构二重点位置的必要条件。

由式（4.20）和（4.22），2c o s θ和2sin θ可以分别表示为：
12211
22
12cos S R S R S T S T --=θ （4.24） 12211
22
12sin S R S R T R T R --=θ
（4.25）
将式（4.24）和（4.25）同时消去2θ可以得到下式：
()()()212212122121221S R S R T R T R S T S T -=-+- （4.26）
再将式（4.21）和（4.23）代入上式，整理得：
sin cos sin cos cos sin cos cos 716151141231122131=++++++h h h h h h h θθθθθθθθ （4.27） 式中：
324141311r r r r q q p p h +-+= 425142412r r r r q q p p h --+=
2221437261435132513s s r r r r r r q q q q p p p p h +--+-+++=
2153627152426142s s r r r r r r q q p p p p h ----++= 316352815361527152s s r r r r r r q q q q p p p p h ----+++= 327382626262s s r r r r q q p p h ---+=
2322837263727s s r r r r q q p p h ----+=
1012a a p =
21202a a p +=
(){}
βα+-⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=22521203cot 1a a a p
()βα+⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=cot 22521204a a a p
()
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+=2510252
152a a
a a a p
()
()βα+⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+=cot 22510252
16a a a a a p
()()βα+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++=2252120252
25217cot a a a a a a p
1014a a q =
()βα+=cot 4102a a q
()
2122034sin a a q ++=
βα
2
2
21204a a a q =
(
)
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-++=2210232
2
21205a a
a a a a a q
()2
22
2322212064a a a a a q -++=
()⎭⎬⎫⎩⎨⎧++=βααβsin sin cos 2101a a r
()⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧+--=βααβsin cos sin 2102a a r
()ββαβ
cos 2sin sin 21203a a r ++=
5
2212042a a a a r =
()βα+⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=cot 25221205a a a a r
()
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-++=52102523222120623a a a a a a a a a r
()
()βα+⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-++=cot 5210232221207a a a a a a a a r
(
)()5
225212
3
2221208a a a a a a a a r +-++=
()⎭⎬⎫
⎩⎨⎧++=βααβsin cos sin 2101a a s
()⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧+-=βααβsin sin cos 2102a a s
()
ββαα
sin 2sin cos 21203a a s ++=
在式（4.27）中，令2
tan 1θ=t ，该方程就变成六次方程式，将该方程的实根，代
入式（4.24）和（4.25）中就可以求得在二重点位置时连杆上的角位移，然后从下式就可以确定二重点的坐标。

()βθθ-++=25110cos cos a a a x （4.28） ()βθθ-+=2511sin sin a a y （4.29） 因为一个二重点处的1θ值有两个，条件式（4.27）具有2、4、6个实根，二重点分别有1、2、3个存在，这个条件式可用数学的方法求得实际的实根值。

4.4.3 结点的识别
式（4.17）的实根为偶数时，给定同一个二重点的两个值()
'11,i i θθ()32,1或=i 与此对应的21θθ及的值分别为()
'22,i i θθ。

四杆机构的连杆和从动件转向是否相反，可用它们之间的夹角的正弦符号来考察，即相对于二重点的机构的两个位置。

()()
0sin sin '1'212>--i i i i θθθθ （4.30）
当上式成立时，这时二重点是一个闭合曲线自身的交点（即结点）。

()()
0sin sin '1'212<--i i i i θθθθ （4.31）
则当上式成立时，相对于二重点机构有不同的两个位置。

这时二重点是两个闭合曲线的交点（单纯交点）。

4.5 变曲点、曲率极大点与极小点
4.5.1 变曲点
连杆曲线上曲率为零的点为变曲点，变曲点由曲率曲线()()()S S f κ1tan -=与1
θ轴的交点来决定，在实际计算中，使1θ的值在其变化范围内变化，求出曲率的符号变化区间，根据区间缩小法来确定变曲点的位置。

k k k k 0
t an k
-1
k i-2
k i-1
i
i+1
j-1
j
图4.5 曲率曲线与变曲点
4.5.2 曲率极大点与极小点
连杆曲线上曲率的绝对值最大的点为曲率极大点，绝对值最小的点为曲率极小点。

