2019-2020学年新人教A版必修二 平面向量的概念与表示 教案

平面向量的概念与表示课程目标
知识提要
平面向量的概念与表示
向量的基本概念
我们把既有方向，又有大小的量叫做向量（vector）．
带有方向的线段叫做有向线段．我们在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以
为
起点、为终点的有向线段记做，起点写在终点的前面．
有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．
向量可以用有向线段来表示．向量的大小，也就是向量的长度（或称模），记做，长度为的向量叫做零向量（zero vector），记做．零向量的方向不确定．长度等于个单位的向量，叫做单位向量（unit vector）．
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（parallel vectors），向量、平行，通常记做
．
规定零向量与任一向量平行，即对于任意向量，都有．
相等向量与共线向量
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量（equal vector）．向量与相等，记做．
任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量（collinear vectors）．
精选例题
平面向量的概念与表示
1. 已知向量，是两个非零向量，，分别是与，同方向的单位向量，则①；
②或；③；④，其中结论正确的序号为．
【答案】④
2. 把同一平面内所有模不小于，不大于的向量的起点移到同一点，则这些向量的终点构成的图形是．
【答案】圆环面
【分析】将平面中所有长度为的向量的起点移到同一点则该向量终点在以为圆心，
以为半径的圆上，
所以，所有长度不小于，不大于的向量将起点移到同一点，终点在一个内径为，外径
为的圆环面上．
3. 如图，四边形为正方形，为等腰直角三角形．图中与共线的向量有；
图中与相等的向量有；图中与模相等的向量有；图中与相
等的向量有．
【答案】，，，，，，；，；，，，，，，，，；
【分析】由平面中的位置关系及大小确定向量间的关系．
4. 若向量则 | | ．
【答案】
5. "向量与是两平行向量"的正误是．
【答案】正确
6. 有以下个条件：①；②；③与的方向相反；④或；
⑤与都是单位向量．其中能使成立的是．（填正确的序号）
【答案】①③④
【分析】共线向量是指向量所在的基线平行或重合，零向量与任何向量共线，故①③④正确．
7. 一艘船以的速度出发向垂直于对岸的方向行驶，而船实际的航行方向与水流成，则船的实际速度的大小为，水流速度的大小为．
【答案】；
8. 如图，是正三角形的中心；四边形和均为平行四边形，则与向量
相等的向量有；与向量共线的向量有；与向量的模相等的向量有．（填图中所画出的向量）
【答案】；，；，，，，
【分析】因为是正三角形的中心，
所以，
所以结合相等向量及共线向量定义可知：
与相等的向量有；
与共线的向量有，；
与的模相等的向量有，，，，．
9. 若是的单位向量，则与的方向，且．
【答案】相同；
【分析】根据．
10. 是正三角形，那么与的夹角是度．
【答案】
11. 在四边形中，，则这个四边形的形状是．
【答案】平行四边形
【分析】由可得且，
所以四边形是平行四边形．
12. 给出下列命题：①和的模相等；②方向不同的两个向量一定不平行；③向量就是有向线段；④，⑤．其中正确的命题是．（填序号）
【答案】①
13. 向量：既有，又有的量叫向量．
【答案】大小；方向
14. 若，与反向，，则．
【答案】
【分析】，与反向，，则．
15. "平行向量的方向一定相同"的正误是．
【答案】错误
【分析】平行向量的方向可以相同或相反．
16. "当且仅当时，四边形是平行四边形"的正误是 .
