非奇异H-矩阵的一组新判定方法

非奇异H-矩阵的一组新判定方法∗
王磊磊;薛媛;刘建州
【摘要】Nonsingular H-matrix plays a significant role in the control theory, the scientific computation and the applications in engineering. However, it is difficult to specify a non-singular H-matrix in practice. In this paper, we partition the row index set by studying the elements of a matrix, and construct a positive diagonal matrix. Then, we apply some tech-niques in inequalities to obtain a new criterion for nonsingular H-matrices. We also obtain several similar results in the cases of irreducible matrices and matrices with non-zero elements chains. These consequences improve and generalize the related results, and the advantage of the proposed consequences are illustrated by several numerical examples.%非奇异H-矩阵在控制理论、科学计算和工程应用中具有重要的作用，但在实际中要判定一给定矩阵为非奇异H-矩阵是有难度的。

本文通过研究给定矩阵元素的性质，对矩阵元素的航标集进行分割，巧妙地构造正对角矩阵和运用不等式的放缩方法，给出了非奇异H-矩阵的一组新的实用性新判定方法。

进一步，将相关结果推广到不可约和具有非零元素链的情形。

最后，我们改进和推广了相关的结果，并举例说明了所得方法的优越性。

【期刊名称】《工程数学学报》
【年(卷),期】2015(000)002
【总页数】10页(P251-260)
【关键词】非奇异H-矩阵;对角占优矩阵;不可约;非零元素链
【作者】王磊磊;薛媛;刘建州
【作者单位】湘潭大学数学与计算科学学院，湘潭 411105; 内蒙古民族大学数学
学院，通辽 028043;湘潭大学数学与计算科学学院，湘潭 411105;湘潭大学数学
与计算科学学院，湘潭 411105
【正文语种】中文
【中图分类】O151.21
1 引言
非奇异H-矩阵是一类在数值代数、数学物理和控制论等领域中有着广泛应用的特
殊矩阵，例如，对线性方程组Ax=b而言，当系数矩阵A为非奇异H-矩阵时，许多经典的迭代算法均是收敛的，同时对目前提出的一些修正算法也是收敛的.因此，寻找非奇异H-矩阵的实用判定条件具有重要意义.自文献[1]给出非奇异H-矩阵的
若干判定条件以来，众多文献研究了这种判定条件的改进和推广[2-12].最近，文
献[11]给出了一组判别非奇异H-矩阵的条件，改进了文献[10]的结果.本文通过巧
妙地构造正对角矩阵和运用不等式的放缩方法，建立了非奇异H-矩阵的一组新判
定方法，改进了文献[10]的结果和文献[11]的部分结果，并举例说明了所得方法的优越性.
本文用表示所有n×n阶复矩阵集合.设记
定义1.1[1] 设如果则称A为严格对角占优矩阵，记为A∈D；若存在正对角阵X，使得AX∈D，则称A为广义严格对角占优矩阵(也称A为非奇异H-矩阵)，记为
若则A的主对角线元素非零，且A至少有一个严格对角占优行，即N3/=Ø.故本文总假设N1∪N2和N3均非空，且矩阵A的主对角线元素非零.
定义1.2[13] 设A=(aij)∈Cn×n不可约，如果|aii|≥Λi(A)(i∈N)，且其中至少有一个严格不等式成立，则称A为不可约对角占优矩阵.
定义1.3[3] 设A=(aij)∈Cn×n，如果|aii|≥Λi(A)(i∈N)，且其中至少有一个严格不等式成立，又对每个等式成立的下标i，都存在非零元素链使得则称A为具非零元素链对角占优矩阵.
引理1.1[13] 设A=(aij)∈Cn×n为不可约对角占优矩阵，则
引理1.2[3] 设A=(aij)∈Cn×n为具非零元素链对角占优矩阵，则
本文首先引入文献[11]中的记号.设A=(aij)∈Cn×n，记
约定当
时，Ki=1(i∈ N1).
文献[10,11]分别给出了如下主要结果：
定理1.1[10] 设A=(aij)∈Cn×n，若对任意的i∈N2，有
且
则
定理1.2[11] 设A=(aij)∈Cn×n，若对任意的i∈N2，有
且
定理1.3[11] 设A=(aij)∈Cn×n，若对任意的i∈N2，有
且
则
下面将给出非奇异H-矩阵的一组新判定方法，并举例说明了所得方法的优越性.
2 非奇异H-矩阵的一组新判定方法
为了便于叙述，本文继续引入如下几个新记号.设A=(aij)∈Cn×n，记
当
时，约定
定理2.1 设A=(aij)∈Cn×n，若对任意的i∈N2，有
且
则
证明显然
从而则0≤ β≤1.
(a.1) 由于
故存在正数ε1，使得
即
故i∈N3时，有
取D1=diag(d1,d2,···,dn),B=(bij)n×n=AD1，其中
由式(6)和式(7)可知，一定存在充分小的正数ε2，使得
又对任意的i∈N2，由式(4)可知，对上述充分小的正数ε1和ε2，有
进一步，令其中
(b.1) 对任意的由式(8)可得
(b.2) 对任意的由式(9)可得
综上知证毕
注2.1 显然
故定理2.1改进了定理1.1.此外，定理2.1还局部优于定理1.2(见例3.1).
由引理1.1和引理1.2，以及定理2.1的证法，可得到在不可约和非零元素链下的相应结论.
定理2.2 设且对任意的满足
若A还满足下列条件之一，则A∈D：
(i) A不可约，且或式(10)中至少有一个严格不等式成立；(ii) 且对任意的，存在非零元素链/=0，使得其中
定理2.3 设若对任意的有
且
则
证明显然因
所以及式(11)可知，一定存在正数满足
和
于是，由
由式(12)和式(13)可知，一定存在正数使得
取其中即
显然，由式(14)、(15)可得而
故对任意的有
综上所述，对任意的证毕
注2.2 因故定理2.3改进了定理1.3(见例3.2).
由引理1.1和引理1.2及定理2.3的证法，亦可得到在不可约和非零元素链下的结论.
定理2.4 设且对任意的A满足
若A还满足下列条件之一，则
(i) A不可约，且式(16)中至少有一个严格不等式成立；
(ii) 且对任意的存在非零元素链/=0，使得其中
3 数值实例
例3.1 令
则
计算易得
故无法用定理1.1和定理1.2来判断矩阵A是非奇异H-矩阵.而
即矩阵A满足定理2.1的条件，故当取
时，有AX∈D.
例3.2 考虑矩阵
显然
由于
故矩阵A无法满足定理1.3的条件.而
即矩阵A满足定理2.3的条件，故当取
时，有AX∈D.
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