原动件角位移1θ从l 1θ到u 1θ按设定的步长变化时，与()n i i →=11θ对应的连杆上的K 点的曲率用Bobillier’s 定理求出，曲率曲线与1θ轴相交的位置，形成的微小区间
{}i i 111,θθ-，用下面函数式（4.32）来判别其符号：
()i i h κκθ111-= （4.32）
即()011<θh 时的区间内的变区点是存在的。

曲率曲线就极值位置是在微小区间{}1221,θθ-i 利用下式来判别符号： ()()()21112-----=i i i i h κκκκθ （4.33）
即()012<θh 时区间内存在曲率极大点或曲率极小点。

在()012<θh 时的区间内把曲率极大点或曲率极小点用式（4.34）来进行符号判别：
()()1113---=i i i h κκκθ （4.34） 即()013<θh 时是曲率极大点，当()013>θh 时为曲率极小点。

4.6 机构数据库的建立
利用随机函数发生法，使随机数()31→=i u i 在区间{}1,0内取值，用下式（4.35）在区间{}5.2,0确定连杆机构的杆长()30→=n a n 。

2.06.1+i u 5.00≤≤i u
=n a ()31→=i （4.35）
38-i u 15.0≤≤i u
表示连杆上任意点的位置的参数4a ，在以()4103210a a a a +++为边的正方形内确定，机构参数()a a ,4用下式（4.36）和（4.37）决定。

224ηξ+=a （4.36）
()ηξ2tan 1-=a （4.37） 通过上述方法建立连杆机构数据库。

4.7 连杆曲线的分类结果
对数据库中的10万个Non-grashof 机构的连杆曲线，用本文提出的分类基准进行了识别，图4.9举例说明了曲线分类代号的意义，顺序依次为：表示Non-grashof 机构的编号、结点数、曲线的回转数、变曲点数、曲率极大点数，其下面的值表示该曲线中出现
N 3052
0.37%
机构类型（双摇杆机构）
结点数
出现率回转数变曲点数曲率极大点数
图4.6 连杆曲线的分类代号
的百分率，曲线出现的百分率是根据该种曲线在10万个连杆曲线中出现的概率计算的，分类结果如表4.1所示,分类后的部分Non-grashof 机构的连杆曲线如图4.10所示。

类型代
出现率类型代号出现率类型代号出现率号
N0120 1.28 N1054 0.74 N2166 0.17
N0130 0.52 N1064 1.62 N2176 0.58
N1022 5.01 N1074 0.89 N2186 0.60
N1032 10.97 N1044 0.71 N2196 0.27
N1042 14.50 N1054 5.50 N3266 0.06
N1052 5.63 N1064 2.63 N3276 0.26
N1062 3.27 N0174 5.50 N3286 0.38
N1072 0.05 N2154 0.17 N3296 0.49
N0132 18.93 N2162 0.70 N3076 0.04
N0142 9.32 N2174 0.35 N1088 0.16
N0152 1.93 N2184 0.06 N1098 0.09
N0162 0.08 N3054 0.26 N0188 0.16
N2132 0.53 N3064 0.51 N2188 0.10
N2142 0.72 N1066 0.42 N2198 0.11
N2152 1.86 N1076 0.73 N3052 0.37
N2162 0.67 N1086 2.25 N0176 0.16
N2172 0.14 N1096 0.13 N10A8 0.05
N3042 2.24 N0166 0.17 N21A8 0.07
表4.1 Non-grashof机构的连杆曲线的分类结果
通过对双摇杆机构的连杆曲线的自动分类问题的研究，可以得到以下结论：
1、Non-grashof机构的连杆曲线可分为56种类型。