【答案】错误
【分析】四边形是平行四边形；但时，这四点可能在一条线上，故反过来不正确．
17. 向量的有关概念：
（1）零向量：长度为的向量叫做零向量，记作．
（2）单位向量：长度为的向量叫做单位向量．
（3）相等向量：且的向量叫做相等向量．
（4）平行向量（共线向量）：方向的向量叫做平行向量，也叫共线向量．
①记法：向量平行于，记作．
②规定：零向量与平行．
【答案】（1）；（2）（3）长度相等；方向相同（4）相同或相反；非零①
②任一向量
18. 给出下列命题：
①若，则；
②若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；
③若，，则；
④的充要条件是且；
⑤若，，则．
其中正确的序号是．
【答案】②③
19. 如图，设是正六边形的中心，则图中与向量相等的向量是，与
相等的向量是，与相等的向量是．
【答案】，；，；，，
20. 在四边形中，＝且＝，则四边形的形状为．
【答案】菱形
21. 如图，半圆的直径，是半圆上的一点，，分别是，上的点，且，
，．
(1)求证：向量；
【解】由题意知，在中，，，，
所以．
又点为半圆上一点，则．
所以，故．
(2)求．
【解】由知．
所以，即．
所以，即．
22. 如图所示的方格纸由若干个边长为的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点，，点为小正方形的顶点，且．
(1)画出所有的向量；
【解】画出所有的向量如图所示．
(2)求的最大值与最小值．
【解】由所画的图知，
当点位于点或时，取得最小值；
当点位于点和时，取得最大值，
所以的最大值为，最小值为．
23. 如图所示，在梯形中，若、分别为腰、的三等分点，且，
，求．
【解】解：如图，过作，分别交、于点、，
因为，
所以．
因为，
所以．
又、分别为腰、的三等分点，
所以为的三等分点，
所以，，
所以，
所以．
24. 如图所示，点是正六边形的中心，则以图中，，，，，，七点中的任一点为起点，与该点不同的另一点为终点的所有向量中，设与向量相等的有个，与模相等的向量有个，与共线的向量有个，求，，的值．
【解】与向量相等的向量有个，分别为，，，即；
与向量模相等的向量共有个，即；
与共线的向量共有个，即．
25. 已知是坐标原点，点在第一象限，，，求向量的坐标．
【解】设点，则
，
，
即，所以．
26. 如图所示，是正六边形的中心，且，，．
(1)与的长度相等的向量有多少个？（只考虑图中能用字母表示的向量）
【解】与的长度相等的向量有个．
(2)与的长度相等且方向相反的向量有哪些？
【解】与的长度相等且方向相反的向量有，，，．
(3)与共线的向量有哪些？
【解】与共线的向量有，，，，，，，，．
(4)请一一列出分别与，，相等的向量．
【解】与相等的向量有，，；与相等的向量有，，；与相等的
向量有，，．
27. 如图是中国象棋的半个棋盘，“马走日”是象棋中马的走法．马可从跳到，也可以跳到
，用向量，表示马走了"一步"．试在图中画出马在，处走了“一步”的所有情况．
【解】马在处只有处可走，在处有处可走．
图形中马的走法如下：
28. 中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字．如图是中国象棋的半个棋盘，若马在处，
可跳到，也可跳到，用向量，表示马走了“一步”，试在图中画出马在，处
走了“一步”的所有情况．
【解】如图所示．
马在处有条路可走，在处有条路可走，而在处有条路可走，解题时应做到不重、不漏．
29. 如图，已知＝＝．求证：
(1)；
【解】因为＝，
所以＝，且．
又因为不在上，所以．
所以四边形是平行四边形．
所以＝．
同理＝＝．
所以．
(2)＝＝．
【解】因为四边形是平行四边形，
所以，且＝．
所以＝．同理可证＝．
30. 在如图的方格纸上，已知向量，每个小正方形的边长为．
(1)试以为终点画一个向量，使＝；
