江苏省南通市海安市实验中学2021-2022学年高二上学期第一次月考数学试题

江苏省南通市海安市实验中学2021-2022学年
高二上学期第一次月考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1、直线ππ2cos 30,63x y αα⎛⎫
⎡⎤--=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝
⎭的倾斜角的取值范围是( )
A.ππ,63⎡⎫
⎪⎢⎣⎭ B.ππ,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.π2π,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦
2、以(,1)a 为圆心，且与两条直线240x y -+=与260x y --=都相切的圆的标准方程为( )
A.22(1)(1)5x y -+-=
B.22(1)(1)5x y +++=
C.22(1)5x y -+=
D.22(1)5x y +-=
3、设a 、b 、c 分别是△ABC 中A ∠、B ∠、C ∠所对边的边长，则直线sin A c
y x a a
=-
-与sin sin 0bx y B C -+=的位置关系是（ ）
A.平行
B.垂直
C.重合
D.平行或重合
4、一束光线从点(2,3)A -射出，经x 轴反射后与圆2
2
64110x y x y +--+=相交于B 、C 两点，且||2BC =，则反射光线所在直线的斜率为( ) A.
65或5
6
B.
45或5
4
C.
43或3
4
D.
32或2
3
5、已知圆C ：222
245200()x y mx my m m R +-++-=∈上存在两个点到点(1,2)A -的距离为
5，则m 可能的值为( ) A ．5
B ．1
C ．1-
D ．3-
6、已知直线
1110a x b y ++=和直线
2210
a x
b y ++=都过点(2,1)A ，则过点()111,P a b 和点
()
222,P a b 的直线方程是( )
A ．210x y ++=
B ．210x y -+=
C ．210x y +-=
D ．210x y ++=
7、若方程2
12x x m -=+有实数解，则实数m 的取值范围是( )
A ．[3,0)[2,)-⋃+∞
B ．[3,0)(0,3]-⋃
C ．(,3][2,)-∞-⋃+∞
D ．(,2][2,)-∞-+∞
8、已知圆22:2220M x y x y +---=，直线:220l x y ++=，P 为l 上的动点过点.P 作圆M 的切线P A ,PB ，切点为A 、B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为( ) A.210x y --=
B.210x y +-=
C.210x y -+=
D.210x y ++=
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9、已知平面上一点(5,0)M ，若直线l 上存在点P 使4PM =，则称该直线为点M 的“相关直线”，下列直线中是点M 的“相关直线”的是( ) A.1y x =+
B.2y =
C.430x y -=
D.210x y -+=
10、以下四个命题表述正确的是( ) A ．直线(
)()
34330m x y m m R ++-+=∈恒过定点(
)
3,3--
B ．圆22
4x y +=上有且仅有3个点到直线:20l x y -+=的距离都等于1
C ．曲线
22120
C :x y x ++=与曲线
222480
C :x y x y m +--+=恰有三条公切线，则4m =
D ．已知圆22:4C x y +=，点P 为直线1
42x
y
+=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线,PA PB ，
,A B 为切点，则直线AB 经过定点()1,2
11、已知实数x ，y 满足方程22410x y x +-+=，则下列说法错误的是( )
A.y x -2
B.22x y +的最大值为7+
C.
y x
D.x y +的最大值为2
12、已知圆22:(cos )(sin )1M x y θθ++-=，直线:l y kx =，则下列命题中正确的是( ) A.对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 有公共点
B.对任意实数θ，必存在实数k ，使得直线l 与圆M 相切
C.对任意实数k ，必存在实数θ，使得直线l 与圆M 相切
D.存在实数k 与θ，使得圆M 上有一点到直线l 的距离为3 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13、已知直线
1:32l mx y m
+=-，
2:(2)1
l x m y ++=. 若
12
l l //，则实数m =______；若
12
l l ⊥，则实数m =______.
14、直线l 被两条直线1:430l x y ++=和2:3550l x y --=截得的线段的中点为()1,2P -，则直线l 的方程为______.
15、直线1y kx k =-+与圆224x y +=交于,A B 两点,则AB 最小值为______.
16、已知圆222:2210M x y ax by a +--+-=与圆22:2220N x y x y +++-=交于,A B 两点,且这两点平分圆N 的圆周,则圆M 半径最小时圆M 的方程为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17、求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）经过两点(2,⎛- ⎝⎭
;
（2）过点，且与椭圆22
1259
y x +=有相同的焦点．
18、若直线l 将圆()()2
2
129x y -++=平分，且在两坐标轴上的截距相等，则求直线l 的方程。

19、在△ABC 中，BC 边上的高所在直线的方程为210x y -+=，A ∠的平分线所在直线方程为0y =，若点B 的坐标为(1,2)． （1）求点A 和点C 的坐标；
（2）求AC 边上的高所在的直线l 的方程．
20、已知圆22:(3)(4)4C x y -+-=
若直线l 过点(2,3)A 且被圆C 截得的弦长为求直线l 的方程
若直线l 过点(1,0)B 与圆C 相交于,P Q 两点，求△CPQ 的面积的最大值，并求此时直线l 的方程.