2、连杆曲线中N1022是基本曲线，随着基本曲线变化阶段的增加，曲线的出
现率降低。

3、Non-grashof机构的连杆曲线的形态丰富，结点的个数最多为3个，回转数
最多为2。

4、分类结果图：
91.876
89.791
-50.877
N30540.26%
N10660.42%N30760.04%N10880.18%
N10862.25%N10760.75%N10980.09%N1096
0.13%
N30640.51%N10A80.05%
N10440.27%
N10641.62%
a0=100 a1=91.885a2=84.285 a3=88.515a4=172.098 α=-43.948
N10740.89%
N10540.74%
a1=91.876
75 a3=89.791
326 α=-50.877
N0120
1.28%
N0130
0.52%
N013218.93%N01660.17%N01545.50%
N01440.71%εd =14.02
εd =6.89
N01429.32%
εd =11.74
a0=100 a1=91.876a2=85.575 a3=89.791a4=152.326 α=-50.877
N01521.93%
N01620.08%
N01642.63%N10880.16%
N01860.07%
a0=100 a1=91.885a2=84.285 a3=88.515a4=172.098 α=-43.948N01760.16%N01745.50%
5 平面连杆机构的运动仿真
在连杆机构中，当原动件以同样的运动规律运动时，如果改变各构件的相对长度关系，便可使从动件得到不同的运动规律。

在连杆机构中，连杆上的各不同点的轨迹是各不同形状的曲线，而且随着各构件的相对长度关系的改变，这些连杆曲线的形状也将改变，从而可以得到各种不同形状的曲线，我们可以利用这些曲线来满足不同轨迹的要求。

从研究方法来说，优化方法和计算机辅助设计方法的应用已成为研究连杆机构的重要方法，并已相应地编制出大量的适用范围广、计算机时少、使用方便的通用软件。

随着计算技术的提高和现代数学工具的日益完善，很多用一般常规方法不易解决甚至无法解决的复杂的平面连杆机构设计问题可能会逐步得到解决。

因而平面连杆机构的应用一定会更为广泛。

以下主要介绍仿真软件的编程及应用。

5.1程序运行界面及仿真程序：
图5-1 Form1运行界面
说明：
控件类型控件名称属性名称属性值
Label Label1 Caption 平面四杆机构运动仿真与分析CommandButton CommandButton1 Caption 仿真与分析&a CommandButton CommandButton2 Caption 使用说明&e
CommandButton CommandButton3 Caption 退出（Esc）Private Sub Command1_Click()
Form1.Hide
Form2.Show
End Sub
Private Sub Command2_Click()
Form1.Hide
Form3.Show
End Sub
Private Sub Command3_Click()
End
图5-2 Form2运行界面
说明：
控件类型控件名称功能OptionButton OptionButton1 原动件顺时针转动OptionButton OptionButton2 原动件逆时针转动OptionButton OptionButton3 铰接点B、C、D顺时针排列OptionButton OptionButton4 铰接点B、C、D逆时针排列SSTab SSTab1 运动分析结果选项卡
Label LabNAME 显示平面连杆机构的分类结果CommandButton Command1 开始
CommandButton Command2 说明
CommandButton Command4 返回上一个界面
CommandButton Command5 退出
备注：文本框控件及标签数量较多，不一一列举。