【解】根据相等向量的定义，所作向量与向量平行，且长度相等，如图．
(2)在图中画一个以为起点的向量，使＝，并说出向量的终点的轨迹是什么？
【解】由平面几何知识可知所有这样的向量的终点的轨迹是以为圆心，半径为的圆．
31. 如图，，，，是上的八个等分点，则在以，，，及圆心九个点
中任意两点为起点与终点的向量中，
(1)模等于半径的向量有多少个？
【解】模等于半径的向量只有两类，一类是，共个；另一类是
，也有个．两类合计共个．
(2)模等于半径的倍的向量有多少个？
【解】以，，，为顶点的的内接正方形有两个，一个是正方形；另一个是正方形．
在题中所述的向量中，只有这两个正方形的边（看成有向线段，每一边对应两个向量）的长度为半径的倍．
所以模为半径的倍的向量共有个．
32. 如图所示，是正六边形的中心，且＝＝＝．
(1)与的模相等的向量有多少个？
【解】与的模相等的向量有个．
(2)与的长度相等，方向相反的向量有哪些？
【解】与的长度相等且方向相反的向量有．
(3)与共线的向量有哪些？
【解】与共线的向量有．
(4)请一一列出与相等的向量．
【解】与相等的向量有；与相等的向量有；与相等的向量有．
33. 某人从点出发向西走了到达点，然后改变方向向北偏西走了到达点．作出向量，，．
【解】作出向量如图所示．
34. 如图，在矩形中，，、分别为和的中点．（只考虑以、、、、、为起点和终点的所有向量）
(1)与向量相等的向量有哪些？与向量相反的向量有哪些？
【解】与向量相等的向量有，；
向量的相反向量有，，．
(2)与向量相等的向量有哪些？与向量相反的向量有哪些？
【解】与向量相等的向量有，，；
向量的相反向量有，，，．
(3)长度为的相等的向量有几对？
【解】长度为的相等的向量有与，与，与，与，共
对．
(4)长度为的相等的向量有几对？
【解】长度为的相等的向量有对，其中与同向的有对，与反向的有对，与同向的有对，与反向的有对，共对．
35. 如图，已知平面上一点和向量，作出同时满足下列三个条件的向量：
（）以点为起点；
（）与的长度相等；
（）与平行．
【解】如图，、即为所求．
36. 如图所示，为正方形对角线的交点，四边形，都是正方形．
(1)分别写出与，相等的向量；
【解】与相等的向量为，，．
与相等的向量为，，．
(2)写出与共线的向量；
【解】与共线的向量有，，，，，，，，．
(3)写出与的模相等的向量．
【解】与的模相等的向量为，，，，，，，，，，，，，，．
37. 已知向量，，且，求，的值．
【解】根据两向量相等的充要条件是对应坐标相等，可得到解得
38. 一艘军舰从基地出发向东航行了到达基地，然后改变航线向东偏北航
行了到达岛，最后又改变航线向西航行了到达岛．
(1)试作出向量，，；
【解】建立如图所示的直角坐标系，向量，，即为所求．
(2)求．
【解】根据题意，向量与方向相反，故向量．
又，
四边形为平行四边形，
，
（海里）．
39. 如图，在等腰梯形中，，对角线与相交于点，是过点且平行于的线段．
(1)写出图中与共线的向量；
【解】图中与共线的向量有，，，．
(2)写出图中与方问相同的向量；
【解】图中与方向相同的向量有，，，．
(3)写出图中与，的模相等的向量；
【解】图中与的模相等的向量有，与的模相等的向量有．
(4)写出图中与相等的向量．
【解】图中与相等的向量为．
40. 如图所示，的三边均不相等，、、分别是、、的中点．
(1)写出与共线的向量；
【解】因为、分别是、的中点，
所以且．又因为是的中点，
所以与共线的向量有：．
(2)写出与的模大小相等的向量；
【解】与模相等的向量有：．
(3)写出与相等的向量．
【解】与相等的向量有：与．
课后练习
1. 下列各种情况中，向量的终点在平面内各构成什么图形．
①把所有单位向量移到同一起点；
②把平行于某一直线的所有单位向量移到同一起点；
③把平行于某一直线的一切向量移到同一起点．
①；②；③．
2. 四边形中，，．则四边形为．
3. 已知在矩形中，，，则的模等于．
4. （1）下图中，小正方形的边长为，则，，