21、已知坐标平面上两个定点
()0,4A ,()0,0O ,动点(),M x y 满足：3MA OM
=.
(1) 求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
(2) 记(1)中的轨迹为C ,过点1,12N ⎛⎫
- ⎪
⎝⎭的直线l 被C 所截得的线段的长为求直线l 的方程.
22、已知直线:43100l x y ++=,半径为2的圆C 与l 相切,圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方.
(1) 求圆C 的方程;
(2) 过点()1,0M 的直线与圆C 交于,A B 两点(点A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ,使得x 轴平分ANB ∠?若存在,求出点N 的坐标;若不存在,请说明理由
【参考答案】
一、单选题 1.B
【解析】直线2cos 30x y α--=的斜率2cos k α=,
因为ππ,63α⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦,所以1cos 2α⎡∈⎢⎣⎦
又2cos k α=,所以k ∈
设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈
又[0,π)θ∈,所以ππ,43θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,即倾斜角的取值范围是ππ,43⎡⎤
⎢⎥⎣⎦.
2.A
【解析】依题意可知点(,1)a 到两条直线的距离相等，=
，解得1a =，
∴圆心为()1,1=，即所求圆的标准方程为22(1)(1)5x y -+-=.
3.B
【解析】依题意得，
sin sin a b
A B
=
. sin 0B ≠，∴直线sin sin 0bx y B C -+=化简变形为sin sin sin b C
y x B B
=+
， 设直线sin sin sin b C y x B B =+
的斜率为2k ，则2sin b
k B =， 设直线sin A c y x a a =--的斜率为1k ，则1sin A
k a =-
， 12sin sin 1sin sin A b A a
k k a B a A
∴⋅=-⋅=-⋅=-
∴两直线垂直.选B 4.C
【解析】圆的方程可化为.(x －3)2+(y －2)2=2 易知(2,3)A -关于x 轴对称的点为(2,3)A '--.
如图所示，易知反射光线所在直线的斜率存在，设为k ， 其方程为3(2)y k x +=+，即230kx y k -+-=，
∵|BC |=2，∴圆心(3，2)到直线230kx y k -+-=
的距离为1d =
=，
化简得21225120k k -+=，解得43k =
或3
4
k =.故选C.
5.C
【解析】以(1,2)A -为圆心，以1
5r =为半径的圆A ：
()()22
125x y -++=，
圆C ：2
2
2
245200()+-++-=∈x y mx my m m R ，圆心为()
,2C m m -，半径225r =，
圆心距
()()
22
21225105
AC m m m m =
-+-+=-+，由题意可得两圆相交，
即22555105255m m -<+<+-，解得()()2,02,4m ∈-.
故选：C 6.A 【解析】把()
2,1A 坐标代入两条直线
1110
a x
b y ++=和
2210
a x
b y ++=,
得
11210a b ++=,22210a b ++=,()1221
2a a b b ∴-=-,
过点()111,P a b ,()222,P a b 的直线的方程是：11
2121y b x a b b a a --=
--,
()
112y b x a ∴-=--,则
()11220
x y a b +-+=,
11210a b ++=,1121a b ∴+=-,∴
所求直线方程为：210x y ++=． 故选 ：A. 7.C
【解析】由方程212x x m -=+有实数解转化为()21f x x =-与()2g x x m =+图像有交点，
()21
f x x =-即
()
2210x y y -=≥ 表示等轴双曲线x 轴上方的部分，
()2g x x m
=+表示平
行直线系，斜率都为2；把2y x =向左平移到
()1,0- 处，m 有最小值，
即202m m -+=∴=，
故2m ≥；把2y x =向右平移到与双曲线相切时m 有最小值，
22222
23410,4120
1y x m
x mx m m x y =+⎧⇒+++==-=⎨-=⎩得m =,
由题意可得与右支相切时m =m ≤ 综上：实数m 的取值范围是][(),32,-∞-
⋃+∞
故选C 8.D
【解析】22(1)(1)4,2,(1,1)x y r M -+-==. 如图，由题可知，AB PM ⊥,
(
)||||22AM
P PBM
APBM PM AB S S
S
⋅==+四边形2(||||)PA PB =+,
||||PA PB =,222||||4||4||||4||4PM AB PA PM AM PM ∴⋅==⨯-=-,
当PM 最小时，||||PM AB ⋅最小，易知