主要程序：
Const PI = 3.1415926535
Const DTR = PI / 180 '定义单位弧度VB三角函数均以弧度计算
Dim a0 As Single: Dim a1 As Single '杆长定义
Dim a2 As Single: Dim a3 As Single
Dim a4 As Single: Dim a5 As Single
Dim V1 As Single: Dim V2 As Single 'V1 ，V2，V3 为各杆角度，VV为定位K点的夹角,属输入值,单位:度
Dim V3 As Single: Dim VV As Single
Dim XA As Single: Dim YA As Single 'XA 为A点横坐标,YA为A点纵坐标,依次类推
Dim XB As Single: Dim YB As Single
Dim XC As Single: Dim YC As Single
Dim XD As Single: Dim YD As Single
Dim XK As Single: Dim YK As Single
Dim MM As Single: Dim NN As Single 'Non-grashof 机构的向外和向里的摆动范围余弦Dim VV1 As Single: Dim VV2 As Single '为连杆的转动(摆动)范围角
Dim XXK(1000) As Single: Dim YYK(1000) As Single
Dim V1_STEP As Single '原动件转动的转角步长
Dim ZX As Integer '转向
Dim BCD As Integer 'BCD排列方式
Dim K_Num As Integer
Dim BiLi As Integer '比例
Dim SJ As Single: Dim SJF As Single: Dim ARC As Integer '迭代法计算弧长的参数
Dim ADAC, ADAS, ADA1, ADR1, ADS1, ADT1, ADA2, FC1, GA, PHT, XBT, YBT, THT, XCT, YCT, PST, AT, BT, CTFC2, GCI, FCMM, GCMM As Single
Dim XO, YP, XQ, YQ, XF, YF, QLA4, QLA3, QLA2, QL3, QL2, QL1, QLR, QLQ2, QLQ1, SZ, QLKM, PPP As Single
Dim ND As Integer
Dim QLK(5000) As Single: Dim C2(5000) As Single
Dim HZM, HZM1, HZM11, HZM12, HZMF As Single '回转数
Dim dX_dV1, dY_dV1 As Single '微分表示形式
Dim FG0, H1, QLK1, QLK2, QLK3, HKT, KKD, KKS As Single
Private Sub Form_Load() '加载，初始化
V1_STEP = 1
Picture1.ScaleTop = 4000
Picture1.ScaleLeft = -3200
Picture1.ScaleHeight = -6735
Picture1.ScaleWidth = 8775
Picture2.ScaleTop = 4000
Picture2.ScaleLeft = -4387.5
Picture2.ScaleHeight = -6735
Picture2.ScaleWidth = 8775
Picture3.ScaleTop = 1500
Picture3.ScaleLeft = -300
Picture3.ScaleHeight = -3000
Picture3.ScaleWidth = 4150
Option1.Value = True
Option4.Value = True
End Sub
Private Sub Command1_Click() '开始按纽
SJ = 0: ND = 0: HZM = 0: HKT = 0: KKD = 0: KKS = 0: K_Num = 0: List.Clear '各特征参数初始化为0
'进入仿真后由于输入尺寸各不同的关系,图形可能会与各标签相重叠,故隐藏杆标签
Laba0.Visible = False
Laba1.Visible = False
Laba2.Visible = False
Laba3.Visible = False
Laba4.Visible = False
Laba5.Visible = False
LabA.Visible = False
LabB.Visible = False
LabC.Visible = False
LabD.Visible = False
LabK.Visible = False
a0 = V al(InputBox("请输入a0杆长", "输入参数", 0))
a1 = V al(InputBox("请输入a1杆长", "输入参数", 0))
a2 = V al(InputBox("请输入a2杆长", "输入参数", 0))
a3 = V al(InputBox("请输入a3杆长", "输入参数", 0))
a4 = V al(InputBox("请输入a4杆长", "输入参数", 0))
VV = Val(InputBox("请输入连杆夹角", "输入参数", 0))
Label1.Caption = "a0=" & Format(a0, "######.###") & " " & "a1=" & Format(a1, "######.###") & " " & "a2=" & Format(a2, "######.###") & " " & "a3=" & Format(a3, "######.###") & " " & "a4=" & Format(a4, "######.###") & " " & "VV=" & Format(VV, "######.###")
Picture1.Cls
Picture2.Cls
Picture3.Cls
msg = MsgBox("请检查输入参数是否正确!", 3 + 48 + 0, "数据检查")
If msg = vbYes Then
MsgBox "请点确定继续"
End If
If msg = vbNo Then
msg = MsgBox("转入重输程序", 0, "注意只有一次重输可能")
a0 = V al(InputBox("请输入a0杆长", "输入数值参数", 0))
a1 = V al(InputBox("请输入a1杆长", "输入数值参数", 0))
a2 = V al(InputBox("请输入a2杆长", "输入数值参数", 0))
a3 = V al(InputBox("请输入a3杆长", "输入数值参数", 0))
a4 = V al(InputBox("请输入a4杆长", "输入数值参数", 0))。