；
（2）把平面上一切单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形
是．
5. 对于下列命题：
①相反向量就是方向相反的向量；②不相等的向量一定不平行；③相等的向量一定共线；④共线的单位向量一定相等；⑤共线的两个向量一定在同一条直线上．
其中真命题的序号为．
6. "向量与是共线向量，则四点必在同一直线上"的正误是．
7. 若某人从点出发向东走至点，从点向北走至点，则点相对于点的位置向量为．
8. 已知，则．
9. " 与共线，与共线，则与也共线"的正误是．
10. 判断题：
（1）与是两平行向量．
（2）若是单位向量，也是单位向量，则．
（3）长度相等且方向相反的两个向量不一定是平行向量．
（4）与任一向量都平行的向量为零向量．
（5）四边形是平行四边形，当且仅当．
（6）两向量相等，当且仅当它们的起点相同，终点也相同．
（7）若，，则．
（8）若，且，则四边形是菱形．
（9）若与是共线向量，则，，，四点必在同一直线上．
11. 如图所示，、分别为边、的中点，则与向量共线的向量
有（将图中符合条件的向量全写出来）．
12. 下列命题中，正确的是．（填序号）
①；
②；
③；
④．
13. 若非零向量与互为相反向量，给出下列结论：
①；②；③；④，其中所有正确结论的序号为．
14. 一架飞机向北飞行千米后，改变航向向东飞行千米，则飞行的路程为；
两次位移的和的方向为，大小为千米．
15. 若平面向量、满足，，且以向量、为邻边的平行四边形的面积为，则和的夹角的取值范围是．
16. 在平面上下列各种情形中，各向量的终点的集合分别构成什么图形？请将答案填在横线上．（1）把所有单位向量的起点平移到同点；．
（2）把平行于直线的所有单位向量的起点平移到直线上的点；．
（3）把平行于直线的所有向量的起点平移到直线上的点．．
17. ”单位向量不一定都相等“的正误是（填“正确”或“错误”）．
18. 向量的几何表示：以为起点，为终点的向量记作．
19. 给出下列命题：
①若，则向量与的长度相等且方向相同或相反；
②对于任意非零向量与，若，且与的方向相同，则；
③非零向量与非零向量满足，则向量与方向相同或相反；
④向量与是共线向量，则，，，四点共线；
⑤若，且，则．
其中正确命题的个数为．
20. 已知为正六边形，若向量，则；
（用坐标表示）．
21. 判断下列各命题是否正确：
(1)零向量没有方向；
(2)若，则；
(3)单位向量都相等；
(4)向量就是有向线段；
(5)若，，则；
(6)若，，则；
(7)若四边形是平行四边形，则，．
22. 如图，已知矩形中，设点集，求集合且
．
23. 在单位圆中，是的中点，过且，，，则在向量，
，，，，，，，中，
(1)找出相等的向量；
(2)找出单位向量；
(3)找出与共线的向量；
(4)求向量，的长度．
24. 判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由．
(1)向量与是共线向量，则、、、四点必在同一条直线上；
(2)单位向量都相等；
(3)任一向量与它的相反向量不相等；
(4)四边形是平行四边形，则；
(5)如果一个向量的方向不确定，那么这个向量的长度一定为；
(6)共线的向量，若起点不同，则终点一定不同．
25. 判断正误，并简要说明理由．
；
；
；
；
若，则对任一非零向量，有；
若，则与中至少有一个为；
若与是两个单位向量，则．
26. 如图，四边形和都是平行四边形．
(1)写出与向量相等的向量；
(2)若，求．
27. 一辆消防车从地去地执行任务，先从地向北偏东方向行驶千米到地，然后从地沿北偏东方向行驶千米到达地，从地又向南偏西方向行驶千米才到达地．
(1)在如图所示的坐标系中画出，，，；
(2)求地相对于地的位置向量．
28. 判断下列命题的真假．
(1)作用力与反作用力是一对大小相等、方向相反的向量；
(2)数轴是向量；
(3)温度是向量．。