min ||PM =
此时1PA =，AB
l ，设直线AB 的方程为2(2)y x b b =-+≠-，
圆心M 到直线AB 的距离为
d =，
4||
PA AB PM ==，2
22||2AB d MA ∴+=， 即
2(3)4
455
b -+=，解得1b =-或7b =（舍）. 综上，直线AB 的方程为21y x =--，即210x y ++=，故选D. 二、多选题 9.BC
【解析】选项A 中，点M 到直线1y x =+
的距离4d =
=>，即点M 与该直
线上的点的距离的最小值大于4，所以该直线上不存在点P ，使4PM =，故A 中的直线不是点M 的“相关直线”；
选项B 中，点M 到直线2y =的距离|0224|d =-=<，即点M 与该直线上的点的距离的最小值小于4，所以该直线上存在点P ，使4PM =，故B 中的直线是点M 的“相关直线”； 选项C 中，点M 到直线430x y -=
的距离4d =
=，即点M 与该直线上的点的
距离的最小值等于4，所以该直线上存在点P ，使4PM =，故C 中的直线是点M 的“相关直线”；
选项D 中，点M 到直线210x y -+=
的距离4d =
=
>，即点M 与该直线上的点的距离的最小值大于4，所以该直线上不存在点P ，使4PM =，故D 中的直线不是点M 的“相关直线”. 故选BC. 10.BCD
【解析】对于选项A ：由
()()34330m x y m m R ++-+=∈可得：()33430m x x y +++-=，
由30
3430x x y +=⎧⎨+-=⎩可得33x y =-⎧⎨=⎩，所以直线恒过定点()3,3-，故选项A 不正确；
对于选项B ：圆心(
)
0,0到直线:20l x y -+=的距离等于1，圆的半径2r
，
平行于:20l x y -+=且距离为1的两直线分别过圆心以及和圆相切， 故圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1，故选项B 正确； 对于选项C ：由22120
C :x y x ++=可得
()2
211
x y ++=，圆心
()
11,0C -，
11
r =，
由
222480
C :x y x y m +--+=可得
()()2
2
24200
x y m -+-=->，
圆心()
22,4C ，220r m =-，由题意可得两圆相外切，所以1212C C r r
=+， 即
()
2
2124120m
--+=+-，解得：4m =，故选项C 正确；
对于选项D：设点P坐标为
(),m n
，所以
1
42
m n
+=
，即24
m n
+=，
因为PA、PB分别为过点P所作的圆的两条切线，所以CA PA
⊥，CB PB
⊥，
所以点,A B在以OP为直径的圆上，以OP为直径的圆的方程为
2
22
22
m n
x y
⎛⎫⎛⎫
-+-=
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
整理可得：220
x y mx ny
+--=，与已知圆22
:4
C x y
+=相减可得4
mx ny，
消去m可得：
()
424
n x ny
-+=
即
()2440
n y x x
-+-=
，由
20
440
y x
x
-=
⎧
⎨
-=
⎩可得
1
2
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩，
所以直线AB经过定点
()
1,2
，故选项D正确.
故选：BCD.
11.CD
【解析】对于A，设z y x
=-，则y x z
=+，z表示直线y x z
=+的纵截距，
当直线与圆2
(2)
x-+23
y=≤，解得22
z
≤≤，
所以y x
-2，故A说法正确；
对于B，22
x y
+的几何意义是表示圆上的点到原点距离的平方，
易知原点到圆心的距离为2，则原点到圆上的最大距离为2，
所以22
x y
+的最大值为2
(27
=+，故B说法正确；
对于C，
y
x
的几何意义是表示圆上的点与原点连线的斜率，则
y
x
的最大值为tan60︒=，故C说法错误；
对于D，设m x y
=+，则y x m
=-+，m表示直线y x m
=-+的纵截距，
当直线与圆22
(2)3
x y
-+=≤22
m
≤，
所以x y
+2，故D说法错误.
故选C D.
12.AC
【解析】圆心(cos,sin)
Mθθ
-到直线l的距离
|sin()|
dθϕ
===+，其中tan k
ϕ=.
1
d ≤，∴直线l与圆M有公共点，A正确；
当0
θ=
时，1
d=<恒成立，即不存在k使得直线l和圆M相切，B错误；
不论k为何值，|sin()|1
dθϕ
=+=有解，即存在实数θ，使得直线l与圆M相切，C正确；
1
d ≤，∴圆上任一点到直线l的距离不超过1
d+，且12
d+≤，D错误.
故选AC.
三、填空题
13.3-
3
2
-
【解析】因为直线1
:32
l mx y m
+=-
，
()
2
:21
l x m y
++=
，
所以当12
l l//
时，
()2310
m m+-⨯=
,解得3
m=-或1
m=，
当1
m=时，两直线重合，不合题意，故实数3
m=-，
当12
l l
⊥
，则
()
320
m m
++=
，解得
3
2
m=-
，
故答案为
3
3,
2
--
.
14.310
x y
++=
【解析】设直线l与
1
l的交点为()
00
,
A x y，直线l与
2
l的交点为B.
由已知条件，得()
00
2,4
x
B y
---.
由题意得()()
00
00
430,
325450,
x y
x y
++=
⎧
⎨-----=
⎩
即00
00
430
35310
x y
x y
++=
⎧
⎨
-+=
⎩
，
，
解得0
2
5
x
y
=-
⎧
⎨
=
⎩
，
，
所以()
2,5
A-，
所以直线l的方程为
()
()
1
2
5221
x
y--
-
=
----
，即310
x y
++=.
15.
【解析】过(1,1)的直线1y kx k =-+,
所以OA ==，
由圆中弦的性质知当直线与OA
垂直时，弦长最短，∴AB == 16.()()22
125x y +++=
【解析】两圆公共弦AB 所在直线方程为()()2222210a x b y a +++--= 又圆心()1,1N --为弦AB 的中点，代入上式可得()()2122a b +=-+, ()()2
1220a b +=-+≥∴，∴2b ≤-. ∴圆M
半径r =≥
∴
当r =,2,1b a =-=-，此时圆M 半径最小，
故所求圆M 的方程为()()22
125x y +++=
四、解答题
17.解：（1） (分类讨论法)若焦点在x 轴上， 设椭圆的标准方程为22221x y a b
+= (a >b >0)． 由已知条件得2222
42111414a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得2284a b ⎧=⎨=⎩ 所以所求椭圆的标准方程为22184
x y +=. 若焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为22221y x a b
+= (a >b >0)． 由已知条件得2222
42111414b a b a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得2284b a ⎧=⎨=⎩ 与题设中a >b >0矛盾，舍去． 综上，所求椭圆的标准方程为22184
x y +=. （2）因为所求椭圆与椭圆221259
y x +=的焦点相同， 所以其焦点在y 轴上，且c 2＝25－9＝16. 设它的标准方程为22221y x a b
+= (a >b >0)．
因为c 2＝16，且c 2＝a 2－b 2，故a 2－b 2＝16.①
又点
1=，即22531a b
+=.② 由①②得b 2＝4，a 2＝20，所以所求椭圆的标准方程为221204
y x += 18.解：由题意可知，直线l 过圆心()1,2-，分以下两种情况讨论：
（1）直线l 过原点，则该直线的斜率为20210
k --==--， 此时直线l 的方程为2y x =-，即20x y +=；
（2）直线l 在两坐标轴上的截距非零且相等，可设直线l 的方程为()0x y a a +=≠， 则有121a =-=-，此时，直线l 的方程为10x y ++=.
综上所述，直线l 的方程为10x y ++=或20x y +=.
19．解：（1）由已知点A 应在BC 边上的高所在直线与A ∠的角平分线所在直线的交点， 由
210{
0x y y -+==得1{0x y =-=，故()1,0A -． 由1AC AB k k =-=-，所以AC 所在直线方程为()1y x =-+，
BC 所在直线的方程为()221y x -=--，由()()1{221y x y x =-+-=--，得()5,6C -．
（2）由（1）知，AC 所在直线方程10x y ++=，
所以l 所在的直线方程为()()120x y ---=，即10x y -+=．
20.解：(1)x =2或y =3；(2)x -y -1=0或7x -y -7=0.
21．解：(1) 由3MA OM =
=, 化简得：
2219()24x y ++=,轨迹为圆 (2) 当直线l 的斜率不存在时,直线
1
:2l x =-
符合题意； 当直线l 的斜率存在时,设l 的方程为：11()2y k x -=+,即1102kx y k -++=,
由圆心到直线的距离等于3||12k d +==,解得43k =-,
直线l 方程为4310x y +-=
所求的直线l 的方程为：4310x y +-=或
12x =-. 22．解：(1) 设圆心5(,0)2C a a ⎛⎫>- ⎪⎝
⎭, 则|410|25
a +=,解得0a =或5a =-(舍去). 所以圆C 的方程为224x y +=.
(2) 当直线AB x ⊥轴时,x 轴平分ANB ∠. 当直线AB 的斜率存在时,设直线AB 的方程为()()()()11221,,0,,,,y k x N t A x y B x y =-, 由224,(1)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩得()
22221240k x k x k +-+-=, 所以2212122224,11
k k x x x x k k -+==++. 若x 轴平分ANB ∠,则AN BN k k =-,即12120y y x t x t +=--, 则()
()
1212110k x k x x t x t --+=--， 即()12122(1)20x x t x x t -+++=,
即()2222242(1)2011
k k t t k k -+-+=++,得4t =, 所以在x 轴上存在定点N ,使得x 轴平分ANB ∠,且点N 的坐标为()4,0.。